线性代数期末考试

?A不可逆 ?A可逆 ??r(A)?n r(A)?n ????Ax?0只有零解 A????Ax??有非零解 ??0是A的特征值 ?A的特征值全不为零 ?? A???A的列（行）向量线性相关??A的列（行）向量线性无关 ??ATA是正定矩阵 ??A与同阶单位阵等价 ??A?p1p2???ps,pi是初等阵 n?????R,Ax??总有唯一解向量组等价??具有相似矩阵?????反身性、对称性、传递性 矩阵合同??√ 关于e1,e2,???,en：

①称为?n的标准基，?n中的自然基，单位坐标向量； ②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④tr(E)=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示. √ 行列式的计算：

A?A?A????AB?B?B?B?AB??(?1)mnAB ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?a1na2n?1?an1??a2n?1?an1a1n?(?1)n(n?1)2 ③关于副对角线：

a1na2n?an1

??√ 逆矩阵的求法:

A?①A?

A?1 1

初等行变换②(A?E)?????(E?A?1)

?AT?ab??AB?1?d?b????T③? ?????ad?bc??ca??cd??CD??B1?1?aa?1?1???a2???④????????an?????1TCT? T?D??1?a1??????????1???a11an1a2????a2?? ??????1??anan?????A2? ???????An?1??An??1?1a2???? ????A1?⑤????A2?A1?1???????????An????1A2?1A1???????????1????A1A2?1An?1????

????√ 方阵的幂的性质：AmAn?Am?n (Am)n?(A)mn

√ 设f(x)?amxm?am?1xm?1???a1x?a0，对n阶矩阵A规定：f(A)?amAm?am?1Am?1???a1A?a0E为A的一个多项式.

√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，AB的列向量为

r1,r2,?,rs?用A,B中简 ? 若??(b1,b2,?,bn)T,则 A??b1?1?b2?2??bn?n?单的一个提 ?即：AB的第i个列向量ri是A的列向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量；高运算速度? AB的第i个行向量ri是B的行向量的线性组合,组合系数就是?i的各分量.?? √ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

?A11?与分块对角阵相乘类似,即：A???????B11???,B???????Akk???,

则：ri?A?i,i?1,2,?,s,即 A(?1,?2,???,?s)?(A?1,A?2,?,A?s)??A22B22?? ???Bkk??? 2

?A11B11?AB??????A22B22??? ???AkkBkk??√ 矩阵方程的解法：设法化成(I)AX?B 或 (II)XA?B 当A?0时,

（当B为一列时,初等行变换 (I)的解法：构造(A?B)???? ?(E?X) 即为克莱姆法则）(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，

T 用(I)的方法求出X，再转置得X√ Ax??和Bx??同解（A,B列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断?1,?2,?,?s是Ax?0的基础解系的条件： ① ?1,?2,?,?s线性无关； ② ?1,?2,?,?s是Ax?0的解；

③ s?n?r(A)?每个解向量中自由变量的个数.

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. ⑤ 两个向量线性相关?对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. ⑥ 向量组?1,?2,???,?n中任一向量?i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦ 向量组?1,?2,???,?n线性相关?向量组中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.

向量组?1,?2,???,?n线性无关?向量组中每一个向量?i都不能由其余n?1个向量线性表示.

3

⑧ m维列向量组?1,?2,???,?n线性相关?r(A)?n； m维列向量组?1,?2,???,?n线性无关?r(A)?n. ⑨ r(A)?0?A??.

⑩ 若?1,?2,???,?n线性无关，而?1,?2,???,?n,?线性相关,则?可由?1,?2,???,?n线性表示,且表示法惟

一.

? 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

向量组等价 ?1,?2,???,?n和?1,?2,???,?n可以相互线性表示. 记作：??1,?2,???,?n?????1,?2,???,?n?

?B 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A?? 矩阵A与B等价?r(A)?r(B)??A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵A与B作为向量组等价?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?n)? 矩阵A与B等价.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示

?r(?1,?2,????n,?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n)?r(?1,?2,???,?s)≤r(?1,?2,???,?n). ? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且s?n，则?1,?2,???,?s线性相关.

向量组?1,?2,???,?s线性无关,且可由?1,?2,???,?n线性表示,则s≤n.

? 向量组?1,?2,???,?s可由向量组?1,?2,???,?n线性表示,且r(?1,?2,???,?s)?r(?1,?2,???,?n),则两向

量组等价；

? 任一向量组和它的极大无关组等价.

? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

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? 若A是m?n矩阵,则r(A)?min?m,n?,若r(A)?m，A的行向量线性无关； 若r(A)?n，A的列向量线性无关,即：

?1,?2,???,?n线性无关.

线性方程组的矩阵式 Ax?? 向量式 x1?1?x2?2???xn?n??

?a11?aA??21a12a22?a1n???1j??x1??b1?????x??b??a2n??,x??2?,???2? ???2j?,j?1,2,?,n j?????am1am2

???a?mn??????x?????n??b?m?5

????????mj??

??当A为方阵时?Ax??有无穷多解Ax??有非零解??????A?0?????n???1,?2,?,?n线性相关 ???当A为方阵时??Ax??有唯一组解Ax??只有零解??????A?0??可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A??)??????n ???1,?2,?,?n线性无关 ??当A为方阵时???????克莱姆法则 ????r(A)?r(A??) ??不可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A??) ??r(A)?1?r(A??)?

矩阵转置的性质： (AT)T?A 矩阵可逆的性质： (A?1)?1?A 伴随矩阵的性质： (A?)??A?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?

n?2(AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A (A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (A?1)??(A?)?1?(AT)??(A?)TAA(AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A (AB)??B?A? A?1?A A?A?n?1?1(A?1)k?(Ak)?1?A?k (A?)k?(Ak)? (kA)??kn?1A? AA??A?A?AE AB?AB kA?knA Ak?A k6

?(1) ?1,?2是Ax?0的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax?0的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,?,?是Ax?0的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,?,?k,??11??2?2??k?k也是它的解????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax?0的解,???是Ax??的解

?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax?0的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax?0的解??(7) ?1,?2,?,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??11??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0? ??√ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m,则r(A)?r(A??),从而Ax??一定有解. 当m?n时,一定不是唯一解.? m是r(A)和r(A??)的上限. √ 矩阵的秩的性质：

① r(A)?r(AT)?r(ATA) ② r(A?B)≤r(A)?r(B) ③ r(AB)≤min?r(A),r(B)?

?r(A) 若k?0 ④ r(kA)??

0 若k?0?方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.

向量维数向量个数?A?? ⑤ r???r(A)?r(B) ?B??⑥若A?0,则r(A)≥1

⑦ 若Am?n,Bn?s,且r(AB)?0,则r(A)?r(B)≤n ⑧ 若P,Q可逆,则r(PA)?r(AQ)?r(A) ⑨ 若A可逆,则r(AB)?r(B)

若B可逆,则r(AB)?r(A)

⑩ 若r(A)?n,则r(AB)?r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:

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标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

AB?0?B??

AB?AC?B?C?与?正交 (?,?)?0.

?是单位向量 ??(?,?)?1.

√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)

③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?(c?,?)?(?,c?)

施密特 ?1,?2,?3线性无关,

??1??1???(?,?) 正交化??2??2?21?1

(??)11??(?3,?1)(?3,?2)???????2?331(??)(??)?1122 单位化：?1?正交矩阵 AAT?E.

??1? ?2?2 ?3?3 ?1?2?3√ A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成?n的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① AT?A?1；

② AAT?ATA?E；

③ A是正交阵,则AT（或A?1）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

A的特征矩阵 ?E?A.

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A的特征多项式 ?E?A?f(?).

A的特征方程 ?E?A?0. Ax??x ? Ax与x线性相关

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.

√ 若A?0,则??0为A的特征值,且Ax?0的基础解系即为属于??0的线性无关的特征向量. √ A??1?2??n ??i?trA

1n?a1??a?2√ 若r(A)?1,则A一定可分解为A=???b1,b2,?,bn?、A2?(a1b1?a2b2???anbn)A,从而A??????an?的特征值为：?1?trA?a1b1?a2b2???anbn, ?2??3????n?0. √ 若A的全部特征值?1,?2,?,?n，f(x)是多项式,则:

① f(A)的全部特征值为f(?1),f(?2),?,f(?n)；

111② 当A可逆时,A?1的全部特征值为?, ,,?,??12n A?的全部特征值为?1,?2,?,?n.

AAAk??kA?a??b?aA?bE1?1???A√ ?是A的特征值,则:?分别有特征值. 22??A?Am?m??AA???k??kA?a??b?aA?bE1?1???A√ x是A关于?的特征向量,则x也是?关于2的特征向量. 2?A??Am?m??AA???A与B相似 B?P?1AP （P为可逆阵） 记为：A?B

√ A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成

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的矩阵，P?1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值. √ A可对角化的充要条件：n?r(?iE?A)?ki ki为?i的重数. √ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.

A与B正交相似 B?P?1AP （P为正交矩阵）

√ 相似矩阵的性质：① A?1?B?1 若A,B均可逆

② AT?BT

③ Ak?Bk （k为整数）

④ ?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.

即:x是A关于?0的特征向量,P?1x是B关于?0的特征向量. ⑤ A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 ⑥ r(A)?r(B) ⑦ tr(A)?tr(B)

√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交；

④ k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=n?r(?E?A)）.

A可以相似对角化 A与对角阵?相似. 记为：A?? （称?是A的相似标准型）

√ 若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）?r(A). √ 设?i为对应于?i的线性无关的特征向量,则有：

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??1????2?. A(?1,?2,?,?n)?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1?1,?2?2,?,?n?n)???1,?2,?,?n???????????????n??P???????????A???B??√ 若A?B, C?D,则：?. ??????C???D?√ 若A?B,则f(A)?f(B),f(A)?f(B).

二次型 f(x1,x2,?,xn)?XTAX A为对称矩阵 X?(x1,x2,?,xn)T

A与B合同 B?CTAC. 记作：A?B （A,B为对称阵,C为可逆阵）

√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √ 两个矩阵合同的充分条件是：A?B √ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)?r(B)

正交变换n√ f(x1,x2,?,xn)?XAX经过合同变换可逆线性变换TX?CY化为f(x1,x2,?,xn)??diyi2标准型.

1√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.

√ 当标准型中的系数di为1，-1或0时,则为规范形 . √ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

r(A)?正惯性指数?负惯性指数

?1????????1???1???合同. √ 任一实对称矩阵A与惟一对角阵?????1????0??????0???

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√ 用正交变换法化二次型为标准形:

① 求出A的特征值、特征向量； ② 对n个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C（正交矩阵）,C?1AC??；

④ 作变换X?CY,新的二次型为f(x1,x2,?,xn)??diyi2,?的主对角上的元素di即为A的

n1特征值.

正定二次型 x1,x2,?,xn不全为零，f(x1,x2,?,xn)?0. 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

① 正惯性指数为n； ② A的特征值全大于0；

③ A的所有顺序主子式全大于0；

④ A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QTAQ?E； ⑤ 存在可逆矩阵P，使A?PTP （从而A?0）；

???1?⑥ 存在正交矩阵，使CTAC?C?1AC????2?? ??????n?√ 成为正定矩阵的必要条件：aii?0 ； A?0.

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?i大于0）. （

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