复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)课后的习题答案

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

复变函数与积分变换

（修订版）

主编：马柏林

（复旦大学出版社）

——课后习题答案

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

习题一

1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数

e?iπ/4;3?5i137i?1;(2?i)(4?3i);i?1?i.

①解πe?4i?cos???π???isin??π??22?????2?4???4??i??2???2?2i ?22②解： 3?5i?3?5i??1?7i?16137i?1??1+7i??1?7i???25?25i

③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解：

13?1?i?35i?31?i=?i?2?2?2i

2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)

z?a33z?a(a?); z3;???1?i3??2??;???1?i3??2??;in. ①

：∵设z=x+iy

则z?a??x?iy??a??x?a??iy?????x?a??iy??y??a??x?a??iy?a?x?i?x?a??iy??z? ∴Re?x?a?2?y2?z?a?x2?a22?z?a????y?x?a?2?y2 Im??z?a?2xy?z?a????x?a?2?y2． ②解： 设z=x+iy

∵???????????3z3?x?iy3?x?iy2x?iy?x2?y2?2xyix?iy ∴Rez??x3?3xy2, Im?z3??3x2y?y3．?x?x2?y2??2xy2??222?y?x?y??2xy??i?x3?3xy2??3x2y?y3?i③解： ∵???1?i3?3??1?i3?3??13?2????88?????1?3???1???3?2???3???1?2?????3???3?

??? ?18?8?0i??1

∴Re???1?i3???1?i3??2?????1, Im?????0． ?2?④解：

∵?3??1?3?3???1????1?i3???3?2??3???2???1??3??3?3???i

?12?????88?8?0i??1 2 / 66

,

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∴Re???1?i3????1, Im???1?i3?????0． ?2???2??⑤解： ∵in?????1?k,n?2kk??． ?1?k????i,n?2k?1 ∴当n?2k时，Re?in????1?k，Im?in??0；

当n?2k?1时，Re?in??0，Im?in????1?k．

3.求下列复数的模和共轭复数

?2?i;?3;(2?i)(3?2i);①解：?2?i?4?1?5．

?2?i??2?i

②解：?3?3

?3??3

③解：?2?i??3?2i??2?i3?2i?5?13?65．

?2?i??3?2i???2?i???3?2i???2?i???3?2i??4?7i

④解：

1?i1?i22?2?2

??1?i??1?i?1??2???2?i2 4、证明：当且仅当z?z时，z才是实数．

证明：若z?z，设z?x?iy，

则有 x?iy?x?iy，从而有?2y?i?0，即y=0 ∴z=x为实数．

若z=x，x∈?，则z?x?x． ∴z?z．

命题成立．

5、设z,w∈?，证明： z?w≤z?w

证明∵z?w2??z?w???z?w???z?w??z?w?

?z?z?z?w?w?z?w?w

?z2?zw??z?w??w2

?z2?w2?2Re?z?w? 3 / 66

1?i2. 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

≤z?w?2z?w2222 ?z?w?2z?w ??z?w?2 ∴z?w≤z?w．

6、设z,w∈?，证明下列不等式．

z?w?z?2Rez?w?w z?w?z?2Rez?w?w

2222??2??2z?w?z?w?2z?w22?22?

2并给出最后一个等式的几何解释．

证明：z?w?z?2Rez?w?w在上面第五题的证明已经证明了． 下面证z?w?z?2Rez?w?w．

∵z?w??z?w???z?w???z?w?z?w

?z?z?w?w?z?w2222222????2??

2?z?2Rez?w?w．从而得证．

22??2∴z?w?z?w?2z?w?22?

3几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和． 7.将下列复数表示为指数形式或三角形式

3?5i2π2π??;i;?1;?8π(1?3i);?cos?isin?. 7i?199??①解：

3?5i?3?5i??1?7i??

7i?1?1?7i??1?7i??38?16i19?8i17i??8???e其中??π?arctan． 5025519②解：i?ei??其中??

i?e

iπ2π． 2

③解：?1?eiπ?eπi

2④解：?8π1?3i?16π???π.

3?? ∴?8π1?3i?16π?e3??2?πi3

2π2π???isin? ⑤解：?cos99?? 4 / 66

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2π2π??解：∵?cos?isin??1．

99??i?π.3i2π2π???isin??1?e9?e3 ∴?cos99??322π3

8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3?3i的平方根. ⑴i的三次根．

解：

3ππ??i??cos?isin??cos22??132kπ?ππ2kπ?2?isin233?k?0,1,2?

∴z1?cos

ππ315531?isin??i． z2?cosπ?isinπ???i 662266229931?i z3?cosπ?isinπ??6622⑵-1的三次根 解：

3?1??cosπ?isinπ?3?cos12kπ+π2kπ?π?isin33?k?0,1,2?

∴z1?cosπ?isinπ?1?3i

3322 z2?cosπ?isinπ??1

5513i z3?cosπ?isinπ???3322⑶3?3i的平方根．

πi?22?4 解： 3?3i=6???i?6?e??22???1π2i4

∴3?3i?14?6?e?ππ??2kπ?2kπ???4?isin4?6??cos??22?14?k?0,1?

iππ??∴z1?6??cos?isin??64?e8

88??1π

πi99??z2?6??cosπ?isinπ??64?e8．

88??14199.设z?ei2πn,n?2. 证明：1?z???zn?1?0

i?2πn证明：∵z?e

∴zn?1，即zn?1?0．

∴?z?1??1?z???zn?1??0 从而1?z?z2+??zn?1?0

又∵n≥2． ∴z≠1

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11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令

??z?a??, L???z:Im???0?b????其中b?ei?.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件. 解：如图所示．

?z?a?因为L?={z: Im??=0}表示通过点a且方向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA

?b?⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90°

故α-β=90°

所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件是α-β=90°．

12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.

(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;(4)Rez?Imz;(5)Imz?1且z?2.解：

(1)、argz=π．表示负实轴．

(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=

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(3)、1<|z+i|<2

解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

（4）、Re(z)>Imz．

解：表示直线y=x的右下半平面

5、Imz>1，且|z|<2．

解：表示圆盘内的一弓形域。

习题二 1. 求映射

w?z?1z下圆周|z|?2的像. w?u?iv则

1x?iyxy?x?iy?2?x?2?i(y?)22x?iyx?yx?yx?2y解：设z?x?iy,

u?iv?x?iy?

2 因为x?y?4,所以

22u?iv?53x?yi44

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所以

u?53xv??y4,4

4uvx?5,y?34 ?2u2u所以?524??v??324即?522??v2??322?1，表示椭圆.

i?22. 在映射w?z下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设w??e或w?u?iv.

ππ0?r?2,0???4； （2）4; （1）

(3) x=a, y=b.(a, b为实数)

0?r?2,??222解：设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi 22u?x?y,v?2xy. 所以

(1) 记w??e，则

π0???4,??.2

i?0?r?2,??π4映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即

ππ0???,0?r?20???4,0???.i?42 (2) 记w??e，则映成了w平面上扇形域，即

22222(3) 记w?u?iv，则将直线x=a映成了u?a?y,v?2ay.即v?4a(a?u).是以原点为焦点，张口向左的抛

22物线将y=b映成了u?x?b,v?2xb.

222v?4b(b?u)是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示. 即

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3. 求下列极限.

1lim2 (1) z??1?z;

1z?t,则z??,t?0. 解：令

1t2lim?lim?0z??1?z2t?01?t2于是.

Re(z)(2) z?0z;

limRe(z)x?x?iy有 解：设z=x+yi，则zlimRe(z)x1?lim?z?0x?0zx?ikx1?iky?kx?0

显然当取不同的值时f(z)的极限不同 所以极限不存在.

limz?iz(1?z2)；

（3）

z?ilim解：

z?iz?iz?i11lim?lim??2z(1?z2)=z?iz(i?z)(z?i)z?iz(i?z). zz?2z?z?2z2?1.

lim（4）

z?1zz?2z?z?2(z?2)(z?1)z?2??,2z?1(z?1)(z?1)z?1解：因为

limzz?2z?z?2z?23?lim?z?1z?1z2?12.

所以

z?1

4. 讨论下列函数的连续性： (1)

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?xy,?f(z)??x2?y2?0,?z?0,z?0;lim

limf(z)?解：因为

z?0xy(x,y)?(0,0)x2?y2,

xyk?(x,y)?(0,0)x2?y21?k2, 若令y=kx,则

lim因为当k取不同值时，f(z)的取值不同，所以f(z)在z=0处极限不存在.

从而f(z)在z=0处不连续，除z=0外连续. (2)

?x3y,?f(z)??x4?y2?0,?z?0,z?0.

解：因为

x3yxx3y0?4??x?y22x2y2,

x3ylim?0?f(0)(x,y)?(0,0)x4?y2所以

所以f(z)在整个z平面连续.

5. 下列函数在何处求导？并求其导数.

n?1(1) f(z)?(z?1) (n为正整数)；

解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.

f?(z)?n(z?1)n?1.

f(z)?z?2(z?1)(z2?1)(2) .

2(z?1)(z?1)?0处不可导. 解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在

从而f(z)除z??1,z??i外可导.

(z?2)?(z?1)(z2?1)?(z?1)[(z?1)(z2?1)]?f?(z)?(z?1)2(z2?1)2?2z3?5z2?4z?3?(z?1)2(z2?1)2f(z)?3z?85z?7.

(3)

3(5z?7)?(3z?8)5617?f(z)???z=(5z?7)2(5z?7)25解：f(z)除外处处可导，且.

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f(z)?(4) 解：因为

f(z)?x?yx?y?ix2?y2x2?y2.

x?y?i(x?y)x?iy?i(x?iy)(x?iy)(1?i)z(1?i)1?i????2x2?y2x2?y2x2?y2zz.所以f(z)除z=0外处处可导，且

f?(z)??(1?i)z2.

6. 试判断下列函数的可导性与解析性.

22f(z)?xy?ixy; (1)

22u(x,y)?xy,v(x,y)?xy在全平面上可微. 解：

?y?y2,?x?u?2xy,?y?v?2xy,?x?v?x2?y

所以要使得

?u?v?u?v????x?y， ?y?x,

只有当z=0时,

从而f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

22(2) f(z)?x?iy.

22u(x,y)?x,v(x,y)?y解：在全平面上可微.

?u?2x,?x?u?0,?y?v?0,?x?v?2y?y

?u?v?u?v????y. 只有当z=0时,即(0,0)处有?x?y,?y所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.

33f(z)?2x?3iy(3) ;

33解：u(x,y)?2x,v(x,y)?3y在全平面上可微.

?u?6x2,?x?u?0,?y?v?9y2,?x?v?0?y

所以只有当2x??3y时，才满足C-R方程. 从而f(z)在2x?3y?0处可导，在全平面不解析.

2(4) f(z)?z?z.

解：设z?x?iy，则

f(z)?(x?iy)?(x?iy)2?x3?xy2?i(y3?x2y) u(x,y)?x3?xy2,v(x,y)?y3?x2y

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?u?3x2?y2,?x?u?2xy,?y?v?2xy,?x?v?3y2?x2?y

所以只有当z=0时才满足C-R方程.

从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.

7. 证明区域D内满足下列条件之一的解析函数必为常数. ?(1) f(z)?0;

?u?u?v?v??0??0?(z)?0?x?yf?x?y证明：因为，所以,.

所以u,v为常数，于是f(z)为常数. (2) f(z)解析.

证明：设f(z)?u?iv在D内解析,则 ?u?(?v)?u?v?????x?y?x?y?u??(?v)?v????y?x?y?u?v??,?x?y

?u?v??y?x

?u?v???y?x

?u?u?,?x?y而f(z)为解析函数，所以

?v?v??,?x?x?v?v??,?y?y所以即

从而v为常数，u为常数，即f(z)为常数. (3) Ref(z)=常数.

证明：因为Ref(z)为常数，即u=C1, 因为f(z)解析，C-R条件成立。故从而f(z)为常数. (4) Imf(z)=常数.

?u?u?v?v????0?x?y?x?y

?u?u??0?x?y

?u?u??0?x?y即u=C2

?v?v??0?x?y证明：与（3）类似，由v=C1得

因为f(z)解析，由C-R方程得

?u?u??0?x?y,即u=C2

所以f(z)为常数. 5. |f(z)|=常数.

证明：因为|f(z)|=C，对C进行讨论. 若C=0，则u=0,v=0,f(z)=0为常数.

2f(z)?f(z)?C??若C0，则f(z) 0,但，即u2+v2=C2

则两边对x,y分别求偏导数，有

?u?v?u?v2u??2v??0,2u??2v??0?x?x?y?y

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利用C-R条件，由于f(z)在D内解析，有 ?u?v?u?v????x?y?y?x ?v??uu??v??0???x?x??u?v??u?u??v?0?0,??x?x??x所以 所以即u=C1,v=C2,于是f(z)为常数.

?v?0?x

(6) argf(z)=常数.

?v?arctan???C?u?证明：argf(z)=常数，即,

(v/u)??21?(v/u)于是

u2?(u??v?u2?v?u?v?)u(u?v)?y?y?x?x??0222222u(u?v)u(u?v)

得

?u??vu??v??0??x??x??v?u??v??u?0??y??y C-R条件→ ?u??vu??v??0???x?x??u??v?v??u?0??x??x

?u?v?u?v????0?x?x?y?y解得，即u,v为常数，于是f(z)为常数.

8. 设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)在z平面上解析，求m,n,l的值. 解：因为f(z)解析，从而满足C-R条件. ?u?u?2nxy,?3my2?nx2?x?y ?v?3x2?ly2,?x?u?v??n?l?x?y?v?2lxy?y

?u?v???n??3,l??3m?y?x所以n??3,l??3,m?1.

9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数. (1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i

证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且

所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.

?u?3x2?3y2,?x?u??6xy,?y?v?6xy,?x?v?3x2?3y2?y 13 / 66

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f?(z)??u?vxx?i?3x2?3y2?6xyi?3(x2?y2?2xyi)?3z2f(z)?e(xcosy?ysiny)?ie(ycosy?xsiny). ?x?x.(2)

证明：

u(x,y)?ex(xcosy?ysiny),v(x,y)=ex(ycosy?xsiny)处处可微，且

?u?ex(xcosy?ysiny)?ex(cosy)?ex(xcosy?ysiny?cosy)?x

?u?ex(?xsiny?siny?ycosy)?ex(?xsiny?siny?ycosy)?y?v?ex(ycosy?xsiny)?ex(siny)?ex(ycosy?xsiny?siny)?x?u?v?u?v?v????ex(cosy?y(?siny)?xcosy)?ex(cosy?ysiny?xcosy)?x ?y所以?x?y, ?y所以f(z)处处可导，处处解析.

f?(z)??u?x?i?v?x?ex(xcosy?ysiny?cosy)?i(ex(ycosy?xsiny?siny))?excosy?iexsiny?x(excosy?iexsiny)?iy(excosy?iexsiny)?ez?xez?iyez?ez(1?z)10. 设

?x3?y3?i?x3?y3?f?z????x2?y2,z?0.??0.z?0.

求证：(1) f(z)在z=0处连续．

(2)f(z)在z=0处满足柯西—黎曼方程． (3)f′(0)不存在．

证明.(1)∵limz?0f(z)??x,ylim???0,0?u?x,y??iv?x,y?

而?x,ylim???0,0?u?x,y???x,ylimx3?y3???0,0?x2?y2

x3?y3?xy?∵

x2?y2??x?y????1?x2?y2??

0≤x3?y3≤3∴x2?y22x?y

x3?y3lim∴?x,y???0,0?x2?y2?0

limx3?y3?同理?x,y???0,0?x2?y20 ∴?x,ylim????0,0?f?z??0?f0?

∴f(z)在z=0处连续．

(2)考察极限limf(z)?f?0?z?0z

当z沿虚轴趋向于零时，z=iy，有

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3?1?i?11?y???lim?fiy?f0?lim??1?i???y?0iyy?0iy?y2．

当z沿实轴趋向于零时，z=x，有 lim1?f?x??f?0???1?ix?0x

?u?v?i?,?x?x?u?v???y?x?v?u?i?y?y它们分别为?u?v?,?x?y

∴

∴满足C-R条件．

(3)当z沿y=x趋向于零时，有

f?x?ix??f?0,0?x3?1?i??x3?1?i?ilim?lim?x?y?0x?y?0x?ix2x3?1?i?1?i

?flim∴z?0?z不存在．即f(z)在z=0处不可导．

????11. 设区域D位于上半平面，D1是D关于x轴的对称区域，若f(z)在区域D内解析，求证Fz?fz在区

域D1内解析．

证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，因为f(z)在区域D内解析．

?u?v?,?x?y?u?v???y?x所以u(x,y),v(x,y)在D内可微且满足C-R方程，即．

f?z??u?x,?y??iv?x,?y????x,y??i??x,y????u?x,?y?????u?x,?y????u?x,?y???y?y?x?x ?y ?v?x,?y??v?x,?y???????v?x,?y??????y?y?y?x?x

，得

故φ(x,y),ψ(x,y)在D1内可微且满足C-R条件

?????,?x?y???????y?x

??从而fz在D1内解析

13. 计算下列各值

(1) e2+i=e2?ei=e2?(cos1+isin1) (2)(3)

e2??i3?e?e23π?i32?1??π?3??π??3?e??cos????isin?????e???i??22? ?3????3?23 15 / 66

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?Re?e?Re?e?ex?iyx2?y2xx2?y2x?x2?2?Re?ey??x?yx2?y2i???y?y??????cos??2?isin?2??x2?y2?????????x?y???ex2?y2?y??cos?22??x?y?

(4)

ei?2?x?iy??ei?e?2?x?iy??e?2x?e?2iy?e?2x

14. 设z沿通过原点的放射线趋于∞点，试讨论f(z)=z+ez的极限． 解：令z=reiθ， 对于?θ，z→∞时，r→∞．

故r??lim?rei??erei???lim?rei??er?cos??isin?????r??．

所以z??limf?z???．

15. 计算下列各值． (1)

3??ln??2?3i?=ln13?iarg??2?3i??ln13?i?π?arctan??2?

π?π?ln?3?3i??ln23?iarg?3?3i??ln23?i????ln23?i6 ?6?(2)

(3)ln(ei)=ln1+iarg(ei)=ln1+i=i

(4)

πln?ie??lne?iarg?ie??1?i2

16. 试讨论函数f(z)=|z|+lnz的连续性与可导性．

解：显然g(z)=|z|在复平面上连续，lnz除负实轴及原点外处处连续． 设z=x+iy，

g(z)?|z|?x2?y2?u?x,y??iv?x,y?在复平面内可微．

u?x,y??x2?y2,v?x,y??01?u122?2??x?y??2x??x2xx2?y2?u??yyx2?y2

故g(z)=|z|在复平面上处处不可导．

从而f(x)=|z|+lnz在复平面上处处不可导． f(z)在复平面除原点及负实轴外处处连续． 17. 计算下列各值． (1)

?v?0?x?v?0?y 16 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?1?i?1?i?eln?1?i?1?i?e?1?i??ln?1?i??e?1?i????π??ln2?4i?2kπi???eln2?π4i?ln2i?π4?2kπ?eln2?π4?2kπ?ei??π?4?ln2????eln2?π4?2kπ????π??π?cos??4?ln2???isin????4?ln2?????2?e2kπ?π4?? ??cos??π?4?ln2????isin??π?4?ln2?????? (2)

??3?5?eln??3?5?e5?ln??3??e5??ln3?i?π?2kπi??e5ln3?5i?π?2kπ5i?e5?ln3?cos?2k?1?π5?isin?2k?1?π5??35??cos?2k?1?π?5?isin?2k?1?π5? 1?i?eln1?i?e?iln1?e?i??ln1?i?0?2kπi?(3)

?e?i??2kπi??e2kπ

1?i1?iln??1?i???2??1?i?ln?1?i?(4)??1?i??e??2???2???e??e1?i?????π???ln1?i???4???2kπi???1?i???π??e?2kπi?4i???e2kπi?πππ4i?2kπ?4?e4?2kπ?ei???2kπ?π?4??π?e4?2kπ????cosπ4?isin??π????4????π?e4?2kπ???22??2?2i??

18. 计算下列各值

(1)

?????eiπ?5i?e?iπ?5ieiπ?5?e?iπ?5cos?π?5i?2?2?5??e?e5??1??555?52??e?ee?e2??2??ch5

(2)

ei?1?5i??e?i?1?5i?ei?5?5i???e?i?5sin?12i?2i?e5?cos1?isin1??e?5??cos1?isin1?2ie5?e?5e5?e?5?2?sin1?i?2cos1

ei?3?i??e?i?3?i?tan?3?i??sin?3?i?cos?3?i??sin6?isin2ei?3?i?2i?e?i?3?i??2?ch21?sin23?(3)2i 17 / 66

(4)

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

12sinz???e?y?xi?ey?xi??sinx?chy?icosx?shy2i?sin2x?ch2y?cos2x?sh2y22?sin2x??ch2y?sh2y???cos2x?sin2x??sh2y?sin2x?sh2yarcsini??iln?i?1?i2???iln?1?2???ln?2?1??i2kπ????i???k?0,?1,????ln?2?1??i?π?2kπ????i?

i1?i?1?2i?i?21?arctan?1?2i???ln???ln???i?21?i?1?2i?2?55?1i?kπ?arctan2??ln524(6)

(5)

19. 求解下列方程

(1) sinz=2． 解：

1z?arcsin2?ln?2i?3i???ln???2?3?i??i?1?????i?ln?2?3???2k??πi??2???1????2k??π?iln?2?3?,k?0,?1,??2?

z(2)e?1?3i?0

z解：e?1?3i 即

z?ln?1?3i??ln2?i1???ln2??2k??πi3??π?2kπi3

(3) lnz?πi2

ππii2 即z?e2?i

解：

lnz?(4)z?ln?1?i??0

π1??z?ln?1?i??ln2?i??2kπi?ln2??2k??πi4?4?． 解：

20. 若z=x+iy，求证

(1) sinz=sinxchy+icosx?shy 证明：

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

eiz?e?izei?x?iy??e??x?yi??isinz??2i2i1?.?e?y?xi?ey?xi?2i?sinx?chy?icosx.shy (2)cosz=cosx?chy-isinx?shy

证明：

eiz?e?iz1?i?x?yi??i?x?yi??cosz???e?e221??e?y?xi?ey?xi?21??e?y??cosx?isinx??ey.?cosx?isinx??2?ey?e?y?e?y?ey??.cosx??isinx.?2?2??cosx.chy?isinx.shy (3)|sinz|2=sin2x+sh2y 证明： sinz?1??y?xie?ey?xi??sinx?chy?icosx?shy2i

2sinz?sin2xch2y?cos2x.sh2y?sin2x?ch2y?sh2y???cos2x?sin2x?sh2y

?sin2x?sh2y

(4)|cosz|2=cos2x+sh2y

证明：cosz?cosxchy?isinxshy

cosz?cos2x.ch2y?sin2x.sh2y?cos2x?ch2y?sh2y???cos2x?sin2x?.sh2y

2?cos2x?sh2y

21. 证明当y→∞时，|sin(x+iy)|和|cos(x+iy)|都趋于无穷大． 证明： sinz?1?iz?iz?1??y?xie?e??e?ey?xi?2i2i

1sinz??e?y?xi?ey?xi2?y?xi?yy?xiye?ee?e∴ sinz≥

而

当y→+∞时，e-y→0，ey→+∞有|sinz|→∞． 当y→-∞时，e-y→+∞，ey→0有|sinz|→∞．

11cos?x?iy??e?y?xi?ey?xi≥?e?y?ey?22同理得 所以当y→∞时有|cosz|→∞．

习题三

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1?y?xi?e?ey?xi??1?e?y?ey?22

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1. 计算积分C?(x?y?ix2)dz,其中C为从原点到点1+i的直线段.

解 设直线段的方程为y?x,则z?x?ix. 0?x?1

22x?y?ixdz?x?y?ix????d(x?ix)??0101C11??ix2(1?i)dx?i(1?i)?x3ii?1?(1?i)?故 033(1?z)dz2. 计算积分C?，其中积分路径C为

(1) 从点0到点1+i的直线段;

(2) 沿抛物线y=x2，从点0到点1+i的弧段. 解 (1)设z?x?ix. 0?x?1

?dz?1x??ix(d?x)ix?i

C??1?z?0?1?

(2)设z?x?ix2. 0?x?1

?1?z?dz?C??1220?1?x?ix?d(x?ix)?2i3

3. 计算积分C?zdz，其中积分路径C为

(1) 从点-i到点i的直线段;

(2) 沿单位圆周|z|=1的左半圆周，从点-i到点i; (3) 沿单位圆周|z|=1的右半圆周，从点-i到点i. 解 (1)设z?iy. ?1?y?1

zdz?1C??1?1ydiy?i??1ydy?i

3??(2)设z?ei?. ?从2到2

??dz??1dei?32??i?i?32?de?2iC?z22

3??(3) 设z?ei?. ?从2到2

?C?zdz??2i?3?1de?2i2

3

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

??z?e6. 计算积分?Cz?sinz?dzC,其中C为

Cz?a?0.

z?e???解

Czz?sinz?dz??zdz?e????sinzdzzz?ae∵?sinz在所围的区域内解析

?e∴?Cz?sinzdz?0

2?从而

??Ci?zdz?adae?z?ez?sinz?dz????C02??a2i?ei?d??00

??z?e故?Cz?sinz?dz?01z(z?1)27. 计算积分（1）（4）

C1:z???12Cdz,其中积分路径C为

32 （2）

32

C2:z? （3）

C3:z?i?12

C4:z?i?1解：（1）在

z?122z(z?1)只有一个奇点z?0. 所围的区域内，

??11111dz??(????)dz?2?i?0?0?2?i?Cz(z?1)C1z2z?i2z?i（2）在C2所围的区域内包含三个奇点z21?0,z??i.故

??i,故

11111dz?(?????Cz(z2?1)??C2z2z?i2?z?i)dz?2?i??i??i?0（3）在C2所围的区域内包含一个奇点z111111dz?(?????Cz(z?1)??C3z2z?i2?z?i)dz?0?0??i???i（4）在C4所围的区域内包含两个奇点z21?0,z?i,故

11111dz?(?????Cz(z2?1)??C4z2z?i2?z?i)dz?2?i??i??i

110.利用牛顿-莱布尼兹公式计算下列积分. (1) ?i??2i0zcosdz2

(2)

1??0?ie?zdz(2?iz)dz (3) ?

1ii2ln(z?1)dz?(4) 1z?1 (5)

1?tanzdz?0z?sinzdz (6) ?1cos2z

解 (1)

???2i0z1zcosdz?sin222??2i0?2ch1

(2)

??0?ie?zdz??e?zi20??ii??22

113i1?(2?iz)dz?i?(2?iz)d(2?iz)?i?3(2?iz)(3)

111??11i?33

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

(4) (5)

iln(z?1)121?2idz?ln(z?1)dln(z?1)?ln(z?1)??(?3ln22)1?1z?1?1284 i?10z?sinzdz???zdcosz??zcosz10??coszdz?sin1?cos10011 ii1?tanz1iidz??sec2zdz??sec2ztanzdz?tanz1?tan2z121cosz112112?2????tan1?tan1?th1??ith1?22?(6) 11. 计算积分

?i??Cezdz2z?1,其中C为

(1)

z?i?1 (2)

z?i?1 (3)

z?2

解 (1)

ezezez??Cz2?1dz???C(z?i)(z?i)dz?2?i?z?iz?i??ei ???e?iezezez??Cz2?1dz???C(z?i)(z?i)dz?2?i?z?i(2)

z??i

ezezezdz??dz??dz??ei??e?i?2?isin1????Cz2?1C1z2?1C2z2?1(3)

16. 求下列积分的值,其中积分路径C均为|z|=1.

ez??Cz5dz

(1) (2)

??zcosz2dz,z?1dz02??CCz32 (3) (z?z0)tan解 (1)

ez2?iz(4)dz?(e)??Cz54!(2)

z?0??i12

cosz2?i(2)dz?(cosz)??Cz32!(3)

z?0???i

z2dz?2?i(tanz)'??C(z?z0)2tan1C3z?z0??isec2z02

17. 计算积分??(z?1)(z?1)dz3,其中积分路径C为

(1)中心位于点z?1,半径为R?2的正向圆周

(2) 中心位于点z??1,半径为R?2的正向圆周

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

解：(1)

C内包含了奇点z?1

z?112?i1(2)dz?()33??C2!(z?1)3∴(z?1)(z?1)(2)

C?3?i8

内包含了奇点z??1,

z??1??12?i1dz?()(2)3??C(z?1)3(z?1)32!(z?1)∴

19. 验证下列函数为调和函数.

3?i8

(1)??x3?6x2y?3xy2?2y3;(2)??excosy?1?i(exsiny?1).

解(1) 设∴

w?u?i?,u?x?6xy?3xy?2y3223 ??0

?u?u??6x2?6xy?6y2?3x2?12xy?3y2?x ?y

?2u?2u??6x?12y?6x?12y22?y?x

从而有

?2u?2u??0?x2?y2,w满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.

(2)

xx??e?siny?1 u?e?cosy?1w?u?i?设,

?u?u??ex?siny?ex?cosy∴?x ?y

2?u?2uxx??e?cosy?e?cosy22?x ?y

从而有

?2u?2u??0?x2?y2,u满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.

?????ex?cosy?ex?siny?x ?y

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?2??2?xx??siny?e?e?siny2?x2 ?y

?2??2??2?02?x?y,?满足拉普拉斯方程,从而是调和函数.

22u?x?y20.证明:函数,

??xx2?y2都是调和函数,但f(z)?u?i?不是解析函数

证明:

2?2u?u?u?u??2y??2?2x?222?x ?y ?x ?y

?2u?2u?2?02?y∴?x,从而u是调和函数. ???2xy??y2?x2???x(x2?y2)2 ?y(x2?y2)2

?2??6xy2?2x3?2?6xy2?2x3??23?x2(x2?y2)3 ?y2(x2?y)

?2??2??2?02?x?y∴,从而?是调和函数.

?u???u??????x ?y ?y但∵?x∴不满足C-R方程,从而f(z)?u?i?不是解析函数. 22.由下列各已知调和函数,求解析函数f(z)?u?i?

22u?x?y?xy (2)(1)

u?y,f(1)?0x2?y2

?u???u????2y?x???2x?y??x ?y ?y解 (1)因为 ?x所以 (x,y)???(0,0)??u?u(x,y)x?xdx?y(2x?y)dy?Cdx?dy?C??(0,0)(2y?x)dx?(2x?y)dy?C??0?0?y?xx2y2????2xy?C22x2y2f(z)?x?y?xy?i(???2xy?C)22

22令y=0,上式变为

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

x2f(x)?x?i(?C)2

2从而

z2f(z)?z?i??iC2

2?u2xy?ux2?y2??2?22222?x(x?y)(2) ?y(x?y)

用线积分法，取（x0,y0）为(1,0)，有

2xx?u?u2yy???(?dx?dy)?C??4dx?x?0dy?C(1,0)1x?y?x(x2?y2)21xxy??1?2??1?Cxx?y20x2?y2(x,y)f(z)?yx?i(?1?C)2222x?yx?y

由f(1)?0.，得C=0

1??f?z??i???1??z?

23.设分

p(z)?(z?a1)(z?a2)?(z?an),其中ai(i?1,2,?,n)各不相同，闭路C不通过a1,a2,?,an,证明积

1p?(z)dz??2πiCp(z)

等于位于C内的p(z)的零点的个数.

证明: 不妨设闭路C内P(z)的零点的个数为k, 其零点分别为

1P?(z)1dz????CC2πiP(z)2πi??a1,a2,...ak

?(z?a)?(z?a)?(z?a)?...(z?a)...(z?ak1k1k?2k?3nnn?1)dz(z?a1)(z?a2)...(z?an)111111dz?dz?...?dz??????CCC2πiz?a12πiz?a22πiz?ank个?1??1???...?1????k1111dz?...?dz????CC2πiz?ak?12πiz?an24.试证明下述定理(无界区域的柯西积分公式): 设f(z)在

闭路C及其外部区域D内解析，且z??limf(z)?A??，则

??f(z)?A,z?D,1f(?)???zd???A,z?G.2πiC?

其中G为C所围内部区域.

证明：在D内任取一点Z，并取充分大的R，作圆CR: 则f(z)在以C及

z?R，将C与Z包含在内

CR为边界的区域内解析，依柯西积分公式，有

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

f(z)?1f(?)f(?)[?d?-d?]???CCR2πi??z??z

f(??z)??R因为??z 在上解析，且

???lim??f(?)1?limf(?)??limf(?)?1z?????z???1??

所以，当Z在C外部时，有

f(z)?A?1f(?)?C??zd?2πi?

1f(?)??C??zd???f(z)?A2πi即

设Z在C内，则f(z)=0，即

0?1f(?)f(?)[?d????C??zd?]2πi?CR??z

1f(?)??C??zd??A2πi故有：

习题四

1. 复级数?an与?bn都发散,则级数?(an?bn)和

n?1n?1n?1????ab发散.这个命题是否成立?为什么?

?nnn?1答.不一定．反例: ???11?11an???i2,?bn????i2发散 ?nn?1nnn?1n?1nn?1但?(an?bn)??i?n?1n?1????2收敛 2n2发散

(a?b)???nnn?1n?1n??11anbn??[?(2?4)]收敛. ?nnn?1n?12.下列复数项级数是否收敛,是绝对收敛还是条件收敛?

??n1?i2n?11?5in) (3) ?e (1)? (2)?(n2nn?1n?1n?1iπ??incosin(4) ? (5) ?n

2n?1lnnn?0?1?i2n?1?1?(?1)n?i?1(?1)n??????i 解 (1) ?nnnn?1n?1n?1n??11?i2n?1因为?发散,所以?发散

nn?1nn?1? 26 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?1?5i26n?()发散 (2)??22n?1n?1?n1?5in15nlim()?lim(?i)?0 又因为n??n??2221?5i()发散 所以?2n?1??ee1(3) ??发散,又因为????nn?1n?1n?1nn?1nπin?n?iπn?cosππ?isin?1ππnn?(cos?isin)收敛,所以不绝对收敛. ?nnnn?1n(4)

?n?1??in1?? lnnn?1lnn11?因为

lnnn?1

所以级数不绝对收敛. 又因为当n=2k时, 级数化为

(?1)kln2k?k?1?收敛

k?当n=2k+1时, 级数化为?(?1)也收敛

k?1ln(2k?1)所以原级数条件收敛

cosin?1en?e?n1?en1?1n??()??() (5) ?n??n?222n?022n?02en?0n?02?1ne其中?()n 发散,?()收敛

n?02en?02??所以原级数发散.

?3.证明:若Re(an)?0,且?an和?an2收敛,则级数?an2绝对收敛.

??n?1n?1n?1证明:设

222an?xn?iyn,an?(xn?iyn)2?xn?yn?2xnyni

因为

?an和?an2收敛

n?1n?1??所以?xn,?yn,?(xn?yn),?xnyn收敛

2n?1n?1n?1n?1????又因为Re(an)?0,

xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??2 27 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

当n充分大时, xn?xn

2所以

2?xn?1?2n收敛

22222an?xn?yn?2xn?(xn?yn)

而

?2xn?1??2n收敛，

?(xn?1?2n2?yn)收敛

所以

?an?12n收敛，从而级数

?an?1?2n绝对收敛.

4.讨论级数?(zn?1?zn)的敛散性

n?0?k?1kn?1时,sn??1 解 因为部分和sn??(z?z)?z?1，所以，当z?1k?0n当z?1时,sn?0，当z??1时,sn不存在.

i?当z?e而??0时（即z?1,z?1），cosnθ和sinnθ都没有极限,所以也不收敛．

当z>1时,sn??.

故当z?1和z?1时,

??(zn?0?n?1?zn)收敛.

5.幂级数

?C(z?2)nn?0n能否在z=0处收敛而在z=3处发散.

解： 设limn??Cn?111??，则当z?2?时，级数收敛，z?2?时发散. Cn??若在z=0处收敛,则

1??2

若在z=3处发散, 则

1??1

?显然矛盾,所以幂级数

?C(z?2)nn?0n不能在z=0处收敛而在z=3处发散

6.下列说法是否正确?为什么?

(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.

(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.

答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散. (2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

7.若

?Cznn?0?n的收敛半径为R,求

?bn?0?Cnnzn的收敛半径。

Cn?1Cn?1111bn?1lim?lim??解： 因为n?? Cnn??CbRbnbn所以 R??R?b 8.证明：若幂级数

?aznn?0?n的 系数满足limn??nan??，则

1(1)当0?????时, R?

?(2) 当??0时, R??? (3) 当????时, R?0 证明：考虑正项级数

?aznn?0?n?a1z?a2z2?...?anzn?...

nnazn?limna?nz???z，若0?????，由正项级数的根值判别法知，当??z?1时，即由于limnnn??n??z?1?时，?anzn收敛。当??z?1时，即z?n?0?1?时，anzn不能趋于零,limnanzn?1级数发散.故收

n??2敛半径R?1?.

当??0时, ??z?1,级数收敛且R???.

n若????,对?z?0,当充分大时,必有anz不能趋于零,级数发散.且R?0

2

9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。

n(1)?(z?pi) n?0n? (2)

n?0

?n?12n?1?z2n?1(3) ?(?i)?2nn?0

?n?p?zninn(n?1)((4) ?)?(z?1)n?0n

解: (１)

?limn??1(n?1)pnp1p1?lim()?lim(1?)?1pn??n??nn?1n?1?R?1z?i?1

收敛圆周

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

(2)

(n?1)plim?1pn??nR?1所以收敛圆周

z?1

n?1f(z)?(?i)?(3) 记 n2n?12n?1?z n22n?1由比值法,有

(2n?1)?2n?zfn?1(z)12lim?lim?z2n?1n??n??fn(z)2(2n?1)?22n?1?z

要级数收敛,则

z?2 级数绝对收敛,收敛半径为

R?2

所以收敛圆周

z?2 inf(z)?()?(z?1)n(n?1)(4) 记 nn

limnfn(z)?limnn??n??z?1(z?1)n(n?1)?limn??nnnn?1???,??????若????1若????1

所以

z?1?1时绝对收敛,收敛半径R?1

z?1?1

收敛圆周

10.求下列级数的和函数. (1)

n?1?(?1)?n?1z2n?nz (2)?(?1)?(2n)! n?0n?n解: (1)

limn??Cn?1n?1?lim?1n??nCn

故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：

?z?0?(?1)nzdz??(?1)nzn?nn-1n?1n?1?z1?z

所以

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?(?1)n?1?nz1?nzn-1?()??,z?121?z(1?z)

于是有：

?(?1)n?1?n?1?nz??z?(?1)n?nzn?1??nn?1?z(1?z)2z?1

(2) 令：

z2ns(z)??(?1)?(2n)! n?0?n?limn??Cn?11?lim?0.n??(2n?1)(2n?2) Cn故R=∞, 由逐项求导性质

z2n?1s?(z)??(?1)?(2n?1)! n?1?ns??(z)??(?1)n?n?1???z2n?2z2mz2n由此得到??(?1)m+1?(m?n?1)???(?1)n?(2n?2)!m?0(2m)!(2n)!n?0s??(z)??s(z)

即有微分方程s??(z)?s(z)?0

故有：s(z)?Acosz?Bsinz， A, B待定。

z2n由S(0)?A?[?(?1)?]z?0?1?A?1

(2n)!n?0?nz2n?1s?(0)??sinz?Bcosz?[?(?1)?]z?0?0?B?0

(2n?1)!n?1?n所以

z2n(?1)??cosz.R????(2n)!n?0

?n11.设级数?Cn收敛，而?Cn发散，证明?Cnzn的收敛半径为1

n?0n?0n?0???证明：因为级数设

?Cn?0?n收敛

Cn?1Zn?1lim??z.nn??CnZ

若

?Cznn?0?n的收敛半径为1

1z?则

?

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

现用反证法证明

??1

C?limn?1???10???1z?1若则，有n??Cn，即?Cn收敛，与条件矛盾。

n?0若

??1则z?1，从而?Cnz在单位圆上等于?Cn，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。

nn?0n?0??综上述可知，必有

??1，所以

R?1??1

?n12.若?Cznn?0在z0点处发散，证明级数对于所有满足z?z0点z都发散.

?nCzz?z?n10证明：不妨设当时，在z1处收敛

n?0则对?z?z1点z0处收敛

，n?0?Czn?n绝对收敛，则n?0?Czn?n在

所以矛盾,从而?Cznn?0?n在z?z0处发散.

4?zz?0zln(1?e)13.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.

1?ez解:因为ln(1?e)?ln(z)e

?z奇点为zk?(2k?1)πi(k?0,?1,...)

所以R?π 又

ln(1?e?z)?zz?0?ln2

e?z[ln(1?e)]???1?e?z?zz?01??

2e?z[ln(1?e)]????(1?e?z)2?e?z?e?2z[ln(1?e)]????(1?e?z)3?zz?0??1 22z?0?0

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

[ln(1?e)]?z(4)e?z(1?4e?z?e?2z)?(1?e?z)4z?0??123

于是，有展开式

11214z?z?z?...,R?π22!224!23

1414.用直接法将函数1?z2在z?1?2点处展开为泰勒级数,(到(z?1)项)

1z??i解：为1?z2的奇点，所以收敛半径R?2 ln(1?e?z)?ln2?又

f(z)?11,f(1)?1?z22 ?2z1?,f(1)??(1?z2)22

f?(z)??2?6z21??f??(z)?,f(1)?(1?z2)32 24z?24z3f???(z)?,f???(1)?0 24(1?z)f(4)24?240z2?120z4(4)(z)?,f(1)?0 25(1?z)z?1处的泰勒级数为

于是，f(z)在

11113??(z?1)?(z?1)2?(z?1)4?...,R?221?z2244!

15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.

1z?0和z?1处

(1) 2z?3分别在

3sinz在z?0处 (2)

(3)

arctanz在z?0处

zz?2处

(4) (z?1)(z?2)在

(5) ln(1?z)在解 （1）

11111?2n3?????????(z),z? 2z?33?2z31?2z3n?0323z?0处

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

?11111???????2n(z?1)n,z?1? 2z?32z?2?12(z?1)?11?2(z?1)2n?0(?1)n2n?1z3z5?z???... (2) sinz??(2n?1)!z3!5!n?0?3?32n?12n?1nsinz??(?1)?z,z??

4n?0(2n?1)!31dz01?z2(3)

?z??i为奇点，?R?1?arctanz??zarctanz???z?11n2ndz?(?1)zdz?(?1)n??z2n?1,z?1 ??2?01?z02n?1n?0n?0z(4)

111111111????????z?2z(z?1)(z?2)z?1z?2z?2?3z?2?431?41??234

??1z?2n1z?2n??(?1)n?()??(?1)n?()3n?034n?04?11??(?1)n?(n?1?n?1)(z?2)n,z?2?334n?0(5)因为从z??1沿负实轴ln(1?z)不解析 所以,收敛半径为R=1

?1[ln(1?z)]????(?1)n?zn

1?zn?0z??ln(1?z)??

0?(?1)n?0n1?zdz??(?1)n??zn?1,z?1nn?0

n16.为什么区域z?R内解析且在区间(?R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系数都是实数？

答：因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，而在x?R内，f(x)的展开式系数都是实数。所以在z?R内，f(z)的幂级数展开式的系数是实数.

2z?1f(z)?z?0为中心的各个圆环域内的罗朗级数. 17.求z2?z?2的以

z?0为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为： 解:函数f(z)有奇点z1?1与z2??2,有三个以

在z?1内，f(z)??2z?1111?zn=???z?(?1)n()n??2z?z?2z?1z?22n?02n?0

??((?1)n?n?0?1?1)znn?12 34 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

11?z19.在1?z???内将f(z)?e展开成罗朗级数.

t?解:令

1,则 1?z1213?t??t?... 2!3!f(z)?et?1?t?t?而

11?z???内展开式为

1?z在

1?11111?????(1??2?...) 1?zz1?1zzzz所以,代入可得

1111111f(z)?1??(1??2?...)??(1??2?...)2?...zzz2!zzz

111119?1??2?3???...z2z6z24z4120z520.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果

z?z?z2?z3?... 1?zz11?1??2?... z?1zzzz??0,所以有结果

因为1?zz?1...?11123???1?1?z?z?z?...?0 32zzz你认为正确吗?为什么?

z23?z?z?z?...要求z?1

答:不正确,因为1?zz11?1??2?...要求z?1

而1?zzz所以,在不同区域内 zz111??...?6?2??1?1?z?z2?z3?...?0 1?zz?1zzz1f(z)?cos(z?)用z的幂表示的罗朗级数展开式中的系数为

21.证明: z12πCn?cos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,...

2π?0 35 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

11cos(z?)cos(z?)z?0z??0?z??证明:因为和是内，z的奇点，所以在z的罗朗级数为

n??1cos(z?)??Cnznzn???

其中Cn?1c2πi?1cos(??)??n?1d?,n?0,?1,?2,...

其中C为0?z??内任一条绕原点的简单曲线. 1cos(z?)1zdz,(z?ei?,0???2π)Cn?n?1??2πiz?1z12πcos(ei??e?i?)i?12πcos(ei??e?i?)?ied??d?2πi?0ei(n?1)?2π?0ein?12π ?cos(ei??e?i?)?(cosn??isinn?)d??2π012π?cos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,...2π?01z?0f(z)?22. 是函数cos(1z)的孤立奇点吗?为什么? 1z?0f(z)?解: 因为的奇点有 1cos(z)1π1?kπ??z?(k?0,?1,?2,...)

πz2kπ?2z?0的任意去心邻域，总包括奇点z?所以在

1π，当

kπ?2k??时，z=0。

z?0不是从而

1cos(1z)的孤立奇点.

33623. 用级数展开法指出函数6sinz?z(z?6)在z?0处零点的级.

解：

f(z)?6sinz3?z3(z6?6)?6sinz3?z9?6z311 ?6(z3?z9?z15?...)?z9?6z33!5!故z=0为f(z)的15级零点

24. 判断z?0是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：

1/z⑴ e； ⑵

1?cosz z2 36 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1z解: 因为

1zz?0是e的孤立奇点

111e?1???...??...z2!z2n!zn

1z是e的本性奇点. 所以

(2)因为

z?01?cosz?z21?1?1214z?z?...1122!4!??z?...

z22!4!z?0是

所以

1?coszz2的可去奇点.

25. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：

11sinz⑴ ⑵ 2z ⑶

sinz2z3z(e?1)sinz?解: (1)z3所以

z?1315z?z?...11123!5!???z?... 32zz3!5!z?0是奇点,是二级极点.

解: (2)

z?2kπi(k?0,?1,...)

z?0是奇点,2kπi是一级极点,0是二级极点.

解: (3)

z?0sinz2

z?0?0,?cosz2?2z?0.??4z?sinz?2cosz?2?0的二级零点

222(sinz2)?(sinz)??2z?0z?0

z?0是sinz222sinzsinzz??kπiz??kπ而是是的一级零点, 的一级零点

所以

z?0是

11?kπi,?kπ是sinz2的二级极点, sinz2的一级极点.

1/z226. 判定z??下列各函数的什么奇点？

⑴ e ⑵ cosz?sinz ⑶

2z 3?z2 37 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1z解: (1)当z??时, e?1

21zez??所以, 是的可去奇点.

2

(2)因为

cosz?sinz?1?121411z?z?...?z?z3?z5?...2!4!3!5!

12131415?1?z?z?z?z?z?...2!3!4!5!所以, z??是cosz?sinz的本性奇点.

(3) 当z??时,

2z?0 3?z22z所以, z??是3?z2的可去奇点.

27. 函数f(z)?

1在z?1处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 2z(z?1)1111?????, z?1?1. 2543z(z?1)(z?1)(z?1)(z?1)我们得到“z?1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?

解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在0?z?1?1内得到的 在0?z?1?1内的罗朗展开式为

111111??????1?(z?1)?(z?1)2?... 222z(z?1)zz?1(z?1)(z?1)z?128.如果C为正向圆周z?3，求积分

??Cf(z)dz的值

z1f(z)?f(z)?(1)(z?1)(z?2) z(z?2) (2)

解：（1）先将展开为罗朗级数，得

1111?[?]2z(z?2)2zz(1?)z

1248?(2?3?4?...),2?z???2zzz而z =3在2?z???内，C?1?0,故

??Cf(z)dz?2πi?C?1?0

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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

z(2)(z?1)(z?2)在2?z???内处处解析，罗朗展开式为

z1111?z[?]??(z?1)(z?2)z?1z?21?11?2zz

137??2?3?...,2?z???zzz而z=3在2?z???内，C?1?1,故

??Cf(z)dz?2πi?C?1?2πi

习题五

1. 求下列函数的留数．

ze?1(1)f?z??5在z=0处．

zez?1解：5在0<|z|<+∞的罗朗展开式为

zz2z3z41?z??????1?ez?1?1111111112!3!4!Res,0??1?∴ ???????????55432?z?4!24zz2!z3!z4!z(2)f?z??e解：e11z?1在z=1处．

1z?1在0

ez?1?1?1111111?????????? 23z?12!?z?1?3!?z?1?n!?z?1?n?z1?∴Res?e?1,1??1．

2. 利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留数． 3z?2(1)f?z??2

z?z?2?3z?2解：f?z??2的有限孤立奇点处有z=0，z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点．

??zz?23z?2?3?z?2??3z?24∴Res?f?z?,0??1?lim??lim??1 ???z?2?21!z?0?z?2?z?0413z?2 Res?f?z?,?2??lim2??1

z??2z123. 利用罗朗展开式求函数?z?1??sin在∞处的留数．

z112解：?z?1??sin??z2?2z?1??sin

zz?11111???z2?2z?1?????3??5???5!z?z3!z?1 ∴Res?f?z?,0??1?

3! 39 / 66

复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）

1从而Res?f?z?,????1?

3!5. 计算下列积分．

(1)??tanπzdz，n为正整数，c为|z|=n取正向．

c解：??tanπzdz???csinπzdz．

ccosπz为在c内tanπz有 zk?k?1 (k=0,±1,±2?±(n-1))一级极点 2sinπz由于Res??f?z?,zk????cosπz??cz?2k1??

π?1?∴??f?z?,zk???2πi?????2n??4ni ?tanπzdz?2πi??Res?k?π?(2) ??dzc?z?i?10?z?1??z?3?1 c:|z|=2取正向．

在c内有z=1，z=-i两个奇点．

解：因为所以

?z?i?10?z?1??z?3????z?i?cdz10?z?1??z?3??2πi??Res?f?z?,?i??Res?f?z?,1?? ??2πi??Res?f?z?,3??Res?f?z?,?????πi?3?i?106. 计算下列积分． (1)?π0cosm?d?

5?4cos?1πcosm?d?

2??π5?4cos?因被积函数为θ的偶函数，所以I?令I1?1πsinm?d?则有

2??π5?4cos?1πeim?I?iI1??d?

2?π5?4cos?z2?11设z?e d??dz cos??则

iz2zi?1I?iI1??2?z?1zmdz

?1?z2?iz5?4???2z?1zm??dz2i?z?15?2?1?z2?zm1在|z|=1内只有一个简单极点 z?5z?2?1?z2?2被积函数f?z??1??但Res?f?z?,??lim?2?z?1?2zm?5z?2?1?z2???1 m3?2 40 / 66

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