高中数学竞赛辅导讲义第十三章 排列组合与概率

第十三章 排列组合与概率

一、基础知识

1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+?+mn种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，??，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×?×mn种不同的方法。 3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Anm表示，Anm=n(n-1)?(n-m+1)=

n!,其中m,n∈N,m≤n, (n?m)!注：一般地An0=1，0！=1，Ann=n!。

Ann4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。

n5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个

不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Cnm表示：

mCn?n(n?1)?(n?m?1)n!?.

m!m!(n?m)!6．组合数的基本性质：（1）Cnm?Cnn?m；（2）Cnm?1?Cnm?Cnn?1；（3）

nk?1kCn?1?Cnk；（4）C?C???C??Cnk?2n0n1nnnk?0n；（5）

?1?k（6）CnkCkm?Cnn?Ckk?Ckk?1???Ckk?m?Ckk?m?1；m。

7．定理1：不定方程x1+x2+?+xn=r的正整数解的个数为Crn??11。 [证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+?+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中每一个解(x1,x2,?,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,?,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有Crn??11种。故定理得证。 推论1 不定方程x1+x2+?+xn=r的非负整数解的个数为Cnr?r?1. 推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为Cnm?m?1. 8

．

二

项

式

定

理

：

若

n

∈

N+,

则

0n1n?12n?22rn?rrnn(a+b)n=Cna?Cnab?Cnab???Cnab??Cnb.其中第r+1项

Tr+1=Cnran?rbr,Cnr叫二项式系数。

9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率

m总是接近于某n个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.

10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)=. 11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件A1，A2，?，An彼此互斥，那么A1，A2，?，An中至少有一个发生的概率为

p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An).

12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为A。由定义知p(A)+p(A)=1. 13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即p(A?B)=p(A)?p(B).若事件A1，A2，?，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An).

15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖

mn于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.

16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=Cnk?pk(1-p)n-k.

17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,?,10。如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,?,xi,?,ξ取每一个值xi(i=1,2,?)的概率p(ξ=xi)=pi，则称表 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ? 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x1-Eξ)2?p1+(x2-Eξ)2?p2+?+(xn-Eξ)2pn+?为ξ的均方差，简称方差。

D?叫随机变量ξ的标准差。

18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)=Cnkpkqn?k, ξ的分布列为

ξ p

0 1 ? ? xi kkn?kCnpq ? ? N nnCnp 00n11n?1Cnpq Cnpq 此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.

19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,?)，ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξ=

q(q=1-p). 2p1p二、方法与例题 1．乘法原理。

例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？

[解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，??这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×?×3×1=

(2n)!. n2?(n!)

2．加法原理。

例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？

[解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，有C42-1=5种可能；3）3个电阻断路，有C43=4种；4）有4个电阻断路，有1种。从而一共有1+5+4+1=11种可能。 3．插空法。

例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？

[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有A66种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有A74种方法，故共有

64=604800种方式。 A6?A74．映射法。

例4 如果从1，2，?，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？ [解] 设S={1,2,?,14}，S'={1，2，?，10}；T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3

'''''''∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},T'={(a1',a2)∈S'|a1',a2},,a3?S',a1?a2?a3,a3'''''若(a1',a2,a3)?T'，令a1?a1,a2?a2?2,a3?a3?4，则(a1,a2,a3)∈T,这样

就建立了从T'到T的映射，它显然是单射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令

'''''a1?a1,a2?a2?2,a3?a3?4，则(a1',a2,a3)?T'，从而此映射也是满射，

3因此是一一映射，所以|T|=|T'|?C10=120，所以不同取法有120种。

5．贡献法。

例5 已知集合A={1，2，3，?，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和。

[解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有29个，所以a对x的贡献为29，又|A|=10。所以x=10×29.

k[另解] A的k元子集共有C10个，k=1,2,?,10，因此，A的子集的91210019元素个数之和为C10?2C10???10C10?10(C9?C9???C9)?10×2。

6．容斥原理。

例6 由数字1，2，3组成n位数(n≥3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？

[解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3n，用A1，A2，A3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1?A2|=|A2?A3|=|A1?A3|=1。|A1?A2?A3|=0。 所以由容斥原理|A1?A2?A3|=?|Ai|??|Ai?Aj|?|A1?A2?A3|=3×

i?1i?j32n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1?A2?A3|=3n-3×2n+3个。 7．递推方法。

例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？

[解] 设能构造an个符合要求的n位数，则a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.当n≥3时：1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2，它的两根为x1=1+3,x2=1-3,故an=c1(1+3)n+ c2(1+3)n,由a1=3,a2=8得c1?an?143[(1?3)n?2?(1?3)n?2].

2?323,c2?3?223，所以

8．算两次。

0r1r?12r?2r0例8 m,n,r∈N+，证明：Cr?CnCm?CnCm?CnCm???CnCm. ①

n?m[证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有Cnr?m种；另一方

r?k面，从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有CnkCm种，

k=0,1,?,r。所以从这n+m人中选出r位的方法有

0r1r?1r0CnCm?CnCm???CnCm种。综合两个方面，即得①式。

9．母函数。

例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，?，10，另有大、小王各一张，编号均为0。从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数。 [解] 对于n∈{1,2,?,2004},用an表示分值之和为n的牌组的数目，则an等于函数f(x)=(1+x2)2?(1+x2)3???(1+x2)3的展开式中

0

110xn的系数（约定|x|<1），由于f(x)=?(1+x2)]3=

10011[ (1+x2)(1+x2)??1?x112113 2113

=(1?x)(1?x)。

(1?x)(1?x)3(1?x2)(1?x)21n

的展开式中x的系数，又由22(1?x)(1?x)而0≤2004<211，所以an等于于

111232

=?=(1+x+x+?+x2k+?)[1+2x+3x+?

(1?x2)(1?x)21?x2(1?x)2+(2k+1)x2k+?],所以x2k在展开式中的系数为

a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,?,从而，所求的“好牌”组的个数为a2004=10032=1006009. 10．组合数Cnk的性质。

例10 证明：C2k?1是奇数(k≥1).

m[证明] Ctik2m?1(2m?1)(2m?2)?(2m?1?k?1)2m?12m?22m?k??????令=

1?2???k12k2m?ti?pi2m?i2m?2tipi??i=2?pi(1≤i≤k)，pi为奇数，则，它的tiipi2pi分子、分母均为奇数，因C2k?1是整数，所以它只能是若干奇数的积，

m即为奇数。

例11 对n≥2,证明：2n?C2nn?4n.

[证明] 1）当n=2时，22

(k?1)!(k?1)!(k?1)!?k!k?12(2k?1)<4，所以2k+1<2C2kk?C2k(?k1?1)?4C2kk?4k?1. k?1所以结论对一切n≥2成立。 11．二项式定理的应用。

1?例12 若n∈N, n≥2，求证：2??1????3.

?n?1?110112n[证明] 首先??1???Cn?Cn??Cn?2???Cn?n?2,其次因为

nnn?n?1n(n?1)?(n?k?1)1111?1?，所以C?k?????(k?2)?1??? kk!k(k?1)k?1knn?k!?n?knnnn2+Cn2?111111111n???C??2?????????3??3.得证。 n2n1223n?1nnnnn1例13 证明：?Cnm??kh?Ckh?Cnm??1(h?m?n).

k?0[证明] 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中Cnm??kh是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数。Ckh是(1+y)k的展开式中yk的系数。从而Cnm??kh?Ckh就是(1+x)n-k?(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数。 于是，?Ck?0nm?hn?k?C就是?(1?x)n?k(1?y)k展开式中xy的系数。

hkk?0n?1n?1nm-hh

另一方面，?(1?x)k?0n?1kkn?1nn?k(1?x)n?1?(1?y)n?1?(1?y)=

(1?x)?(1?y)k?Ck?0kn?1kkx??Cn?1ykk?0x?y=

xk?ykn?1k=?Cn?1(xk-1+xk-2y+?+yk-1)，上式中，xm-hyh项的系数Cx??x?yk?0k?01恰为Cnm??1。

1所以?Cnm??kh?Ckh?Cnm??1.

k?0n

12．概率问题的解法。

例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：恰好有k件是次品的概率是多少？ [解] 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n（即所有的可能结果）。设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数

kkn?kCab为Cnk?ab，故所求的概率为p(A)=n. n(a?b)kn-k

例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 [解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为C5kpk(1-p)5-k(k=0,1,2,?,5)，由题设

221C5p(1?p)3?C5p(1?p)4，且0

[解] （1）如果采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：A1—2：0（甲净胜二局），A2—2：1（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）.

1p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)=C2×0.6×0.4×0.6=0.288.

因为A1与A2互斥，所以甲胜概率为p(A1+A2)=0.648.

(2)如果采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：B1—3：0（甲净胜3局），B2—3：1（前3局甲2胜1负，第四局甲胜），B3—3：2（前四局各胜2局，第五局甲胜）。因为B1，B2，B2互斥，所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+C32×0.62×0.4×0.6+C42×0.62×0.42×0.6=0.68256.

由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大。

例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2。从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片。求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望。

1211112C2?C2?C3?C1?C2C1?C414[解]（1）p?12?；（2）p?；（3）记ξ?1263C6?C721C6?C7为取出的3张卡片的数字之积，则ξ的分布为

ξ p

所以E??0?3724132?2??4??8??. 42636342630 37 422 2 634 4 638 1 42三、基础训练题

1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个。 2．在正2006边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________。

3．用1，2，3，?，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数。

4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法。

5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 6．今天是星期二，再过101000天是星期_________。

7．由(3x?32)100展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项。

8．如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点。

9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________。

10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，?，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________。

11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开。他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________。

12．马路上有编号为1，2，3，?，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________。

13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式。

ii14．已知i,m,n是正整数，且1(1+n)m.

15.一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体） 四、高考水平训练题

1．若n∈{1,2,?,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个。

2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。

3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法。

4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的

任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种。 5．一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个。

?1?x??6．将二项式???的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差42x??n数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个。 7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值。

8．二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。

9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）

10．在1，2，?，2006中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________。

11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，?，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________。

12．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(m≥n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。

16

13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=

总产量）

耕地面积五、联赛一试水平训练题

1．若0

2.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线倾斜角为锐角，这样的直线条数是_________。

3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A满足：（1）若i≠j，则f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，则f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_________。

4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质：对于1≤i≤4,a1,a2,?,ai不构成1，2，?，i的某个排列，这种排列的个数是_________。

5．骰子的六个面标有1，2，?，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_________，最小值为_________。

6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3

名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________。

7．如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数abcd的个数为_________。 8．如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,?,若an=2005，则an=_________。 9．求值：?(?1)k?1k?12n?1n?k=_________。 kC2n1610．投掷一次骰子，出现点数1，2，?，6的概率均为，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_________。

11．将编号为1，2，?，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）。 12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0

．

设

m,n

∈

N,0

≤

n

，

求

证

：

mm0mm?1n?2m?12n?mCm?2n?m?1Cm?1???2Cn?Cn?1?Cn?1??+Cn?1.

六、联赛二试水平训练题

1．100张卡片上分别写有数字1到100，一位魔术师把这100张卡片放入颜色分别是红色、白色、蓝色的三个盒子里，每个盒子里至少放入一张卡片。

一位观众从三个盒子中挑出两个，并从中各选取一张卡片，然后宣布这两张卡片上的两个数的和数，魔术师知道这个和数之后，便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。问：共有多少种放卡片的方法，使得这个魔术师总能够成功？（如果至少有一张卡片被放入不同颜色的盒子，两种方法被认为是不同的）

2．设S={1,2,?,10}，A1，A2，?，Ak是S的k个子集合，满足：（1）|Ai|=5,i=1,2,?,k;（2）|Ai?Aj|≤2,1≤i1为固定的正整数；（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得jh?1?jh≥

00m+1.

4.设n?2S?2S???2S,其中S1，S2，?，Sm都是正整数且S1

12m11n求证组合数Cn中奇数的个数等于2m。 ,Cn,?,Cn5．n(n?1)个不同的数随机排成图13-2所示的三角形阵，设Mk是从上2往下第k行中的最大数，求M1

n?r?1k?1?kCr?1n?kr?1?Cn?1.

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