考研数学66条笔记

1、 对于不等式xn yn(n N)两边取极限时（以极限存在为前提），除不等号外还要带上

等号，即limxn limyn。

x

x

2、 对于任意数列 an ，若满足an A kan 1 A(n 2,3....)其中0 k 1，则必有

liman A。这一结论在求解递归数列的极限时是很有用的。

x

3、 设g x 在x a可导， (x)在x a连续而不可导，则g x (x)在x a处

不可导 若g(a) 0

可导且导数为g'(a) (a) 若g(a) 0

4、 证明

在Qf'(x )P(x )f(x)x 存在零点，等价于证明 a,b

u(x )f' (x)P( x)f 在(x a),bQ(x)其中u(x)为 a,b 内任意恒正的函 存在零点，

P(x)dx

数。受求解一阶线性方程积分因子法的启示，取u(x) e

，

F(x) e

P(x)dx

f(x) e

P(x)dx

Q(x)dx

5、 曲率：K

y''x'y'' x''y'

223/223/2

(x' y')(1 y')

x y

r r x F1(r,s,t)

x y

6、 参数方程的重积分换元 y F2(r,s,t) dxdydz

s s z F(r,s,t)

3 x y

t t z r z

drdsdt s z t

7、 若f(x)以T为周期的周期函数，f(x)的全体原函数以T为周期的充要条件是

T

f(t)dt 0

8、 若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在I上不存在原函数；若f(x)在区间I

上有第二类间断点，不确定f(x)在I上存不存在原函数。

2u 2u

9、 多元初等函数的偏导数仍是初等函数， x y y x

10、

旋转面与柱面方程

命题1：设空间曲线 的曲线参数方程为x (t),y (t),z (t)，则 绕z轴旋转

x

一周的曲面方程为： y

z (t)

命题2：准线方程为 ：

f(x,y) 0

当母线的方向向量为s l,m,n 则柱面方程

z 0

lm

f(x z,y z) 0

nn

x f(t)

命题3：若准线方程是 ： y g(t),t ( , )，母线的方向向量是s l,m,n ，柱

z h(t) x f(t) lu

面方程是 y g(t) mu

z h(t) nu

11、 12、

两个随机变量X,Y，若X a则当a 0时 XY 1；当a 0时 XY 1 Y b，

ab,，)f(x)在 , 可积，又设设f(x)在 a,b 非负， , (

x a 0

x b 0

x a(或x b)是f(x)的瑕点，且lim(x a)pf(x) l(或lim(b x)pf(x) l)则

当p 1且0 l 时，瑕积分13、

14、 15、

16、 17、 18、

b

a

f(x)dx收敛。

实对称的矩阵的属于不同特征值的特征值向量正交 正交的向量组必线性无关

知道三边长求面积用“海伦公式”S

1

p (a b c)

2

z

，潜台词就是说z f(x,y,r)条件“z与r无关” 0

rf(x,y) g(x,y)两边对x，y求偏导是相等的

有z f(x,y)区域Dxy求极值（最值）用拉格朗日函数，求出 若有两个，则分

别算出后求其极（最）值大小 19、

秩为1的矩阵可以化为两个向量的积A ， 为n维列向量。并且A的自乘

2

T

积A aA，a为常数

20、 21、 22、

A的行（列）向量相互垂直，且长度相同为a，B

(A E)(A E) (A E)(A E)满足交换律

1

A为正交矩阵 a

ABx 0① Bx 0②由于②的解必是方程组①的解。因此，R（②的解向量）

≤R（①的解向量） 23、 求矩阵的n次幂可化为对角阵（可化为对角阵的矩阵）来求：

A~ An P nP 1

24、 25、 26、

的 27、

是对称矩阵的特征向量相互正交，QAQ 已知 求A（已知A的一个特征向

1

矩阵A的正负惯性指数不等于主子式的正负个数 时间A、B相互独立，A、B、、相互独立

在使用公式P{a x b} F(b) F(a)时，在这里{}中的不等式应该是左开右闭

量）；先求出A的另外的特征向量（利用正交条件），求出Q，然后求出A

28、

1

对角阵左乘A，A [ 1 2 n],A A ( 1 1, 2 2, n n) n

对于连乘式的处理，可以将式子取对数，转换成和式进行分析

E(X+Y)=E(X)+E(Y) X、Y不作独立要求

E(XY)=E(X)E(Y) X、Y必须独立 Cov（X，Y）=0 ①矩阵A满足f（A）=0，矩阵A 的特征值由f( ) 0确定

29、 30、

31、

②f( ) 0解出来的 i只是确定了 的取值范围，具体特征值是否有？有几个同样的特征值？还需要增加题目条件 32、

矩

阵

Am n

，对于

ATA

的特征值为非负：

(Ax)TAx 0 xTATAx ATA正定或半正定， 0

33、 A对应的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数 34、 最大似然估计值不一定要求似然函数的导数为零，有可能似然函数是恒增或者是恒

减的，那么根据定义域的范围来求解最大似然估计值 35、 初等矩阵均是可逆的，并且有这样的表示方法（要会写出初等矩阵的表示）：

1

Eij 1 Eij,Ei 1 k E ,Eij 1 k E k

k

36、

两个极限反常积分审敛法：①反常积分

a

1

(a 0)当p>1时收敛，当p≤1px

时发散 ②反常积分

b

a

1

当0<p<1时收敛，当p≥1时发散 p

(x a)

37、 38、

XY 1的充分必要条件是存在常数a、b使P{Y aX b} 1

证明一元函数f（x）的极限不存在的一种方法：

n

若 xn x0,xn x0,limf(xn)不存在或 xn x0,xn x0,yn x0,yn x0使得

limfx()n

n

n

lfimyn，则(limf(x)不存在

x x0

n

39、

对于任意数列 an ，若满足an A kan 1 A其中0<k<1，则必有liman A

（求解递归数列的极限，数列不是单调的，先求A，后证明存在） 40、

2、3 ),an 区间I，若f（x）在区间I单调上升，并且设an 1 f(an)(n 1、

a2 a1(a1 a2)，则 an 单调上升（单调递减）；若f（x）在区间I单调递减，则 an

不具有单调性（对于递归系列的复杂的数列，可以从递归函数入手，PS：先说明有界） 41、

相等 42、 43、

“f（x）在x x0邻域二阶可导”换句话“f（x）在x x0处的导数二阶导数连续” 一般的，设f（x）在[a,b]连续，在（a,b）n阶可导，f(x)在（a,b）无零点，则f

n

证明两条曲线在某一点相切M(x0,y0)，先求交点，后求交点的导数相等/方向向量

（x）在（a，b）至多有n个不同的根 44、 用泰勒公式的证明，关键在于选取展开点，一般来说已知条件给的点作为展开点，

若已知条件给出f(x)，f’(x)的特征，可选在x处展开 45、 注意用词：“某点二阶可导”说明二阶导数在其邻域内是连续的；“在某点存在二阶

导数”说明在该店处是可导的，但是在其邻域内不一定可导 46、 周期函数的导数依然是以T为周期的周期函数，而周期函数的原函数可就不一定

是周期函数。只有当

T

f(t)dt 0时，f（x）的全体原函数为周期为T的周期函数

47、 求取不定积分原函数的时候有一种方法，叫做“分项积分”一般应用在同种类型的

函数结构构成的分式中（裂项公式） 48、

两个矩阵相似可以推出A1,A2的特征值相同，两矩阵的特征值相同不能推出相似；

A1,A2特征值相等并且R( E A1) R( E A2)可以得出结论“A1,A2相似”

49、 求x 时的极限，通常以“抓大头”的办法，所谓“抓大头”就是取分子、分

母中趋于 最快的项（指数式>幂式>对数式） 50、 看清题目中的用字：“任意”一般来说范围很广，可以向要处理的式中带入特定的

的值或表达式，向目标推导

51、 关于倒代换，设m、n分别为被积函数分子、分母关于（x±a）的最高次数，当n-m

≥1时，用到代换可能成功（设x±a=1/t） 52、 53、

D(X 2Y) 0 X 2Y c(常数) X 2Y c, XY 1

FX(x)为分布函数，考察x a点是否连续：P{X a} P{X a} 0则连续，

否则不连续 54、

(r)

xr 1e xdx(r 0)是参数r的函数，称为 函数， 函数的一个重要性

质为 (r 1) r (r)，特别的 (n 1) n! 55、

ij

D(X) D( Xi) D(Xi)

X与X相互独立

ii

ij

D(X) D( Xi) D(Xi) 2 Cov(Xi,Xj)

X与X不相互独立

iii j

56、

f(x1,x2,x3) 5x12 5x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2x3则f(x1,x2,x3) 1表示

2

2

何种二次曲面？将f(x1,x2,x3) 1对角化，可以得到f 4y2 9y3 1，f表示椭圆柱面 57、 正交变换不改变向量长度 58、

矩阵A正定的必要条件aii 0(i 1,2,3 n),A 0，合同变换不改变矩阵的 特

征值 59、 旋转曲面围成的平面的方向为右手螺旋定则所规定的 60、

已知y y(x)的曲线，与x轴围成图形的型心,

b

a

dx

y(x)

xdy

b

b

b

a

y(x)xdx

a

ydx

y(x)

b

a

ydx

1b2

ydxdx ydy a ab0 b

ydx ydx

a

a

61、

对于F(x,y,z) 0的隐函数的形式dS

ydxdy可以使得计算

得到化简 62、 63、 64、

f(x,y)在公共点M0处的法向量为(fx',fy')|M0 grandf(x,y)|M0 (kA)* kn 1A*;(A*)* |A|n 2A;|A*|=|A|n 1

若A列满秩R(AB) R(B)，R(AA) R(A)（2012年数学一考过）

T

65、

1 q 1，收敛

q

，发散n 2nlnn q 1

66、

X Y 2x X x Y x

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