数学压轴题精选

如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系。动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E。

⑴． 直接写出点D、C的坐标和经过A、D、C三点的抛物线解析式； ⑵． 是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由； ⑶． 设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式； ⑷． 若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值。

yBDFGPC●●A QFQA QQEA BA xB

QA P

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（6，8），点D坐标为（9，0），过B作BA⊥x轴于点A，作BC⊥y轴于点C．点P沿OC自点O向点C运动，同时点Q沿OA自点O向点A运动，点Q与点P的速度之比为1：n，连结PB、PQ，

⑴．求经过C、B、D三点的抛物线； ⑵．当n=____时，∠OQP=30°；当n=____时，∠OQP=45°，当____时，∠OQP=60°； ⑶．若存在PB⊥PQ，试求OQ的取值范围；

⑷．点M为四边形OABC边上的某点，请直接写出能使△MBD为等腰三角形的点M坐标。

CDPEOA

BCQAD PBE

k23. 已知反比例函数y=x的图像经过点A(?3，1).

(1) 试确定此反比例函数的解析式； (2) 点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30?得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图像上，并说明理由；

(3) 已知点P(m，3m?6)也在此反比例函数的图像上(其中m<0)，过P点作x轴的垂线，

1交x轴于点M. 若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是2，设Q点的纵坐标为n，

求n2?23n?9的值.

24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??m?125mx?x?m2?3m?2与x轴的交点44分别为原点O和点A，点B(2，n)在这条抛物线上.

(1) 求点B的坐标；

(2) 点P在线段OA上，从O点出发向点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E。延长PE到点D。使得ED=PE. 以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时，C点、D点也随之运动)

? 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

? 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值. y

x 1

O 1

24．（09怀柔二模24） 已知：如图1所示，反比例函数y＝一个公共点P，则称P为切点． （1）若反比例函数y＝?1与直线y＝－x＋2只有 xk与直线y＝kx＋6只有一个公共点M， x求：当k＜0时两个函数的解析式和切点M的坐标；

（2）设（1）问结论中的直线与x轴、y轴分别交于A、B两点. 将∠ABO沿折痕AB翻折，设翻折后的OB边与x轴交于点C．

①直接写出点C的坐标； ②在经过A、B、C三点的抛物线的对称轴上是否存在一点P，使以P、O、M、C

为顶点的四边形为梯形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（09平谷二模24）

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点

A(0，3)、C(?1，0)．将矩形OABC绕原点O顺时针方向旋转90o，得到矩形OA?B?C?．设

直线BB?与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题： （1）求直线BB?的函数解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上求出使S?PB?C??

23. （09延庆二模23） 如图1，已知双曲线y?9S矩形OABC的所有点P的坐标． 2A y B C N B? A? C? M O x k(k?0)与直线y?k?x交于A,B x两点，点A在第一象限.试解答下列问题:

⑴若点A的坐标为（4,2）,则点B的坐标为 ；若点A

的横坐标为m, 则点B的坐标可表示为 ； ⑵如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y?k(k?0)于 x（第23题图1）

y P,Q两点,点P在第一象限.

① 说明四边形APBQ一定是平行四边形；

② 设点A、P的横坐标分别为m、n, 四边形APBQ可能是矩形吗? 可能是正方形吗?若可能, 直接写出m、n应满足的条件； 若不可能，请说明理由.

B

P A O x Q （第23题图2）

25.（09延庆二模25）

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在X轴正半轴上，边CO在Y轴的正半 轴

上，且AB=2，OB=23，矩形ABOC绕点O逆时针旋转后得到矩形EFOD，且点A落在Y轴上的E点，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D.

⑴求F、E、D三点的坐标；

⑵若抛物线y?ax2?bx?c经过点F、E、D，求此抛物线的解析式；

⑶在X轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得△QOB的面积等于矩形ABOC的面积？

O

（第25题） B D x C F A y E 25．（09门头沟二模25）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA

方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连结PQ．若设运动的时间为t秒 （0＜t＜2）． y（1）求直线AB的解析式；

B（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和

面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）连结PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP?O，

那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP?O为菱形？若

存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）。已知A（?1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上。

POQAx

（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数y?x?b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y?x?b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围； （3）已知□AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围。

24.在?ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF(如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=

???4,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S?P1FC1=y，求y与x之间的函3数关系式，并写出自变量x的取值范围.

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段a(a?b)(a?b)的中点，连结PG，PC．若?ABC??BEF?60?，探究PG与PC的位置关系

PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D C D

P G F P

G

F

B A E A

B

图1 图2 E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 及

PG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

（3）若图1中?ABC??BEF?2?(0????90?)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG的值（用含?的式子表示）． PC

12．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连

结DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为

B

cm2。

M D

A

N (第12题图)

E C

PG的值． PC小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． C D C D

P G F P

G

F

B A E A

B

图1 图2 E

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： 及

PG的值； PC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及

（3）若图1中?ABC??BEF?2?(0????90?)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出

PG的值（用含?的式子表示）． PC

12．如图，在△ABC中，AB=AC，M、N分别是AB、AC的中点，D、E为BC上的点，连

结DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，则图中阴影部分的面积为

B

cm2。

M D

A

N (第12题图)

E C

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