高等数学教材

df(x)dx 与 dx解 不相等.设F?(x)?f(x),则

例1 (E01) 问

????f?(x)dx是否相等?

d??f(x)dx??dx(F(x)?C)?F?(x)?0?f(x)

d而由不定积分定义?f?(x)dx?f(x)?C，所以??f(x)dx???f?(x)dx.

dxddx例3 (E03) 检验下列不定积分的正确性：

（1）xcosxdx?xsinx?C；（2）xcosxdx?xsinx?cosx?C; 解 （1）错误. 因为对等式的右端求导，其导函数不是被积函数：

???xsinx?C???xcosx?sinx?0?xcosx.

（2）正确. 因为

?xsinx?cosx?C???xcosx?sinx?sinx?0?xcosx.

1．填空题

（1）若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)? 。 解：因为?f(x)dx?lnx2?c 所以f(x)?2x2? x2x（2）若?f(x)dx?sin2x?c，则f(x)? ． 解：f(x)?2cos2x

（3）若?f(x)dx?xlnx?c，则f?(x)? ． 解：f(x)?lnx?1，f?(x)?（4）d?e?xdx? 解：d?e?xdx?e?xdx （5）?(sinx)?dx? ．

221 x ．

2解：?(sinx)?dx?sinx?c

例2 设F(x)为ex2?2x的一个原函数,且满足F(o)?0，求

?10F(x)dx

ex2?2x本身是一个不可积的函数，我们根本不能把F(x)表达成初等函数的形式，这

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个时候唯一的办法就是利用变上限积分

解 设F(x)??xaet2?2tdt

?x02et2?2tdt它是et2?2t的一个原函数，又显然满足F(0)?0，于是

2?10F(x)dx??100?xet?2tdtdx由于双重积分里面et112?2t关于t的原函数不可积,所以用交换

积分次序的办法

?? ?1x00et2?2tdtdx??0t?et?2tdxdt??(et012?2tx1t)dt

?10et2?2t(1?2t)dt??1011t2?2t2ed(t?2t)?021t2?2t??e2?11?22e第21讲 理函数的不定积分

授课题目 有理函数的不定积分 教学内1. 有理真分式的部分分式分解；2. 有理函数的不定积分；3. 三角函数有理式的容 不定积分；4. 某些无理根式的不定积分. 教学目通过本次课的教学，使学生能较好掌握有理函数的不定积分，知道三角函数有的和要理式的不定积分方法；掌握某些无理根式的不定积分． 求 教学重教学重点：有理函数的不定积分，某些无理根式的不定积分； 点及难教学难点：三角函数有理式的不定积分. 点 教学方(1) 有理真分式的部分分式分解方法一定要结合实际例题讲授，采用老师一边讲法及教解，学生一边练习的授课方法. 材处理(2) 有理函数的不定积分方法的核心是部分分式分解，应适当布置有理函数的不提示 定积分课外习题。 (3)布置一些三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的课外习题，让学生通过作业来理解和掌握此积分方法． 作业布作业内容：教材 P，2(1,4,5,6). 199:1（1，2，3，5）置 讲授内容

一、有理函数的不定积分

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为

P(x)?0xn??1xn?1????nR(x)??Q(x)?0xm??1xm?1????m(1)

，

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其中n，m为非负整数，?0,?1,?,?n与?0,?1,??m都是常数，且?0?0，?0?0． 若

m?n，则称它为真分式；若m?n，则称它为假分式．由多项式的除法可知，假分式总能

化为一个多项式与一个真分式之和．由于多项式的不定积分是容易求得的，因此只需研究真分式的不定积分，故设(1)为一有理真分式．

根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和(称为部分分式分解)．因而问题归结为求那些部分分式的不定积分．为此，先把怎样分解部分分式的步骤简述如下(可与例1对照着做)：

第一步 对分母Q?x?在实系数内作标准分解： Q?x???x?a1?1??x?as???2?x2?p1x?q1??1??x2?pt?qt??t，

（2） 其

中

t?0?1,?i,?j?i?1,2,?,t?均为自然数，而且

??i?1si?2??j?m;p2j?4qj?0,j?1,2,?,t.

j?1k 第二步 根据分母的各个因式分别写出与之相应的部分分式：对于每个形如?x?a?的因式，它所对应的部分分式是

AkA1A2????; 2kx?a?x?a??x?a?对每个形如x?px?q的因式，它所对应的部分分式是

?2?kB1x?C1B2x?C2?x2?px?qx2?px?q??2????xBkx?Ck2?px?q?k.

把所有部分分式加起来，使之等于R?x?．(至此，部分分式中的常数系数Ai,Bi,Ci尚为待定的.)

第三步 确定待定系数：一般方法是将所有部分分式通分相加，所得分式的分母即为原分母Q?x?，而其分子亦应与原分子P?x?恒等．于是，按同幂项系数必定相等，得到一组关于待定系数的线性方程，这组方程的解就是需要确定的系数．

2x4?x3?4x2?9x?10例1 对R?x??5作部分分式分解

x?x4?5x3?2x2?4x?8解

按

上

述

步

骤

依

2次执行如下：

Q?x??x5?x4?5x3?2x2?4x?8??x?2??x?2??x2?x?1.?

部分分式分解的待定形式为R?x??A0AA2Bx?C?1??. 22x?2x?2?x?2?x?x?1版权所有 翻版必究

（3）

用Q?x?乘上式两边，得一恒等式

2x?x?4x?9x?10?A0?x?2?x?x?1

43222??+A1?x?2??x?2?x?x?1?A2?x?2?x?x?1

22???? +

（4）

然后使等式两边同幂项系数相等，得到线性方程组：

?Bx?C??x?2??x?2?2

?A0?A1?B?2,????????x4的系数?33A?A?A?2B?C??1，???x的系数012?????x2的系数 ?A0?3A1?3A2?4B?2C?4，?4A?3A?8B?4C?9，?????x的系数2?1??4A0?4A1?2A2?8C??10.????常数项求出它的解：A0?1,A1?2,A2??1,B??1,C?1，并代人(3)式，这便完成了R(x)的部分分式分解：

R(x)?121x?1???. 22x?2x?2(x?2)x?x?1上述待定系数法有时可用较简便的方法去替代．例如可将x的某些特定值(如Q(x)?0的根)代人(4)式，以便得到一组较简单的方程，或直接求得某几个待定系数的值．对于上例，若分别用x?2和x??2代人(4)式，立即求得A0?1和为

A2??1，于是（4）式简化成

x4?3x3?12x?16?A1(x?2)(x?2)(x2?x?1)?(Bx?C)(x?2)(x?2)2.

为继续求得A1,B,C，还可用x的三个简单值代人上式，如令x?0,1,?1，相应得到

?A1?2C?4,??A1?3B?3C?2,由此易得A1?2,B??1,C?1．这就同样确定了所有待定系数． ?3A?B?C?8.?1 一旦完成了部分分式分解，最后求各个部分分式的不定积分．由以上讨论知道，任何有理真分式的不定积分都将归为求以下两种形式的不定积分：

(?)dxLx?M2????dx(p?4q?0)． ； ?(x2?px?q)k?(x?a)k版权所有 翻版必究

?lnx?a?C,k?1,dx?1?对于???，已知? ?k?C,k?1.(x?a)??1?k??x?a?k?1?对于????，只要作适当换元(令t?x? （5）

p)，便化为 2?L?tdtdt?N?(t2?r2)k, (t2?r2)kLx?MLt?Ndx??(x2?px?q)k?t2?r2kdt??p2p其中r?q?,N?M?L.．

422当k?1时，（5）式右边两个不定积分分别为

t1dt?ln(t2?r2)?C， ?t2?r22（6）

当k?2时，（5）式右边第一个不定积分为

dt1t?arctan?C. ?t2?r2rrt1dt??C. 22k?1?(t2?r2)k2(1?k)(t?r)对于第二个不定积分，记 Ik?dt?(t2?r2)k?1, 可用分部积分法导出递推公式如下：

t2?(t2?r2)kdt

1Ik?2r?(t2?r2)?t211dt?I?k?1?(t2?r2)kr2r2??111??I?td2k?1222k?1???r2r(k?1)?(t?r)????11tI??Ik?1?. ?22k?122k?1r2r(k?1)?(t?r)?整

理

得

到

经（7）

Ik?t2k?3?Ik?1. 222k?122r(k?1)(t?r)2r(k?1)重复使用递推公式(7)，最终归为计算I1，这已由(6)式给出. 把所有这些局部结果代回(5)式，并令t?x?p2，就II）的计算．

例2

x2?1dx. 求?22(x?2x?2)解：在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为

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12x?1x2?1(x2?2x?2)?(2x?1)???. 2222222(x?2x?2)(x?2x?2)x?2x?2(x?2x?2)现分别计算部分分式的不定积分如下：

dxd(x?1)??x2?2x?2?(x?1)2?1?arctan(x?1)?C1.

d(x2?2x?2)2x?1(2x?2)?1?(x2?2x?2)2dx??(x2?2x?2)2dx??(x2?2x?2)2???(x?1)d(x?1)2?1?2

??1dt?.

x2?2x?2?(t2?1)2由

递

推

公

式

（

7

）

,

求

得

其

中

dtt1dtx?11?????(t2?1)22(t2?1)2?t2?12(x2?2x?2)2arctan(x?1)?C2. x2?1x?33dx??arctan(x?1)?C. 于是得到 ?2222(x?2x?2)2(x?2x?2)二、三角函数有理式的不定积分

xR(sinx,cosx)dx是三角函数有理式的不定积分。一般通过变换，可把它化t?tan?2xxx2sincos2tan22?2?2t, 为有理函数的不定积分。这是因为sinx?1?t22x2x2xsin?cos1?tan222（8）

x2x2x?sin1?tan21?t22?2? cosx?,2xxx1?t22sin?co2s1?tan222co2s(9)

dx?2dt, 21?t?2t1?t2 所以?R(sinx,cosx)dx??R??1?t2,1?t2?例3 求

?2??1?t2dt． ?1?sinx?sinx(1?cosx)dx

解 令t?tanx，将(8)、(9)、代人被积表达式， 21?2dt 2?1?t????2t21?sinx1?t?sinx(1?cosx)dx??2t?1?t2?1?21?t2?1?t?版权所有 翻版必究

?1?1?1?t21x1x2x????t?2??dt???2t?lnt?C?tan?tan?lntan?C.??2?t?2?242222?

例4 求

dx?a2sin2x?b2cos2x(ab?0).

dxsec2xd(tanx)解：由于?2, ?dx?222222222??asinx?bcosxatanx?batanx?b故令t?tanx,就有

dxdt1d(at)???a2sin2x?b2cos2x?a2t2?b2a?(at)2?b2 11at?a?arctan?tanx??C. arctan?C?ababb?b? ?三、某些无理根式的不定积分

?ax?b?ax?bn??dx型不定积分(ad?bc?0)．对此只需令t?n1.?Rx,，就可化

??cx?dcx?d??为有理函数的不定积分．

例5求

1?xx?2dx. x?2解：令t?x?22(t2?1)?8t,则有x?2,dx?2dt, 2x?2t?1(t?1)1?xx?24t22??2dx??dt??dt ???1?t21?t2?x?2(1?t2)(1?t2)??ln1?(x?2)/(x?2)1?tx?2?2arctant?C?ln?2arctan?C 1?tx?21?(x?2)/(x?2)例6 求

?(1?x)dx2?x?x12.

1(1?x)21?x，故令t?2?x解：由于

(1?x)2?x?x2?1?x，则有

2?x2t2?16tx?,dx?dt,

1?t2(1?t2)2?(1?x)dx2?x?x2??1(1?x)21?xdx2?x

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(1?t2)26t2222?x???t?dt?dt???C???C ?3t23t31?x9t4(1?t2)2

第四章 不定积分

一、知识网络图

二、内容与要求

内容与要求：

1. 原函数的概念：如果在区间

，那么

就称为

内，可导函数

在区间

的导函数为上的原函数。

，即对任一，都有

2. 不定积分的定义：在区间内，函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的

不定积分，即, 式中为任意常数。

理解和掌握不定积分的基本性质，基本积分表和各种积分方法，如凑微分法、变量替换法、分部积分法、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分。

重点：各种基本积分方法。 难点：分部积分法。

三、概念、定理的理解与典型错误分析

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正确理解原函数与不定积分的关系是十分重要的。

例1 设，求.

解 由原函数的定义得：， 解得 故

.

例2 设

，求

是.

的一个原函数，当时，且又

解 因是的一个原函数，故. 由已知条件得

，改写成微分形式: ，两边积分得

，由解得，所以

不定积分的典型错误常见有下列几种情况：

（1）该加绝对值的时候没有加；（2）任意常数忘了加上；（3）被积函数出现绝对值时处理错误；（4）分段函数的积分常常搞错。下面一一举例加以说明。

例3 求.

典型错误：分析：题目给出的虑

的情形。当

的定义域是

时，

，而上述做法只考虑了

的情形，还须考

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正确做法是：把两种情形合并起来得

例4 求典型错误：

故

分析：移项之后，任意常数了，没加就应该把

好象没有了。事实上，利用分部积分公式，前面已有不定积分积出来

，而现在要把最后一个积分移到左边去，移项之后，

的原因是指望最后一个积分积出后再添加上。正确答案为

例5 求

典型错误：由 得

错误原因：

是连续函数

的原函数，故在任一点都是连续可导的，当然在

点的左右极限不相等，正确的答案为：

处也连续。显然所给出的函数在

因在

点的左右极限相等，推出

，即

，

故

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例6 设 及，求

典型错误：设，则

积分得 由，得

的不同的取值范围，任意

错误原因：因为被积函数是连续的，原函数必定连续可导，所以，对于

常数应该是不一样的，否则连续性得不到保证。正确的答案为：

由假定

，得

再由

在

的连续性得

，从而得

. 故

四、解题方法与题例

首先要记住教材中列出的十几个不定积分公式，还要记住下列重要的不定积分公式：

1． ；

2． ；

3． ；

4． ；

5． 6．

；

；

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7．8．9．

；

； ；

其次要理解和掌握求不定积分的四种基本方法。

1. 直接积分法：直接或将被积函数恒等变形后利用基本积分公式和不定积分的性质求不定积分。 2. 换元积分法：

（1）第一类换元法（凑微分法）：

设具有原函数可导，那么是的原函数，

即有换元公式：

（2）第二类换元法（变量置换法）：

设是单调、可导的函数，并且，又设具有原函数，则

是的原函数（其中是的反函数），即有换元公式：

=

=

=

注意：求出后，必须用

存在且是单值可导的，为此，

的反函数

在t的某一区间（该区间与

代回去，故要求的积分区间相对应）上

应该是单调、可导的函数，且

3. 分部积分法

设函数及具有连续导数,则有分部积分公式：。

4. 特殊类型函数的不定积分

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（1）有理函数的积分：，其中与为多项式；

（2）三角函数有理式的积分：（3）简单无理函数的积分。

；

不定积分最重要的方法与技巧是凑微分法和分部积分法，下面举例加以说明。

（1）型

例1 求

解 原式=

例2 求 .

解 原式=

（2）凑微分法和分部积分法结合起来解题。

.

例3 求

解 原式=

（3）有的函数的原函数不是初等函数，但是通过分部积分能抵消这一积分，此方法很重要。

例4 求

解 原式=

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例5 求解 （降幂法）

.

注：适合应用“降幂法”的不定积分有如下一些类型：

，

例6 求

.

，，其中为某一次多项式.

解 （升幂法）令 ，，于是 ，，因而

.

例7 求解 （升幂法）

.

而

，

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.

注：适合应用“升幂法”的不定积分有如下一些类型：

，，（

为正整数）.

，，

例8 求解 （循环法）

.

，

于是得到

.

例9 求解 （循环法）

.

，

同理得到

注：适合应用“循环法”的不定积分有如下一些类型：

，，或类似于例8，例9那样的积分.

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例10 求解 由于分母同为

与

.

与分母的导数

的线性组合，因此设想：若能求得

、

，使得

以及分子

从而有

，

所以 于是有

即

.

注：本题也可化为有理式的积分，具体过程留给读者.

例11 求

解 原式 =

例12 求

解 原式 = ==+C

例13 求

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解 原式 =

=

例14 求

解 原式 =

=

=

例15 求，其中均为常数。

解 原式 =

=

例16 求

解 原式 =

=

例17 求

解 原式 =

=

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例18 求解 令

,则

于是

原式 =

例19 求

解 令, 则 于是

原式 =

例20 求

解 原式 = ，令，化简后得

上式 =

总结：利用第一类换元法（凑微分法）求不定积分，必须牢记基本积分公式，这样就不 会被复杂的式子所迷惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分类型。

例21 求 （为常数）

解 当时，原式 = ；

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当时，原式 =

注意：对于含有参数的积分，当参数取不同值时，要先进行讨论，需采取不同的积分方法。

例22 求

解 （1）令

，则

=

故上式 = = =

=

例23 求

解 令 ，则，于是

= = =

==

例24 求不定积分

解 =

=

= =

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例25 求.

解 为了把被积函数的根号去掉，可令 于是被积函数化为

又由

， 所以

例26 求

解 令 （在的其他单调区间上也可同样讨论）.于是

其中 ，故有

例27 求

解 令 所以

总结：第二类换元法常用代换有：根式代换、三角代换、倒代换。其中三角代换可使被积函数消去根号而有理化，尤为多用，使用第二类换元法求出原函数后一定要将变量代回。

常用第二类换元法积分类型：

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（i） 令

（ii）（iii）（iv）

令 令 令

（v）倒代换 令 ，消去被积函数分母中的因子。

例28 求 （，整数）的递推公式。

解

=

=

=

所以 ，其中

例29 求解 令

，则有

从而有

由此可见，使用分部积分法的关键在于适当选出被积表达式中的

和

，使得

中右边的不定积分容易求出。如果选择不当，可能反而会使求不定积分更加复杂.如在例29中取

. 就有

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这样，右端的不定积分显然比左端更难求得.

.

例30 求 与

解

经相互代入，移项整理后即得

类似的，下列类型的积分，通常可用分部积分来计算：

其中

，

为自然数.

例31 求不定积分

分析：计算有理函数的积分可分为两步进行。第一步：用待定系数法或赋值法，将有理

分式化为简单分式之和；第二步：对各简单分式分别积分。其中把被积函数变成部分分式是关键。此题先将分母分解因式再把被积函数化成部分分式。

解 因为

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通分比较系数得：

所以 ： =

=

例32 求

分析：三角有理函数的积分，一般都可以通过“万能代换”化为有理函数的积分进行计算。

解 （方法一）令，则 ，

于是 = =

= =

= =

（方法二） = =

= =

=

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总结：

（1）三角有理函数的积分但计算起来比较麻烦；

，一般利用将其转化为有理函数的积分，

（2）做题时要注意分析被积函数的特点，通常是采用变量代换和三角公式简化积分。

例33 求.

解 由于故令

，就有

在此例中如果仍令，则不如上法简单。通常当被积函数是，及

的有理式时，通常采用

的变换。

往往较为简便。其他情形可因题而异，选择较为合适

例34 求

解

其中 并设

例35 求解 令

，则

，

，

于是 = = =

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= =

例36 求解 令

，则

，

，

于是 = =

= =

=

例37 求

解 由于 故令，有 ，

所以

（本题也可令 总结：

来求解，读者不妨一试）。

（1）无理函数的积分，基本方法是通过适当的变量代换，将无理函数有理化，从而化成有理函数的积分。

（2）根据不同的问题，要善于选择简便积分法。

例38 已知的一个原函数是，求

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解 因为 所以

的一个原函数是

故 例39 已知

，

，求

解 由于

所以

于是

例40 求

解 原式 =

=

例41 求

解 原式 =

=

= =

例42 求

解

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例43 求

解 原式 =

=

=

=

例44 求解 原式 = = =

例45

解 原式 =

=

例46 求

解

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例47 求

解法一 原式 =

=

=

解法二 原式 =

=

注：从此题可看出，用不同的积分方法能使解题带来方便，虽然答案的形式不一样，但求导的结果是相等的。

例48 求

解：设 则

原式

例49 求

解法一 令

原式=

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解法二 原式=

令 上式 =

设

令，从而

原式

注：从此题的解法中可知有时用万能公式解题也不算复杂，因此，要具体问题具体分析，灵活运用。

例50 解法一 当

时，

原式 =

当时，原式 =

故原式 = .

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解法二 原式 =

解法三 令

，则

，于是

原式 =

注：从上题三种解法中，可以看到用不同的方法，解题过程的复杂程度是不一样的，因此，我们要努力寻找简单有效的解题方法。

例51

解 原式 =

=

注：有时我们用若干次分部积分后，又出现了原来的不定积分且系数不一定为1，而其它函数的不定

积分都已求出来，把所求的不定积分看成一个未知数通过解方程求出，解出后不要忘了加上任意常数。

例52 求解 当

时，

当时，

当时，

因为被积函数是连续函数，故原函数必连续可导，只要确定可导则自然成立。由分段点的左右极限相等得：

、的值，使原函数连续就行，而

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，即

，即，

从而

例53 解 由当

时，

知：

或

当

时，

总之，得

例54 求

.

解

例55 求

.

解

例56 求.

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解

例57 求.

解 令 ，则

，

于是

， ， .

.

五.习题选解

习题（4-2）

1. 用凑微分法求下列不定积分：

（5）

解 原式 =

（14）

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解 原式 =

（18）

解 原式 =

（25）

解 原式 =

（26）

解 原式 =

（27）

解 原式 =

=

（29）

解 原式 =

（31）

解 原式 =

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（33）解 原式 =

=

2. 用变量代换法求下列不定积分：

（3）

解 设，则，从而，故得

（6）

解 设，则，故得

（7）

解 设，其中. 从而

故得

，

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（8）

解 设，则，. 故得

（10）

解 被积函数的存在域为，因此可设，其中. 从而

故得

，

注意到，

代入上式并整理有，

原式

3. 用分部积分法求下列不定积分：

（5）

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解

（6）

解

（7）

解

（13）

解

于是得

（15）

解

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（17）

解

习题（4—3） 求下列不定积分：

（6）

解

设，通分后应有

比较等式两端的同次幂的系数，可得

，

，，.

于是

（9）

解

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（15）

解

复习题四

2． 求下列不定积分：

（1）

解

（2）

解 设，其中，则. 代入得

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（5）

解

（6）

解

（10）

解

（12）

解

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于是

（13）

解

.

第四章小结

一、 不定积分的概念与性质

1. 原函数定义：如果在区间I上，可导函数F?x?的导函数为f?x?，即对任一x?I，

都有F'?x??f?x?或dF?x??f?x?dx，那么函数F?x?就称为f?x?（或

f?x?dx）在区间上的原函数。

原函数存在定理：连续函数一定有原函数。

注*如果f?x?有一个原函数，那么f?x?就有无限多个原函数。

2. 在区间I上，函数f?x?的带有任意常数项的原函数称为f?x?（或f?x?dx）在区

间I上的不定积分，记作

?f?x?dx。其中记号 ?称为积分号，f?x?称为被积函

数，f?x?dx称为被积表达式，x称为积分变量。 3. 积分曲线（不定积分的几何解释）

F?x?的图形→f?x?的积分曲线；?f?x?dx?F?x?图形→f?x?的积分曲线族。

4. 基本积分表

?kdx?kx?C（k是常数）

dx?x?lnx?C

x??1?xdx???1?C（???1） dx?1?x2?arcsinx?C

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