2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题（附答案）

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上. ．．．．．．

1.已知集合A?{?1,1}，B?{?3,0,1}，则集合AB? ．

2.已知复数z满足z?i?3?4i（i为虚数单位），则z? ．

x2y2??1的渐近线方程为 ． 3.双曲线

434.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n? ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ． 6.如图是一个算法的流程图，则输出S的值是 ．

7.若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm，则它的体积为 cm． 8.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2?a4?2，S2?S4?1，则a10? ．

2323??ab，则ab的最小值是 ． abtanA3c?b?10.设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则tanBb9.已知a?0，b?0，且

cosA? ．

?a?ex,x?1?11.已知函数f(x)??（e是自然对数的底）.若函数y?f(x)的最小值是4，4?x?,x?1x?则实数a的取值范围为 ．

12.在?ABC中，点P是边AB的中点，已知CP?3，CA?4，?ACB?2?，则3CP?CA? ．

13.已知直线l：x?y?2?0与x轴交于点A，点P在直线l上，圆C：(x?2)2?y2?2上有且仅有一个点B满足AB?BP，则点P的横坐标的取值集合为 ．

214.若二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在区间[1,2]上有两个不同的零点，则

f(1)的取a值范围为 ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量a?(2sin?,1)，b?(1,sin(???4)).

（1）若角?的终边过点(3,4)，求a?b的值； （2）若a//b，求锐角?的大小.

16.如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的高为6，其底面边长为2.已知点M，N分别是棱

D是棱CC1上靠近C的三等分点. AC11，AC的中点，点

求证：（1）B1M//平面A1BN； （2）AD?平面A1BN.

1x2y2317.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)经过点(3,)，(1,)，点A是椭圆的下顶点.

2ab2（1）求椭圆C的标准方程；

F两点，（2）过点A且互相垂直的两直线l1，已知OE?OF，l2与直线y?x分别相交于E，

求直线l1的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC?AB.在OC上有一座观赏亭Q，其中?AQC?2?.计划在BC上再建一座观赏亭P，记3?POB??(0????2).

（1）当???3时，求?OPQ的大小；

（2）当?OPQ越大，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角?的正弦值.

19.已知函数f(x)?x?ax?bx?c，g(x)?lnx.

（1）若a?0，b??2，且f(x)?g(x)恒成立，求实数c的取值范围； （2）若b??3，且函数y?f(x)在区间(?1,1)上是单调递减函数. ①求实数a的值；

②当c?2时，求函数h(x)??32?f(x),f(x)?g(x)的值域.

?g(x),f(x)?g(x)*20.已知Sn是数列{an}的前n项和，a1?3，且2Sn?an?1?3(n?N). （1）求数列{an}的通项公式；

（2）对于正整数i，j，k(i?j?k)，已知?aj，6ai，?ak成等差数列，求正整数?，?的值；

（3）设数列{bn}前n项和是Tn，且满足：对任意的正整数n，都有等式a1bn?a2bn?1?a3bn?2?????anb1?3n?1?3n?3成立.求满足等式

Tn1?的所有正整数n. an32017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1：几何证明选讲

D为圆O上一点，如图，AB是圆O的直径，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，

且满足DA?DC.

（1）求证：AB?2BC； （2）若AB?2，求线段CD的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵A???40??12??a?，，列向量. B?X???????01??05??b?（1）求矩阵AB；

（2）若B?1A?1X???，求a，b的值. C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C经过点P(22,点，求圆C的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲

已知x，y都是正数，且xy?1，求证：(1?x?y)(1?y?x)?9.

22?5??1??)，圆心为直线?sin(??)??3与极轴的交43?【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，

PD?AD?2AB，点Q为线段PA（不含端点）上一点.

（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值； （2）已知二面角Q?BD?P的正弦值为

2PQ，求的值. 3PA23.在含有n个元素的集合An?{1,2,???,n}中，若这n个元素的一个排列（a1，a2，…，an）满足ai?i(i?1,2,???,n)，则称这个排列为集合An的一个错位排列（例如：对于集合

A3?{1,2,3}，排列(2,3,1)是A3的一个错位排列；排列(1,3,2)不是A3的一个错位排列）.

记集合An的所有错位排列的个数为Dn. （1）直接写出D1，D2，D3，D4的值；

（2）当n?3时，试用Dn?2，Dn?1表示Dn，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：D2n(n?N)为奇数.

*

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数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题

1. {1} 2. 5 3. y??33x 4. 63 5.

1626. 25 7. 143 8. 8 9. 26 10.

3311. a?e?4 12. 6 13. ?,5? 14. [0,1)

?1

?3??

二、解答题

15.解：（1）由题意sin??所以a?b?43，cos??， 552sin??sin(a?)?2sin??sin?cos?cos?sin 444????42423232. ?????552522（2）因为a//b，所以2sin?sin(a?所以sin??sin?cos??1，

2?4)?1，即2nis?is(cos?cosnis)?1??n4?4?，

22则sin?cos??1?sin??cos?，对锐角?有cos??0，所以tan??1，

所以锐角???4.

16.证明：（1）连结MN，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1//CC1且AA1?CC1，则四边

M、N分别是棱AC形AAC11C是平行四边形，因为点11，AC的中点，所以MN//AA1且

MN?AA1，

又正三棱柱ABC?A1B1C1中AA1//BB1且AA1?BB1，所以MN//BB1且MN?BB1，所

BN?平面以四边形MNBB1是平行四边形，所以B1M//BN，又B1M?平面A1BN，

A1BN，

所以B1M//平面A1BN；

（2）正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?平面ABC，

BN?平面ABC，所以BN?AA1，

正?ABC中，N是AB的中点，所以BN?AC，又AA1、AC?平面AAC11C，

AA1AC?A，

AD?平面AAC所以BN?平面AAC11C，又11C，

所以AD?BN，

AC?2，AN?1，CD?由题意，AA1?6，

又?A1AN??ACD?AA1AN36，所以， ??3ACCD2?2，所以?A1AN与?ACD相似，则?AA1N??CAD，

所以?ANA1??AA1N?1??CAD??ANA则AD?A1N，又BN所以AD?平面A1BN.

?2，

A1N?N，BN，A1N?平面A1BN，

1?3?11??1????a24b2?a2417.解：（1）由题意得?，解得?，

?1?3?1?1?1???a24b2?b2x2?y2?1； 所以椭圆C的标准方程为4（2）由题意知A(0,?1)，直线l1，l2的斜率存在且不为零，

设直线l1：y?k1x?1，与直线y?x联立方程有??y?k1x?111，得E(,)，

k1?1k1?1?y?x设直线l2：y??111,)， x?1，同理F(11k1??1??1k1k1因为OE?OF，所以|11|?||，

1k1?1??1k1①

111?，k1??0无实数解；

1k1?1??1k1k1111?，k1??2，k12?2k1?1?0，解得k1?1?2， k1?1?1?1k1k1②

综上可得，直线l1的斜率为1?2. 18.解：（1）设?OPQ??，由题，Rt?OAQ中，OA?3，?AQO????AQC???2???， 33所以OQ?3，在?OPQ中，OP?3，?POQ??2????2??3??6，

由正弦定理得

OQOP?，

sin?OPQsin?OQP即?5?33??)， ?，所以3sin??sin(????)?sin(66sin?sin(?????)65?5?13cos??cossin??cos??sin?，所以3sin??cos?， 6622则3sin??sin因为?为锐角，所以cos??0，所以tan???3，得??；

63（2）设?OPQ??，在?OPQ中，OP?3，?POQ??2????2??3??6，

由正弦定理得

33OQOP??，即，

?sin?sin(????(??))sin?OPQsin?OQP2所以3sin??sin(????(???))?sin(?(???))?cos(???)22??cos?cos??sin?sin?，

从而(3?sin?)sin??cos?cos?，其中3?sin??0，cos??0， 所以tan??cos?，

3?sin?记f(?)??cos?1?3sin?，f'(?)?，??(0,)；

23?sin?(3?sin?)2?33，存在唯一?0?(0,)使得sin?0?，

233令f'(?)?0，sin??当??(0,?0)时f'(?)?0，f(?)单调增，当??(?0,所以当???0时，f(?)最大，即tan?OPQ最大， 又?OPQ为锐角，从而?OPQ最大，此时sin???2)时f'(?)?0，f(?)单调减，

3. 3答：观赏效果达到最佳时，?的正弦值为3. 3319.解：（1）函数y?g(x)的定义域为(0,??).当a?0，b??2，f(x)?x?2x?c，

33∵f(x)?g(x)恒成立，∴x?2x?c?lnx恒成立，即c?lnx?x?2x.

11?2x?3x3(1?x)(1?3x?3x2)2?令?(x)?lnx?x?2x，则?'(x)??3x?2?，

xxx3令?'(x)?0，得x?1，∴?(x)在(0,1]上单调递增， 令?'(x)?0，得x?1，∴?(x)在[1,??)上单调递减， ∴当x?1时，[?(x)]max??(1)?1. ∴c?1.

（2）①当b??3时，f(x)?x?ax?3x?c，f'(x)?3x?2ax?3.

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