排列组合问题经典题型

排列组合问题经典题型与通用方法

1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.

例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（ ）

A、60种 B、48种 C、36种 D、24种

2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）

A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

1(,ij1,2?,3,4)例3.已知集合A?{1,2,3,?,19,20}，集合B?{a1,a2,a3,a4}，且B?A，若|ai?aj|?则满足条件的集合B有多少个？

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

，

例4.（1）A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ）

A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

（2）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）

A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）

A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.

例6.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，

不同的选法种数是（ ）

A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种

（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）

A、CCC4124844种

4C12C84C44 B、3CCC种 C、CCA种 D、种 3A341248444124833

6.全员分配问题分组法:

例7.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？

（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A、480种 B、240种 C、120种 D、96种

7.名额分配问题隔板法:

例8：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？

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例9.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也

不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

8.限制条件的分配问题分类法:

例10. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、

司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是

A． 152 B. 126 C. 90 D. 54

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。 例11 （1）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（2）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？ 例12. 电子表10点20分08秒时，显示的数字是10:20:08，那么，从8点到10点内，电子表6

个数码均不相同的情况有多少种?

10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B)

例13.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不

同的参赛方案？

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例14.现1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例15.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）

A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，

有多少种不同排法？

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例16.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共

有（ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例17.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要从中选4人进行混合双打训练，有多少种不同

的选法？

15.几何问题:

例18.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）

A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）

A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

（3）记正方体的各条棱的中点构成的集合为M，则过且仅过集合M的三个点的平面有多少个？ （4）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？

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16.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n个普通排列：

a1,a2,a3?,an;a2,a3,a4,?,an,?;an,a1,?,an?1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n?1元素全排列.

n例19.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有m种方法. 例20.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例21. 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据

需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（ ） A．5种

B．6种

C．7种 D．8种

n例22．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例23.（1）30030能被多少个不同偶数整除？

（2）设a1,a2,?,an是由1,2,?,n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的顺序数

(i?1,2,?,n)。如在排列6,4,5,3,2,1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0. 则在由1,2,?,8这

八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2、7的顺序数为3、5的顺序数为3的不同排列的种数为多少？

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例24.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？ （2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短 路径有多少种？

22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1个信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

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总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此得到一个递推公式： f(n)=(n-1) ?[f(n-1)+f(n-2)]，分别带入n=2、3、4等可推得结果。也可用迭代法推导出一般公式： f(n)?n!?[1?1111??????????(?1)n] 1!2!3!n!例25.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要

求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

例26、5位同学原来坐成一排，现让他们重新坐，则至多有两位同学坐在其原来的位置的不同的坐法是多

少？

23.多人传球问题：（构造递推关系） 例27、a1,a2,?,an（n?3）n个人传球，第一次由a1开始传球，可传给其他任何一个人，第二次由拿

球者再传给其他任何一个人，如此继续?，则第k次球仍回到a1的手中的传球方法种数是多少？

24.上台阶问题：

例28、10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级。 （1）他6步就可上完台阶的方法数是多少？ （2）他上完台阶的方法总数是多少？

25.方程的正整数解的个数问题：（隔板法）

例29.方程x1?x2???xn?k（k,n?N*，k?n）的正整数解有多少个？有多少非负整数解个？ 例30. 将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中。 （1）若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？ （2）若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？

（3）若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？

26.配对（配凑）问题：

例31. 5双相异的鞋共10只，现随机地取出6只，恰好能配成2双鞋的取法是多少？

例32. 50名选手参加乒乓球淘汰赛比赛,需要打多少场才能产生冠军? 淘汰赛比赛规则是:要淘汰1名选手必

须进行1场比赛;反之,每进行1场比赛则淘汰1名选手。

例33. 有11名翻译人员，其中5名是英语翻译人员，4名是日语翻译人员，另2人英、日语均精通。现从

中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译日语，则有多少种不同的选派方式？

27.染色问题：

例34. 把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的

颜色,问共有多少种染色法?

例35.在如图所示的六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，

1 2 3 4 5 6 要求相邻空格不同色，请问一共有多少种涂法？

例36. 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现

要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有多少种？ （变式：若要栽种5种颜色的花？）

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排列组合问题经典题型答案

1.解析：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A4?24种，答案：D. 2.解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种数是

52A5A6?3600种，选B.

5243. 易知a1,a2,a3,a4互不相等且不相邻，则有C17?2380。

4.解析：（1）B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即

415A5?60种，选B. 2511311311313（2）按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3个，合并总计300个,选B（

165(A6?A5)?300种） 25.解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B. 6.解析：（1）先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外

211的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有C10C8C7?2520种，选C.

（2）答案：A. 7.（1）C4A3?36

（2）C5A4?240，答案：B.

8.解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为

2423C96?84种.

9.解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决. 10.

3

11.解析：（1）解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A??7,14,21,?98?共有14个元素,不能被7整除的

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