第四章不可压缩流体的有旋流动和二维无旋流动

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不可压缩流体的有旋流 动和二维无旋流动

流体微团运动分析 有旋流动和无旋流动 无旋流动的速度势函数 二维平面流动的流函数 基本的平面有势流动 平面势流的叠加流动

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流体由于具有易变形的特性(易流动性),因此流体 的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运 动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流 体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度 0 的流动，无旋流动是指 的流动。 0 实际上，黏性流体的流动大多数是有旋流动，而且有 时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区， 船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。 但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看 得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的 速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉 眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的紊流运动， 更是充满着尺度不同的大小旋涡。

流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但 无旋流动比有旋流动在数学处理上简单 得多，因 此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对 工程中的某些问题，在特定条件下对黏性较小的 流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运 动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实 践具有指导意义和应用价值。因此，本章先阐述 有旋流动的基本概念及基本性质，然后再介绍二 维平面势流理论。

第一节 流体微团运动分析刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。

一、表示流体微团运动特征的速度表达式

在运动流体中，在时刻 t 任取一正交六面体流体微团，其边长分别为 d x 、d y 、d z , 如图 4-1 所示。当选取该流体微团上的 F( x , y , z )点为参考点时，则该点的速度分 量分别为 u ( x , y , z ) 、v ( x , y , z ) 、 w ( x , y , z ),其他各点的速度均可利用泰勒级 数展开并略去二阶及以上无穷小量得到。因此 C( x +d x , y + d y , z + d z )点的速度分 量可表示为uc u u u u dx dy dz x y z

v v v vc v dx dy dz x y zwc w w w w dx dy dz x y z

图 4-1 分析流体微团运动用图

为了把

流体微团的速度进行分解， 并以数学 形式表达出来， 现将上式进行改造。 在第一 式右边 1 v dy 2 x

、

1 w dz 2 x

, 在第二式右边 、 1 v dy 2 z

1 u dx 2 y

、

1 w dz 2 y

,

在第三式右边 到uc u

1 u dx 2 z

,重新整理后可得

u 1 u v 1 u w 1 u w 1 v u dx d y d z d z dy x 2 y x 2 z x 2 z x 2 x y

vc v

v 1 v u 1 v w 1 v u 1 w v dy d x d z d x z y x y y z dz y 2 x y 2 2 2 w 1 w u 1 w v 1 w v 1 u w dz dx d y d z dx y z z 2 x z 2 y z 2 2 z x

wc w

引入记号，并赋予运动特征名称： 、 , 线变形速率 、xxyy

zz

xx 、

u v w , yy , zz x y z

(4-1)

、 ,

yx、 、 剪切变形速率 、 、 zy xz zx xy 、 yz , xy yx yz zy1 2 v u x y w v y z w u x z

1 2 1 2

(4-2)

zx xz

、 旋转角速度 、 ,xy

z

x

y

z

w v y z 1 u w 2 z x 1 v u 2 x y 1 2

(4-3)

于是可得到表示流体微团运动特征的速度表达式为u c u xx dx xy dy xz dz y dz z dy v c v yy dy yx dx yz dz z dx x dz wc w zz dz zx dx zy dy x dy y dx

(4-4)

式(4-4)表明，在一般情况下，流体微团的运动可分解为三部分：①以流体微团中 ); 某点的速度作整体平移运动( u 、v 、w );②绕通过该点轴的旋转运动( 、 、xy

z

③微团本身的变形运动(线变形 、 、 和剪切变形 、 、 )。xxyy

zz

xy

yz

zx

二、流体微团运动的分解

为进一步分析流体微团的分解运动及其几何特 征，对式(4-4)有较深刻的理解，现在分别说明流 体微团在运动过程中所呈现出的平移运动、线变 形运动

、角变形运动和旋转运动。 为简化分析，仅讨论在 xoy 平面上流体微团的运 动。假设在时刻 ，流体微团 ABCD为矩形，其上 t 各点的速度分量如图4-2所示。由于微团上各点的 dt 速度不同，经过时间 ，势必发生不同的运动， 微团的位置和形状都将发生变化，现分析如下。

1.平移运动

由图 4-2 可知，微团上 A、B、C、D 各点的速度 分量中均有 u 和 v 两项，在经过 d t 时间后，矩形微团 ABCD 向右、向上分别移动u d t 、 v d t 距离，即平移到 新位置，形状不变，如图 4-3( a )所示。式(4-4)中 的第一项即为该流体微团平移运动的运动速度。

图 4-2 分析流体微团平面运动用图

2.线变形运动

在图 4-2 中，比较 B 与 A 、C 与 D 点在 x 方向及 D 与 A 、C 与 B 点在 y 方向的速度差可 得： uB

uA

v v u u dx , u C u D dx ; v D v A dy , v C v B dy 。由此可知，流体线段 AB 和 DC 在 y y x x

v d yd t 。 d t 时间内将伸长( 或缩短) u dxdt ,同样， AB 和 BC 线段将伸长( 或缩短) y

x

定义单位时间内单位长度流体线段的伸长 (或缩短)量为流体微团的线变形速 率，则沿 x 轴方向的线变形速率为 u u dxdt (dxdt ) xx x x

同理可得流体微团沿 y 轴方向和沿 z 轴方向的线变形速率分别为 yy v y

,

zz

w z

上述即为式(4-1)及其物理意义。式(4-4)中的第二项所表示的便是该线变形运动所 引起的速度变化。

将 x 、 y 、 z 方向的线变形速率加在一起，有 xx yy zz u v w x y z

(4-5)

对于不可压缩流体，上式等于零，是不可压缩流体的连续性方程，表明流体微团在运 动中体积不变。而三个方向的线变形速率之和所反映的实质是流体微团体积在单位时 间的相对变化，称为流体微团的体积膨胀速率。因此，不可压缩流体的连续性方程也 是流体不可压缩的条件。在图 4-3( b)中示出了该流体微团的平面线变形。

图4-3 流体微团平面运动的分解(a)

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图4-3 流体微团平面运动的分解(b)

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图4-3 流体微团平面运动的分解(c)

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图4-3 流体微团平面运动的分解(d)

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