2018年四川省德阳市中考数学试卷

2018年四川省德阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）如果把收入100元记作+100元，那么支出80元记作（ ） A．+20元

B．+100元

C．+80元

D．﹣80元

2．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ） A．a6÷a2=a3

C．（a﹣3）（3+a）=a2﹣9

B．（﹣2a2）3=﹣8a3 D．（a﹣b）2=a2﹣b2

3．（3分）如图，直线a∥b，c，d是截线且交于点A，若∠1=60°，∠2=100°，则∠A=（ ）

A．40° B．50° C．60° D．70°

4．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ） A．2

=

B．﹣=

C．6÷2=3 D．﹣3=

5．（3分）把实数6.12×10﹣3用小数表示为（ ） A．0.0612

B．6120

C．0.00612

D．612000

6．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨

B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式

C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件 D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大

7．（3分）受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分

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别是（ ） 每天阅读时间（小时） 人数 A．2，1

8 B．1，1.5

9 10 C．1，2

3 D．1，1

0.5 1 1.5 2 8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算这个几何体的表面积是（ ）

A．16π B．12π C．10π D．4π

9．（3分）已知圆内接正三角形的面积为（ ） A．2

B．1

，则该圆的内接正六边形的边心距是

C．

D．

10．（3分）如图，将边长为部分的面积为（ ）

的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影

A．3 B．

C．3﹣

D．3﹣

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11．（3分）如果关于x的不等式组的整数解仅有x=2、x=3，那么适合

这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有（ ） A．3个

B．4个

C．5个

D．6个

12．（3分）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=（ ）

A．6：2：1

B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2

二、填空题（每小题3分，共15分）

13．（3分）分解因式：2xy2+4xy+2x= ．

14．（3分）已知一组数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，则这组数据的方差为 ．

15．（3分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子的数为 ． 3 a b c ﹣1 2 …… 16．（3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是 （填写正确结论的番号）．

17．（3分）已知函数y=a的值为 ．

使y=a成立的x的值恰好只有3个时，

第3页（共28页）

三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（6分）计算：

+（）﹣3﹣（3

）0﹣4cos30°+

．

19．（7分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE=DC=2ED，且EF⊥EC．

（1）求证：点F为AB的中点；

（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED=2，求AH的值．

20．（11分）某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）．

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 单次营运里程“x”（公里） 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25 频数 72 a 26 24 30 根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：

（1）①表中a= ；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为 ；③请把频数分布直方图补充完整；

（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；

（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3

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男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=kx+b（k≠0）与双曲线y2=（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）． （1）求直线和双曲线的解析式；

（2）把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，直线y3与双曲线y2

交于D、E两点，当y2＞y3时，求x的取值范围．

22．（10分）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程． （1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？

（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B

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工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？

23．（11分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心， AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB． （1）求证：DH=DB；

（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O的直径为5．

①求证：EF为圆O的切线； ②求DF的长．

24．（14分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=x2+bx﹣的图象经过点C． （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

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2018年四川省德阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）如果把收入100元记作+100元，那么支出80元记作（ ） A．+20元

B．+100元

C．+80元

D．﹣80元

【分析】根据题意得出：收入记作为正，支出记作为负，表示出来即可． 【解答】解：如果收入100元记作+100元，那么支出80元记作﹣80元， 故选：D．

【点评】本题考查了正数和负数，能用正数和负数表示题目中的数是解此题的关键．

2．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ） A．a6÷a2=a3

C．（a﹣3）（3+a）=a2﹣9

B．（﹣2a2）3=﹣8a3 D．（a﹣b）2=a2﹣b2

【分析】根据同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式逐一判断可得．

【解答】解：A、a6÷a2=a4，此选项错误； B、（﹣2a2）3=﹣8a6，此选项错误； C、（a﹣3）（3+a）=a2﹣9，此选项正确； D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，此选项错误； 故选：C．

【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方、平方差公式、完全平方公式．

3．（3分）如图，直线a∥b，c，d是截线且交于点A，若∠1=60°，∠2=100°，则∠A=（ ）

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A．40° B．50° C．60° D．70°

【分析】依据∠2是△ABC的外角，即可得到∠A=∠2﹣∠1=40°．也可以利用平行线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠A的度数． 【解答】解法一：如图，∵∠2是△ABC的外角， ∴∠A=∠2﹣∠1=100°﹣60°=40°， 故选：A．

解法二：如图，∵a∥b， ∴∠1=∠3=60°，∠2=∠4=100°， ∴∠5=180°﹣∠4=80°，

∴∠A=180°﹣∠3﹣∠5=180°﹣60°﹣80°=40°， 故选：A．

【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及平行线的性质的运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4．（3分）下列计算或运算中，正确的是（ ） A．2

=

B．﹣=

C．6÷2=3 D．﹣3=

【分析】根据二次根性质和运算法则逐一判断即可得． 【解答】解：A、2B、C、6D、﹣3

﹣÷2=﹣=3=3﹣2

=2×=

=

，此选项错误；

，此选项正确；

，此选项错误； ，此选项错误；

故选：B．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的性质．

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5．（3分）把实数6.12×10﹣3用小数表示为（ ） A．0.0612

B．6120

C．0.00612

D．612000

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：6.12×10﹣3=0.00612， 故选：C．

【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．“明天降雨的概率为50%”，意味着明天一定有半天都在降雨

B．了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用全面调查（普查）方式

C．掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是必然事件 D．一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大

【分析】根据概率的意义，事件发生可能性的大小，可得答案．

【解答】解：A、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨，此选项错误； B、了解全国快递包裹产生的包装垃圾数量适合采用抽样调查方式，此选项错误； C、掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止转动后，6点朝上是随机事件，此选项错误；

D、一组数据的方差越大，则这组数据的波动也越大，此选项正确； 故选：D．

【点评】本题考查了概率的意义、随机事件，利用概率的意义，事件发生可能性的大小是解题关键．

7．（3分）受央视《朗读者》节目的启发的影响，某校七年级2班近期准备组织一次朗诵活动，语文老师调查了全班学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是（ ） 每天阅读时间（小0.5 1 1.5 2 第10页（共28页）

时） 人数 A．2，1

8 B．1，1.5

9 10 C．1，2

3 D．1，1

【分析】根据表格中的数据可知七年级2班有30人，从而可以得到全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数，本题得以解决． 【解答】解：由表格可得，

全班学生平均每天阅读时间的中位数和众数分别是1、1.5， 故选：B．

【点评】本题考查众数、加权平均数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位数．

8．（3分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据计算这个几何体的表面积是（ ）

A．16π B．12π C．10π D．4π

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定其表面积．

【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为6，底面半径为2， 故表面积=πrl+πr2=π×2×6+π×22=16π， 故选：A．

【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，关键是由主视图和左视图

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确定是柱体，锥体还是球体． 9．（3分）已知圆内接正三角形的面积为（ ） A．2

B．1

C．

，则该圆的内接正六边形的边心距是

D．

【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可． 【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为所以圆的半径为

，

×sin60°=

，

，

所以该圆的内接正六边形的边心距故选：B．

【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距．

10．（3分）如图，将边长为部分的面积为（ ）

的正方形绕点B逆时针旋转30°，那么图中阴影

A．3 B．

C．3﹣

D．3﹣

【分析】连接BM，根据旋转的性质和四边形的性质，证明△ABM≌△C′BM，得到∠2=∠3=30°，利用三角函数和三角形面积公式求出△ABM的面积，再利用阴影部分面积=正方形面积﹣2△ABM的面积即可得到答案． 【解答】解：连接BM， 在△ABM和△C′BM中，

，

∴△ABM≌△C′BM，

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∠2=∠3=在△ABM中， AM=

=30°，

×tan30°=1，

=

， =3，

=3﹣

，

S△ABM=

正方形的面积为：

阴影部分的面积为：3﹣2×故选：C．

【点评】本题考查旋转的性质和正方形的性质，利用旋转的性质和正方形的性质证明两三角形全等是解决本题的关键． 11．（3分）如果关于x的不等式组

的整数解仅有x=2、x=3，那么适合

这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有（ ） A．3个

B．4个

C．5个

≤2、3

D．6个

＜4，求出2＜a

【分析】求出不等式组的解集，根据已知求出1≤4、9≤b＜12，即可得出答案．

【解答】解：解不等式2x﹣a≥0，得：x≥， 解不等式3x﹣b≤0，得：x≤， ∵不等式组的整数解仅有x=2、x=3， 则1

≤2、3

＜4，

解得：2＜a≤4、9≤b＜12， 则a=3时，b=9、10、11； 当a=4时，b=9、10、11；

所以适合这个不等式组的整数a、b组成的有序数对（a，b）共有6个， 故选：D．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解，有序实数对的应用，解此题的根据是求出a、b的值．

12．（3分）如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至

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点C，使FO=3OC，连接AB、AC、BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=（ ）

A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：2

【分析】连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m．由FO：OC=3：1，BE=OB，AF∥OE可得S△OBF=S△AOB=m，S△OBC=m，S△AOC=

，由此即可解决问题；

【解答】解：连接BF．设平行四边形AFEO的面积为4m． ∵FO：OC=3：1，BE=OB，AF∥OE ∴S△OBF=S△AOB=m，S△OBC=m，S△AOC=∴S△AOB：S△AOC：S△BOC=m：故选：B．

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题（每小题3分，共15分）

13．（3分）分解因式：2xy2+4xy+2x= 2x（y+1）2 ． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=2x（y2+2y+1）=2x（y+1）2， 故答案为：2x（y+1）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

14．（3分）已知一组数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，则这组数据的方差为

．

，

：m=3：2：1

【分析】先根据平均数为15列出关于x的方程，解之求得x即可知完整的数据，再根据方差公式计算可得．

【解答】解：∵数据10，15，10，x，18，20的平均数为15，

第14页（共28页）

∴

解得：x=17，

=15，

则这组数据为10，15，10，17，18，20，

∴这组数据的方差是：[2×（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）

2

+（20﹣15）2]=

．

，

故答案为：

【点评】本题主要考查算术平均数、方差，解题的关键是熟练掌握算术平均数的定义与方差的计算公式．

15．（3分）如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子的数为 ﹣1 ． 3 a b c ﹣1 2 …… 【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是3可得b=2，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【解答】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴a+b+c=b+c+（﹣1），3+（﹣1）+b=﹣1+b+c， ∴a=﹣1，c=3，

∴数据从左到右依次为3、﹣1、b、3、﹣1、b， ∵第9个数与第3个数相同，即b=2，

∴每3个数“3、﹣1、2”为一个循环组依次循环， ∵2018÷3=672…2，

∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为﹣1． 故答案为：﹣1．

【点评】此题考查数字的变化规律以及有理数的加法，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．

16．（3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则

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d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是 ①③④ （填写正确结论的番号）．

【分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④． 【解答】解：∵D是AB中点 ∴AD=BD

∵△ACD是等边三角形，E是AD中点

∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30° ∴CD=BD

∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB ∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=故①③正确，②错误 ∵∠DCB=30°，∠ACD=60° ∴∠ACB=90°

若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2， ∴四边形PMCN是矩形 ∴MN=CP

∵d12+d22=MN2=CP2

∴当CP为最小值，d12+d22的值最小

∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小 此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB ∴CP=

∴d12+d22=MN2=CP2=3 即d12+d22的最小值为3 故④正确

第16页（共28页）

故答案为①③④

【点评】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键． 17．（3分）已知函数y=a的值为 2 ．

【分析】首先在坐标系中画出已知函数y=

的图象，利用数形

使y=a成立的x的值恰好只有3个时，

结合的方法即可找到使y=a成立的x值恰好有3个的a值． 【解答】解：函数y=

的图象如图：

根据图象知道当y=2时，对应成立的x值恰好有三个， ∴a=2． 故答案：2．

【点评】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．

三、解答题（共69分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18．（6分）计算：

+（）﹣3﹣（3

）0﹣4cos30°+

．

【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算．

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【解答】解：原式=3+8﹣1﹣4×=10﹣2=10．

+2

+2

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

19．（7分）如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AD、AB上一点，若AE=DC=2ED，且EF⊥EC．

（1）求证：点F为AB的中点；

（2）延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED=2，求AH的值．

【分析】（1）根据全等三角形的判定，证得△AEF≌△DCE，再根据全等三角形的性质，证得ED=AF，进而得证；

（2）根据全等三角形的判定方法，证明△AEF≌△BHF，进而求得HB=AB=AE=4，再利用勾股定理求出AH的值即可． 【解答】（1）证明：∵EF⊥EC， ∴∠CEF=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°， ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠AEF+∠AFE=90°，∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠AEF=∠DCE，∠AFE=∠DEC， ∵AE=DC， ∴△AEF≌△DCE． ∴ED=AF，

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∵AE=DC=AB=2DE， ∴AB=2AF， ∴F为AB的中点；

（2）解：由（1）知AF=FB，且AE∥BH， ∴∠FBH=∠FAE=90°，∠AEF=∠FHB， ∴△AEF≌△BHF， ∴HB=AE，

∵ED=2，且AE=2ED， ∴AE=4， ∴HB=AB=AE=4，

∴AH2=AB2+BH2=16+16=32， ∴AH=

．

【点评】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的综合应用，解决此类问题的关键是能灵活运用相关的性质找出相等的线段． 20．（11分）某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图（如图）．

组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 单次营运里程“x”（公里） 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25 频数 72 a 26 24 30 根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题：

（1）①表中a= 48 ；②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为 0.73 ；③请把频数分布直方图补充完整；

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（2）请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；

（3）为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（3男1女）成立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到“一男一女”的概率．

【分析】（1）①由频数分布直方图可直接得出a的值；②用第一、二、三组的频数和除以总数量可得；③根据分布表中数据即可得；

（2）用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20公里的次数所占比例即可得； （3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）①由条形图知a=48；

②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为③补全图形如下：

=0.73；

故答案为：①48；②0.73；

（2）估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数为5000×次；

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=750

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为6， ∴恰好抽到“一男一女”的概率为

=．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图和统计表，要熟练从统计图表中得出解题所需数据．

21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y1=kx+b（k≠0）与双曲线y2=（a≠0）交于A、B两点，已知点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）． （1）求直线和双曲线的解析式；

（2）把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3，直线y3与双曲线y2

交于D、E两点，当y2＞y3时，求x的取值范围．

【分析】（1）把点B 代入双曲线求出a的值，即可得到双曲线的解析式；把点A代入双曲线求出m的值，确定A点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可解答；

（2）先求出y3的解析式，再解方程组求出点D点E的坐标，即可解答． 【解答】解：（1）∵点B（﹣1，﹣4）在双曲线y2=（a≠0）上，

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∴a=（﹣1）×（﹣4）=4， ∴双曲线的解析式为：

．

∵点A（m，2）在双曲线上， ∴2m=4， ∴m=2，

∴点A的坐标为：（2，2）

∵点A（m，2），点B（﹣1，﹣4）在直线y1=kx+b（k≠0）上， ∴解得：

∴直线的解析式为：y1=2x﹣2．

（2）∵把直线y1沿x轴负方向平移2个单位后得到直线y3， ∴y2=2（x+2）﹣2=2x+2， 解方程组

得：

或

，

∴点D（1，4），点E（﹣2，﹣2），

∴由函数图象可得：当y2＞y3时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜1． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解决本题的关键是求出直线和双曲线的解析式．

22．（10分）为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A、B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成了此项工程． （1）求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天？

（2）由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m＜46，n＜92，求A、B两个工程公司各施工建设了多少天？

【分析】（1）设B工程公司单独完成需要x天，根据题意列出关于x的分式方程，

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求出分式方程的解得到x的值，经检验即可得到结果；

（2）根据题意列出关于m与n的方程，由m与n的范围，确定出正整数m与n的值，即可得到结果．

【解答】解：（1）设B工程公司单独完成需要x天， 根据题意得：45×解得：x=120，

经检验x=120是分式方程的解，且符合题意， 答：B工程公司单独完成需要120天；

+54（+）=1，

（2）根据题意得：m×整理得：n=120﹣m， ∵m＜46，n＜92， ∴120﹣m＜92， 解得42＜m＜46， ∵m为正整数， ∴m=43，44，45， 又∵120﹣m为正整数， ∴m=45，n=90，

+n×=1，

答：A、B两个工程公司各施工建设了45天和90天．

【点评】此题考查了分式方程的应用，以及二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．

23．（11分）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点H是△ABC的内心， AH的延长线和三角形ABC的外接圆O相交于点D，连结DB． （1）求证：DH=DB；

（2）过点D作BC的平行线交AC、AB的延长线分别于点E、F，已知CE=1，圆O的直径为5．

①求证：EF为圆O的切线； ②求DF的长．

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【分析】（1）先判断出∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH，进而判断出∠DHB=∠DBH，即可得出结论；

（2））①先判断出OD∥AC，进而判断出OD⊥EF，即可得出结论；

②先判断出△CDE≌△BDG，得出GB=CE=1，再判断出△DBG∽△ABD，求出DB2=5，即DB=结论．

【解答】解：（1）证明：连接HB， ∵点H是△ABC的内心，

∴∠DAC=∠DAB，∠ABH=∠CBH， ∵∠DBC=∠DAC，

∴∠DHB=∠DAB+∠ABH=∠DAC+∠CBH， ∵∠DBH=∠DBC+∠CBH， ∴∠DHB=∠DBH， ∴DH=DB；

，DG=2，进而求出AE=AG=4，最后判断出△OFD∽△AFE即可得出

（2）①连接OD， ∵∠DOB=2∠DAB=∠BAC ∴OD∥AC，

∵AC⊥BC，BC∥EF， ∴AC⊥EF， ∴OD⊥EF， ∵点D在⊙O上， ∴EF是⊙O的切线；

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②过点D作DG⊥AB于G， ∵∠EAD=∠DAB， ∴DE=DG，

∵DC=DB，∠CED=∠DGB=90°， ∴△CDE≌△BDG， ∴GB=CE=1，

在Rt△ADB中，DG⊥AB， ∴∠DAB=∠BDG， ∵∠DBG=∠ABD， ∴△DBG∽△ABD， ∴

，

∴DB2=AB?BG=5×1=5， ∴DB=

，DG=2，

∴ED=2， ∵H是内心， ∴AE=AG=4， ∵DO∥AE， ∴△OFD∽△AFE， ∴

，

∴， ∴DF=

．

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【点评】此题是圆的综合题，主要考查了三角形内心，圆的有关性质，相似三角形的判定和性质，切线的判定，平行线的性质和判定，求出DB是解本题的关键．

24．（14分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，1），二次函数y=x2+bx﹣的图象经过点C． （1）求二次函数的解析式，并把解析式化成y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）把△ABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求△ABC扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点C的点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）作CK⊥x轴，垂足为K．首先证明△BAO≌△ACK，从而可得到OA=CK，OB=AK，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得AB的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据△ABC扫过区域的面积

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=S四边形ABDE+S△DEH求解即可；

（3）当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，先证明△BPG≌△ABO，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可，当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P是否在抛物线的解析式即可．

【解答】解：（1）∵点C（3，1）在二次函数的图象上， ∴x2+bx﹣=1，解得：b=﹣， ∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣ y=x2﹣x﹣=（x2﹣x+（2）作CK⊥x轴，垂足为K．

﹣

）﹣=（x﹣）2﹣

∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC． 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAO+∠CAK=90°． 又∵∠CAK+∠ACK=90°， ∴∠BAO=∠ACK．

在△BAO和△ACK中，∠BOA=∠AKC，∠BAO=∠ACK，AB=AC， ∴△BAO≌△ACK． ∴OA=CK=1，OB=AK=2． ∴A（1，0），B（0，2）．

∴当点B平移到点D时，D（m，2），则2=m2﹣m﹣，解得m=﹣3（舍去）或m=．

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∴AB==．

×

=9.5

∴△ABC扫过区域的面积=S四边形ABDE+S△DEH=×2+×（3）当∠ABP=90°时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G． ∵△APB为等腰直角三角形， ∴PB=AB，∠PBA=90°． ∴∠PBG+∠BAO=90°． 又∵∠PBG+∠BPG=90°， ∴∠BAO=∠BPG．

在△BPG和△ABO中，∠BOA=∠PGB，∠BAO=∠BPG，AB=PB， ∴△BPG≌△ABO． ∴PG=OB=2，AO=BG=1， ∴P（﹣2，1）． 当x=﹣2时，y≠1，

∴点P（﹣2，1）不在抛物线上．

当∠PAB=90°，过点P作PF⊥x轴，垂足为F． 同理可知：△PAF≌△ABO， ∴FP=OA=1，AF=OB=2， ∴P（﹣1，﹣1）． 当x=﹣1时，y=﹣1，

∴点P（﹣1，﹣1）在抛物线上．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．

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