(完整word版)高中数学数列专题大题训练

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··高中数学数列专题大题组卷

一．选择题（共9小题）

1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260

2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．

3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）

A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1

4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n }的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．

6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23

7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6

8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）

A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．

9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）

A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0

二．解答题（共14小题）

10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

~

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．11．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{a n }，{b n}的通项公式

（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

12．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．

（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

13．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．

14．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=，求数列{b n }的前n 项和S n．

15．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．

（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=

（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．

16．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列

（1）求q的值和{a n}的通项公式；

（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．

17．已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；

··

~ ·· （2）设b n =（a n +1）?2，求数列{b n }的前n 项和T n ．

18．已知数列{a n }和{b n }满足a 1=2，b 1=1，a n +1=2a n （n ∈N *），b 1+b 2+b 3+…+b n =b n +1﹣1（n ∈N *）

（Ⅰ）求a n 与b n ；

（Ⅱ）记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n ．

19．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．

20．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n =3n +3．

（Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n }，满足a n b n =log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n ．

21．设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n +1=S n +3n ，n ∈N *．由 （Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式；

（Ⅱ）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．

22．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）令b n =（﹣1）n ﹣1，求数列{b n }的前n 项和T n ．

23．数列{a n }满足a 1=1，na n +1=（n +1）a n +n （n +1），n ∈N *． （Ⅰ）证明：数列{

}是等差数列； （Ⅱ）设b n =3n ?

，求数列{b n }的前n 项和S n ．

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··高中数学数列专题大题组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．（1996?全国）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）

A．130 B．170 C．210 D．260

【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，用m表示出a1、d，进而求出s3m；或利用等差数列的性质，s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列进行求解．

【解答】解：解法1：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，

由题意得方程组，

解得d=，a1=，

∴s3m=3ma1+d=3m+=210．

故选C．

解法2：∵设{a n}为等差数列，

∴s m，s2m﹣s m，s3m﹣s2m成等差数列，

即30，70，s3m﹣100成等差数列，

∴30+s3m﹣100=70×2，

解得s3m=210．

故选C．

【点评】解法1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．

~ ·· 2．（2010?大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3=5，a 7a 8a 9=10，则a 4a 5a 6=（ ）

A ．

B ．7

C ．6

D ．

【分析】由数列{a n }是等比数列，则有a 1a 2a 3=5?a 23=5；a 7a 8a 9=10?a 83=10．

【解答】解：a 1a 2a 3=5?a 23=5；

a 7a 8a 9=10?a 83=10，

a 52=a 2a 8，

∴

，∴，

故选A ．

【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．

3．（2011?四川）数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1=3S n （n ≥1）

，则a 6=（ ） A ．3×44 B ．3×44+1 C ．44 D ．44+1 【分析】根据已知的a n +1=3S n ，当n 大于等于2时得到a n =3S n ﹣1，两者相减，根据S n ﹣S n ﹣1=a n ，得到数列的第n +1项等于第n 项的4倍（n 大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a 1=1，a n +1=3S n ，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．

【解答】解：由a n +1=3S n ，得到a n =3S n ﹣1（n ≥2），

两式相减得：a n +1﹣a n =3（S n ﹣S n ﹣1）=3a n ，

则a n +1=4a n （n ≥2），又a 1=1，a 2=3S 1=3a 1=3，

得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，

所以a n =a 2q n ﹣2=3×4n ﹣2（n ≥2）

则a 6=3×44．

故选A

【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．

~ ·· 4．（2013?大纲版）已知数列{a n }满足3a n +1+a n =0，a 2=﹣，则{a n }的前10项和等于（ ）

A ．﹣6（1﹣3﹣10）

B ．

C ．3（1﹣3﹣10）

D ．3（1+3﹣10）

【分析】由已知可知，数列{a n }是以﹣为公比的等比数列，结合已知

可求a 1，然后代入等比数列的求和公式可求

【解答】解：∵3a n +1+a n =0

∴

∴数列{a n }是以﹣为公比的等比数列

∵

∴a 1=4

由等比数列的求和公式可得，S 10=

=3（1﹣3﹣10）

故选C

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题

5．（2013?新课标Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 2+10a 1，a 5=9，则a 1=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，利用已知和等比数列的通项公式即可得到

，解出即可．

【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，

∵S 3=a 2+10a 1，a 5=9，

~ ·· ∴，解得．

∴．

故选C ．

【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．

6．（2008?全国卷Ⅰ）已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4，a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=（ ）

A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n 项和，根据a 2+a 4=4，a 3+a 5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n 项和公式，即可求解．

【解答】解：∵（a 3+a 5）﹣（a 2+a 4）=2d=6，

∴d=3，a 1=﹣4，

∴S 10=10a 1+

=95．

故选C

【点评】在求一个数列的通项公式或前n 项和时，如果可以证明这个数列为等差数列，或等比数列，则可以求出其基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这个数列的类型，则可以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．

7．（2013?新课标Ⅰ）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1=﹣2，S m =0，S m +1=3，则m=（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【分析】由a n 与S n 的关系可求得a m +1与a m ，进而得到公差d ，由前n 项和公式及S m =0可求得a 1，再由通项公式及a m =2可得m 值．

【解答】解：a m =S m ﹣S m ﹣1=2，a m +1=S m +1﹣S m =3，

所以公差d=a m +1﹣a m =1，

~

S m==0，得a1=﹣2，

所以a m=﹣2+（m﹣1）?1=2，解得m=5，

故选C．

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．

8．（2014?新课标Ⅱ）等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）

A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．

【分析】由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．【解答】解：由题意可得a42=a2?a8，

即a42=（a4﹣4）（a4+8），

解得a4=8，

∴a1=a4﹣3×2=2，

∴S n=na1+d，

=2n+×2=n（n+1），

故选：A．

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．

9．（2015?北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）

A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；

若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B 不正确；

{a n}是等差数列，0＜a1＜a2，2a 2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；··

~

若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．

故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．

二．解答题（共14小题）

10．（2015?四川）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到a n=2a n﹣1（n≥2），再由已知a1，a2+1，a3成等差数列求出数列首项，可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{}的通项公式，再由等比数列的前n项和求得T n，结合求解指数不等式得n的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知S n=2a n﹣a1，有

a n =S n﹣S n ﹣1=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），

即a n=2a n﹣1（n≥2），

从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，

又∵a1，a2+1，a3成等差数列，

∴a1+4a1=2（2a1+1），解得：a1=2．

∴数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

∴．

由，得，即2n＞1000．

∵29=512＜1000＜1024=210，

∴n≥10．

··

~

于是，使|T n﹣1|成立的n的最小值为10．

【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11．（2015?湖北）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．

（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式

（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．

【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；（2）当d＞1时，由（1）知c n=，写出T n、T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．

【解答】解：（1）设a1=a，由题意可得，

解得，或，

当时，a n=2n ﹣1，b n=2n﹣1；

当时，a n=（2n+79），b n=9?；

（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，

∴c n ==，

∴T n=1+3?+5?+7?+9?+…+（2n﹣1）?，

∴T n=1?+3?+5?+7?+…+（2n ﹣3）?+（2n﹣1）?，

∴T n =2+++++…+﹣（2n﹣1）?=3﹣，

∴T n=6﹣．

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注··

~ ·· 意解题方法的积累，属于中档题．

12．（2014?新课标Ⅱ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n +1=3a n +1．

（Ⅰ）证明{a n +}是等比数列，并求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即

=常数，又首项不为0，所以为等比数列；

再根据等比数列的通项化式，求出{a n }的通项公式；

（Ⅱ）将

进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 【解答】证明（Ⅰ）==3，

∵≠0，

∴数列{a n +}是以首项为，公比为3的等比数列； ∴a n +==，即

； （Ⅱ）由（Ⅰ）知

， 当n ≥2时，∵3n ﹣1＞3n ﹣3n ﹣1，∴

＜=， ∴当n=1时，成立， 当n ≥2时，++…+＜1+…+==＜． ∴对n ∈N +时，++…+＜．

【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，

~ ·· 只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，

通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．

13．（2013?新课标Ⅱ）已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1=25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．

（Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）求a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2．

【分析】（I ）设等差数列{a n }的公差为d ≠0，利用成等比数列的定义可得，

，再利用等差数列的通项公式可得

，化为d （2a 1+25d ）=0，解出d 即可得到通项公式a n ；

（II ）由（I ）可得a 3n ﹣2=﹣2（3n ﹣2）+27=﹣6n +31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．利用等差数列的前n 项和公式即可得出a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2．

【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的公差为d ≠0，

由题意a 1，a 11，a 13成等比数列，∴

， ∴，化为d （2a 1+25d ）=0， ∵d ≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．

∴a n =25+（n ﹣1）×（﹣2）=﹣2n +27．

（II ）由（I ）可得a 3n ﹣2=﹣2（3n ﹣2）+27=﹣6n +31，可知此数列是以25为首项，﹣6为公差的等差数列．

∴S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n ﹣2=

=

=﹣3n 2+28n ．

【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式是解题的关键．

~

14．（2013?大纲版）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n =，求数列{b n}的前n项和S n．

【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a 1，d，进而可求a n

（II ）由==，利用裂项求和即可求解

【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d

∵a 7=4，a19=2a9，

∴

解得，a1=1，d=

∴=

（II ）∵==

∴s n=

==

【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易

15．（2011?新课标）已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．

（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=

（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．

【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．

（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=

··

~ ·· ∴a n =×=， S n =

又∵==S n

∴S n =

（II ）∵a n = ∴b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =﹣log 33+（﹣2log 33）+…+（﹣nlog 33）

=﹣（1+2+…+n ）

=﹣

∴数列{b n }的通项公式为：b n =﹣

【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．

16．（2015?天津）已知数列{a n }满足a n +2=qa n （q 为实数，且q ≠1），n ∈N *，a 1=1，a 2=2，且a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列

（1）求q 的值和{a n }的通项公式；

（2）设b n =，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．

【分析】（1）通过a n +2=qa n 、a 1、a 2，可得a 3、a 5、a 4，利用a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列，计算即可； （2）通过（1）知b n =，n ∈N *，写出数列{b n }的前n 项和T n 、2T n 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．

【解答】解：（1）∵a n +2=qa n （q 为实数，且q ≠1），n ∈N *，a 1=1，a 2=2， ∴a 3=q ，a 5=q 2，a 4=2q ，

又∵a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列，

~

∴2×3q=2+3q+q 2，

即q2﹣3q+2=0，

解得q=2或q=1（舍），

∴a n=；

（2）由（1）知b n===，n∈N*，

记数列{b n}的前n项和为T n，

则T n=1+2?+3?+4?+…+（n﹣1）?+n?，

∴2T n=2+2+3?+4?+5?+…+（n﹣1）?+n?，

两式相减，得T n=3++++…+﹣n?

=3+﹣n?

=3+1﹣﹣n?

=4﹣．

【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

17．（2015?山东）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设b n=（a n+1）?2，求数列{b n}的前n项和T n．

【分析】（1）通过对c n=分离分母，并项相加并利用数列{}的前n项和为即得首项和公差，进而可得结论；

··

~

（2）通过b n =n?4n ，写出T n、4T n的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论．

【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1、公差为d ，则a 1＞0，

∴a n=a1+（n﹣1）d ，a n+1=a1+nd，

令c n =，

则c n==[﹣]，

∴c1+c2+…+c n﹣1+c n=[﹣+﹣+…+﹣]

=[﹣]

=

=，

又∵数列{}的前n项和为，

∴，

∴a1=1或﹣1（舍），d=2，

∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）由（1）知b n=（a n+1）?2=（2n﹣1+1）?22n﹣1=n?4n，

∴T n=b1+b 2+…+b n =1?41+2?42+…+n?4n，

∴4T n=1?42+2?43+…+（n﹣1）?4n+n?4n+1，

两式相减，得﹣3T n=41+42+…+4n﹣n?4n+1=?4n+1﹣，

∴T n=．

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．

··

~

18．（2015?浙江）已知数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）

（Ⅰ）求a n与b n；

（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．

【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，a n+1=2a n，可得数列{a n}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{a n}的通项公式；

再由b1=1，b1+b 2+b3+…+b n=b n+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{b n}的通项公式；

（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{a n b n}的前n项和为T n．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，a n+1=2a n ，得．

由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，

当n ≥2时，b1+b2+b3+…+=b n﹣1，和原递推式作差得，

，整理得：，

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因此

，

两式作差得：，

（n∈N*）．

【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．

19．（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

··

~

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；

（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．

【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．

∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．

解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），

解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n =2n﹣1；

（2）S n==2n﹣1，

∴b n ===﹣，

∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．

【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．

20．（2015?山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．

（Ⅰ）求{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．

【分析】（Ⅰ）利用2S n=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2S n﹣1=3n﹣1+3，两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1，可求得a n=3n﹣1，从而可得{a n}的通项公式；

（Ⅱ）依题意，a n b n=log3a n，可得b1=，当n＞1时，b n=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；当n＞1时，T n=b1+b2+…+b n=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+

··

~ ·· （n ﹣1）×31﹣n ），利用错位相减法可求得{b n }的前n 项和T n ．

【解答】解：（Ⅰ）因为2S n =3n +3，所以2a 1=31+3=6，故a 1=3，

当n ＞1时，2S n ﹣1=3n ﹣1+3，

此时，2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=3n ﹣3n ﹣1=2×3n ﹣1，即a n =3n ﹣1，

所以a n =．

（Ⅱ）因为a n b n =log 3a n ，所以b 1=，

当n ＞1时，b n =31﹣n ?log 33n ﹣1=（n ﹣1）×31﹣n ，

所以T 1=b 1=；

当n ＞1时，T n =b 1+b 2+…+b n =+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n ﹣1）×31﹣n ），

所以3T n =1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n ﹣1）×32﹣n ），

两式相减得：2T n =+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n ﹣（n ﹣1）×31﹣n ）=+

﹣（n ﹣1）×31﹣n =

﹣， 所以T n =﹣

，经检验，n=1时也适合， 综上可得T n =

﹣． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．

21．（2008?全国卷Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1=a ，a n +1=S n +3n ，n ∈N *．由

（Ⅰ）设b n =S n ﹣3n ，求数列{b n }的通项公式；

（Ⅱ）若a n +1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．

【分析】（Ⅰ）依题意得S n +1=2S n +3n ，由此可知S n +1﹣3n +1=2（S n ﹣3n ）．所以b n =S n ﹣3n =（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *．

（Ⅱ）由题设条件知S n =3n +（a ﹣3）2n ﹣1，n ∈N *，于是，a n =S n ﹣S n ﹣1=，由此可以求得a 的取值范围是[﹣9，+∞）．

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