2017年福建省漳州市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）（解析版

2017年福建省漳州市八校联考高考数学模拟试卷（3月份）

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为（ ） A．（0，1） B．[0，1] C．{0，1} D．? 2．已知复数A．2

B．3

C．

的实部和虚部相等，则|z|=（ ） D．

3．命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

，过点P的直线l与圆C：x2+y2=16相

4．已知点P的坐标（x，y）满足

交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

5．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ） A． B． C． D．

6．设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（ ） A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 7．某程序框图如图所示，其中入的条件为（ ）

，若输出的

，则判断框内应填

第1页（共23页）

A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A． B． C． D． 9．为得到函数y=2cos2x﹣A．向左平移C．向左平移

sin2x的图象，只需将函数y=2sin2x+1的图象（ ）

个长度单位

个长度单位

个长度单位 B．向右平移个长度单位

D．向右平移

10．已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（ ） A．45° B．30° C．15° D．60°

11．我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为

．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，

则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（ ） A．

B．2

C．3

D．

第2页（共23页）

12．若函数

实数a的取值范围为（ ） A．

二、填空题（每题5分，满分20分）

B．

C．

在上单调递增，则

D．[1，+∞）

13．函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是 ． 14．||=1，||=2，

，且

，则与的夹角为 ．

b．

15．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=（1）求角A的大小；

（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积． 16．已知双曲线x2﹣

=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右

支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为 ．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.）

17．（12分）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=n?（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Sn．

18．（12分）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

第3页（共23页）

（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；

（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ P（K2≥k0） k0 附：K2=

2.706 3.841 6.635 ．

10.828 0.100 0.050 0.010 0.001 19．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．

20．（12分）已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：

（a＞b＞0）的短轴端点，

P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．

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（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．

21．（12分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．

（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求证：f（）≤0；

（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是

（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；

（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：

+

+

≥3．

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2017年福建省漳州市八校联考高考数学模拟试卷（3月

份）

参考答案与试题解析

一、选择题：（每小题5分，共60分）

1．（2017?日照一模）已知集合M={0，1，2}，N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}，则M∩N为（ ）

A．（0，1） B．[0，1] C．{0，1} D．?

【分析】化简集合N，根据交集的定义写出M∩N即可． 【解答】解：集合M={0，1，2}， N={x|﹣1≤x≤1，x∈Z}={﹣1，0，1}， 则M∩N={0，1}． 故选：C．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

2．（2017?日照一模）已知复数A．2

B．3

C．

D．

的实部和虚部相等，则|z|=（ ）

【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再结合已知条件求出b的值，根据复数求模公式计算得答案． 【解答】解：∵复数

∴﹣b=﹣3，即b=3． ∴故选：D．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．

第6页（共23页）

，

的实部和虚部相等，

．

3．（2017?漳州模拟）命题p：x∈R且满足sin2x=1．命题q：x∈R且满足tanx=1．则p是q的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【分析】根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：由sin2x=1得2x=即x=

，k∈Z，

，k∈Z，

+2kπ，k∈Z，

由tanx=1，得x=∴p是q的充要条件． 故选：C．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键．

4．（2017?江西二模）已知点P的坐标（x，y）满足

，过点P的直线l

与圆C：x2+y2=16相交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，画出以原点为圆心，半径是4的圆，利用数形结合即可得到在哪一个点的直线与圆相交的弦最短． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图

由图象可知，当P点在直线x=1与x+y=4的交点时，与圆心距离最远，作出直线与圆相交的弦短．

P的坐标为（1，3），圆心到P点距离为d=根据公式|AB|=2可得：|AB|=2故选：A．

，

．

，

第7页（共23页）

【点评】本题主要考查线性规划的应用，通过数形结合观察出通过哪一个点的弦最短是解决本题的关键．属于基础题．

5．（2017?漳州模拟）“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】基本事件总数n=

=10，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额

之和不低于4元的情况种数，帖经能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．

【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，

共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次， 基本事件总数n=

=10，

第8页（共23页）

其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：

（0.61，3.40），（1.49，3.40），（1.31，3.40），（2.19，3.40），共有4种， ∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p=故选：A．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．

6．（2017?江西二模）设方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2，则（ ） A．x1x2＜0 B．x1x2=1 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1

【分析】由题意可得y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点，如图可得设0＜x1＜1，x2＞1，求得ln（x1x2）的范围，即可得到所求范围． 【解答】解：方程2x|lnx|=1有两个不等的实根x1和x2， 即为y=|lnx|和y=（）x的图象有两个交点， 如图可得设0＜x1＜1，x2＞1， 由ln（x1x2）=lnx1+lnx2=﹣

+

=．

=，

由0＜x1＜1，x2＞1，可得2x1﹣2x2＜0，2x1+x2＞0， 即为ln（x1x2）＜0，即有0＜x1x2＜1． 故选：D．

【点评】本题考查函数方程的转化思想的运用，注意运用数形结合的思想方法，以及对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题．

第9页（共23页）

7．（2017?漳州模拟）某程序框图如图所示，其中则判断框内应填入的条件为（ ）

，若输出的，

A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017

【分析】由输出的S的值，可得n的值为2016时，满足判断框内的条件，当n的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，从而得解． 【解答】解：由S==1﹣

=

=

+

+…+

=（1﹣）+（

）+…（﹣

）

，解得：n=2016，

可得n的值为2016时，满足判断框内的条件，当n的值为2017时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值． 故判断框内应填入的条件为n＜2017？ 故选：A．

【点评】本题主要考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，正确得到程序框图的功能是解题的关键，属于基础题．

8．（2016?重庆模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

第10页（共23页）

A． B． C． D．

【分析】几何体为同底的三棱柱和三棱锥的组合体，代入体积公式计算即可求出体积．

【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱和三棱锥的组合体，直棱柱的底面为直角三角形，直角边为1，2，棱柱的高为1，三棱锥的底面与棱柱的底面相同，棱锥的高为1． ∴几何体的体积V=故选B．

【点评】本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，体积计算，属于基础题．

9．（2017?漳州模拟）为得到函数y=2cos2x﹣y=2sin2x+1的图象（ ） A．向左平移C．向左平移

个长度单位 B．向右平移个长度单位

个长度单位

个长度单位

sin2x的图象，只需将函数

+

=1+=．

D．向右平移

【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：∵y=2cos2x﹣=﹣2sin（2x﹣

sin2x=cos2x﹣

）+1，

个长度单位，可得得到函数y=2sinsin2x+1=2sin（

﹣2x）+1

）+1=2sin（2x+

将函数y=2sin2x+1的图象向左平移（2x+

）+1的图象，

故选：C．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

10．（2017?漳州模拟）已知M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F是抛物线C的焦点，若|MF|=p，K是抛物线C的准线与x轴的交点，则∠MKF=（ ） A．45° B．30° C．15° D．60°

第11页（共23页）

【分析】设点M（，p），K（﹣，0），则直线KM的斜率k=1，即可求得∠MKF=45°．

【解答】解：由题意，|MF|=p，则设点M（，p）， ∵K（﹣，0）， ∴kKM=1， ∴∠MKF=45°， 故选A．

【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，直线的斜率公式，属于基础题．

11．（2017?漳州模拟）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为

2

．若a2sinC=4sinA，（a+c）

=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（ ）

B．2

C．3

D．

A．

【分析】根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）2=12+b2得a2+c2﹣b2=4，利用公式可得结论．

2【解答】解：根据正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，则由（a+c）=12+b2得a2+c2

﹣b2=4，则故选A．

．

【点评】本题主要考查类比推理的应用，要求正确理解类比的关系，比较基础．

12．（2017?漳州模拟）若函数

上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）

A．

B．

C．

D．[1，+∞）

在

【分析】利用导函数的性质研究原函的单调性即可得答案． 【解答】解：函数

第12页（共23页）

，

则f′（x）=﹣sin2x+3a（cosx+sinx）+4a﹣1． ∵函数f（x）在即

∴得实数a的取值范围为[1，+∞）． 故选D．

【点评】本题考查了导函数研究原函数的单调性的运用能力，属于基础题．

二、填空题（每题5分，满分20分）

13．（2017?日照一模）函数（fx）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是 y=x﹣1 ． 【分析】先x=1代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（1），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可． 【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0， ∴切点的坐标为：（1，0），

由f′（x）=（lnx）′=，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=1， ∴在点x=1处的切线方程为：y=x﹣1， 故答案为：y=x﹣1．

【点评】本题考查了导数的几何意义和直线点斜式方程，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，还有切点的坐标，利用切点在曲线上和切线上．

14．（2017?漳州模拟）||=1，||=2，【分析】根据夹角公式cos＜【解答】解：∵∴∴（

上单调递增，可得f′（）≥0，且f′（0）≥0，

，解得：a≥1．

，且进而求出

，则与的夹角为 π ．

，且＞=，且

可得再结合＜

=﹣1然后再代入向量的

＞．

＞∈[0，π]即可求出＜

）?=0

第13页（共23页）

∵||=1 ∴

=﹣1

∵||=2 ∴cos＜∵＜∴＜

＞=＞∈[0，π]

＞=π；故答案为π

=﹣

【点评】本题主要考查了利用数量积求向量的夹角，属常考题，较易．解题的关键是熟记向量的夹角公式cos＜这一隐含条件！

15．（2017?漳州模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=

b．

＞=

同时要注意＜

＞∈[0，π]

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入，并利用完全平方公式变形，把b+c=4代入求出bc=2，联立求出b与c的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 【解答】解：（1）由正弦定理及2asinB=∵sinB≠0，∴sinA=又A是锐角，∴A=

， ；

，即

=，

b得：2sinAsinB=

sinB，

（2）由a=2，b+c=4，cosA=及余弦定理可得：cosA=整理得：b2+c2﹣4=bc，即（b+c）2﹣4=3bc， 化简得：bc=2，

第14页（共23页）

解得：b=c=2，

则△ABC面积S=bcsinA=

．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．

16．（2017?宁德一模）已知双曲线x2﹣

=1的左右焦点分别为F1、F2，过点F2

的直线交双曲线右支于A，B两点，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰三角形，则△AF1F2的面积为 4﹣2 ．

【分析】由题意可知丨AF2丨=m，丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，由等腰三角形的性质即可求得4=

（2+m），丨AF2丨=m=2（

﹣1），丨AF1丨=2

，由三角

的面积公式，即可求得△AF1F2的面积． 【解答】解：双曲线x2﹣

=1焦点在x轴上，a=1，2a=2，

设丨AF2丨=m，由丨AF1丨﹣丨AF2丨=2a=2， ∴丨AF1丨=2+丨AF2丨=2+m，

又丨AF1丨=丨AB丨=丨AF2丨+丨BF2丨=m+丨BF2丨， ∴丨BF2丨=2，又丨BF1丨﹣丨BF2丨=2， 丨BF1丨=4， 根据题意丨BF1丨=丨AF1丨=2

，

﹣1）×2

=4﹣2

，

丨AF1丨，即4=

（2+m），m=2（

﹣1），

△AF1F2的面积S=?丨AF2丨?丨AF1丨=×2（△AF1F2的面积4﹣2故答案为：4﹣2

．

，

【点评】本题考查双曲线的定义的应用，考查等腰三角形的性质，考查三角形的面积公式，属于中档题．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.）

第15页（共23页）

17．（12分）（2017?宁德一模）已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=n?（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Sn．

【分析】（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．利用等比数列的通项公式即可得出．

（II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

【解答】解：（I）数列{an}满足a1=2，an+1=2an﹣1．变形为：an+1﹣1=2（an﹣1）．a1﹣1=1．

∴数列{an﹣1}是等比数列， ∴an﹣1=2n﹣1，解得an=1+2n﹣1． （II）bn=n?（an﹣1）=n?2n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和Sn=1+2×2+3×22+…+n?2n﹣1， ∴2Sn=2+2×22+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n， ∴﹣Sn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n?2n=可得Sn=（n﹣1）?2n+1．

【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2017?日照一模）某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

﹣n?2n=（1﹣n）?2n﹣1，

第16页（共23页）

（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；

（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？ P（K2≥k0） k0 附：K2=

2.706 3.841 6.635 ．

10.828 0.100 0.050 0.010 0.001 【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；

（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．

【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名， 分数小于等于110分的学生中，

男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3； 女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分）

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是： （A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2）， （A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是： （A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），

（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…（4分）

第17页（共23页）

故所求的概率为P==…（6分）

（2）由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）

据此可得2×2列联表如下：

数学尖子生 15 15 30 非数学尖子生 45 25 70 合计 60 40 100 男生 女生 合计 （9分） 所以得K2=

=≈1.79；…（11分）

因为1.79＜2.706，

所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）

【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理以及独立性检验的应用问题，是基础题目．

19．（12分）（2017?漳州模拟）如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；

（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．

【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明：BE∥平面PAD；

（2）棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，利用三垂线定理可得结论．

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【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分） ∵E为PC的中点，

∴EQ∥CD且EQ=CD．…（2分） 又∵AB∥CD且AB=CD， ∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分） ∴四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AQ．…（4分）

又∵BE?平面PAD，AQ?平面PAD， ∴BE∥平面PAD．…

（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，

∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD， ∴AD⊥平面PCD，

∴DP是PA在平面PCD中的射影， ∴PC=DC，PF=DF， ∴CF⊥DP， ∴CF⊥PA．

【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的判断，要求熟练掌握相应的判定定理．考查学生的推理能力．

20．（12分）（2017?漳州模拟）已知圆O：x2+y2=1过椭圆C：

（a＞b

＞0）的短轴端点，P，Q分别是圆O与椭圆C上任意两点，且线段PQ长度的最大值为3．

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（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点（0，t）作圆O的一条切线交椭圆C于M，N两点，求△OMN的面积的最大值．

【分析】（Ⅰ）由圆O过椭圆C的短轴端点b=1，线段PQ长度的最大值为3，a+1=3，a=2，即可求得椭圆方程；

（Ⅱ）设直线MN的方程，由点到直线的距离公式，求得k2=t2﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，利用三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得△OMN的面积的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）∵圆O过椭圆C的短轴端点，∴b=1， 又∵线段PQ长度的最大值为3， ∴a+1=3，即a=2， ∴椭圆C的标准方程为

．

，得k2=t2

（Ⅱ）由题意可设切线MN的方程为y=kx+t，即kx﹣y+t=0，则﹣1．①

，消去y整理得（k2+4）x2+2ktx+t2﹣4=0．

联立得方程组

其中△=（2kt）2﹣4（k2+4）（t2﹣4）=﹣16t2+16k2+64=48＞0， 设M（x1，y1），N（x2，y2），则

，

，

则．②

将①代入②得，∴，

而，等号成立当且仅当，即．

综上可知：（S△OMN）max=1．

【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，

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弦长公式及基本不等式的综合运用，考查计算能力，属于中档题．

21．（12分）（2017?漳州模拟）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数． （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求证：f（）≤0；

（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程； （2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；

（3）由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即可得出结论．

【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+2， ∴f′（1）=1， ∵f（1）=0，

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x； （2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0）， 令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=

，

∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，

∴x=1时，函数取得极大值，即最大值， ∴g（x）≤g（1）=0， ∴f（）≤0；

（3）解：由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0）， 则f′（1）=0，即1﹣2a+a=0 ∴a=1．

【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

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22．（10分）（2017?宁德一模）已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的

参数方程是（t为参数）．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；

（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|?|PB|=1，求实数m的值．

【分析】（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，利用

可得直角坐标方程．直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入

+m消去参数t即可得出．

（2）把

（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2

﹣2m=0，由△＞0，得﹣1＜m＜3．利用|PA|?|PB|=t1t2，即可得出．

【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，化为ρ2=2ρcosθ，可得直角坐标方程：x2+y2=2x．

直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得．

（2）把

（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为：+m2

﹣2m=0，

由△＞0，解得﹣1＜m＜3． ∴t1t2=m2﹣2m． ∵|PA|?|PB|=1=|t1t2|， ∴m2﹣2m=±1，

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解得∴实数m=1

，1．又满足△＞0．

，1．

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（2017?宁德一模）已知函数f（x）=2|x+1|+|x﹣2|的最小值为m． （Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证：【分析】（Ⅰ）分类讨论，即可求实数m的值； （Ⅱ）a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（可证明结论．

【解答】（Ⅰ）解：x≤﹣1，f（x）=﹣2x﹣2﹣x+2=﹣3x≥3， ﹣1＜x＜2，f（x）=2x+2﹣x+2=x+4∈（3，6）， x≥2，f（x）=2x+2+x﹣2=3x≥6， ∴m=3；

（Ⅱ）证明：a+b+c=3，由柯西不等式可得（a+b+c）（

2

++≥3．

++

）≥（a+b+c）2，即

++）≥（a+b+c）

，

+

+

≥3．

∴

【点评】本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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