公务员考试数量关系分类精解

公务员考试数量关系各类题型全解析

平均分问题

1、小明从甲地到乙地办事，去时由于上山，每小时走3千米，回来时下山，每小时走5千米，他往返甲乙两地的平均速度是多少千米？

分析：求平均速度应是“总路程÷总时间＝平均速度”。 解：设甲乙两地的路程为“1”或x 2÷(1/3+1/5 )＝3.75 (千米)

4、有红、黄、白三种颜色的乒乓球，已知红、黄两种球平均11个；黄、白两种球平均8个；红、白两种球平均9个。三种球各多少个？ 解： (11×2＋8×2＋9×2 )÷2 ＝56÷2＝28 ( 个)

白球： 28－11×2＝6 个 红球 28－8×2＝12 个 黄球 28－9×2＝10 个 比例百分数

3、（★★）成本 0.25元的练习本 1200本，按 40％的利润定价出售。当销掉80％后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？ 【解】打了8折.

先销掉 80％，可以获得利润0.25×40％×1200×80％＝ 96。按86％获得利润 0.25×40％×1200×86％=103.2。因此，出售剩下的20％，要获得利润 103.2-96=7.2（元）， 每本需要获得利润

7.2÷（1200× 20％）= 0.03（元）。

现在售价是 0.25＋ 0.03＝ 0.28（元），定价是 0.25×（1＋ 40％）＝ 0.35（元）。 售价是定价的0.28÷ 0.35=80％。

5、甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比.

【解】甲再加上18本就跟乙占的份数一样了，三人就是5、5、4份，则：

（108+18）÷（5 + 5+ 4）= 9

6、（★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中,现在知道从容器溢出的水量情况是：第一次是第二次的1/3，第三次是第一次的2.5倍，求三个

！

球的体积之比。

【解】设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量. 中球的体积是 3+1=4.

小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-1=5.5. 三个球的体积之比是

1∶ 4∶ 5.5= 2∶ 8∶ 11.

8. （★★★★） 袋子里红球与白球数量之比是19：13。放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：11。已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？

【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。

红 白

原来 19 ：13=57：39 加红 5 ： 3=65：39 加白 13 ：11=65：55

加红球从57份变为65份，多了8份，加白球从39份变为55份，多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）×10=960只。

9．（2007年国考） 某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：

A ．84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分

【解】可先求出男女生各占总人数的比例，女：1/2.8 男，1.8/2.8，再设女生平均分x，则男为5/6x， 1/2.8x ＋1.8/2.8×5/6x＝75

也可直接设x，y，解题中会自然削去一个未知数。

时钟问题 （★★★★）4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？

分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：时针走1个格，分针走12格，即分针比时针快11个格，若快30个格则时针走30/11格，即约32分。12点32分

而1点零5又5/11又重合，再加32分即1点38分又成一直线 第二次成一条直线时刻是： 38（分） 即 1点38分。

！

第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－ ）＝40÷＝43（分） 即 2点43分。

（每65又5/11重合一次，成直线一次。） 如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意） 如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。

流水问题 5、（★★）某河有相距120千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？

分析：从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋水速”，船每分钟与物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分钟相距2千米，甲的船速24（千米）。因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。

解： 120÷[ 2÷（5÷60）] ＝120÷24 ＝5（小时）

工程问题

5、有A、B两项工作，王师傅独做A项工作要9天完成，独做B项工作要12天完成；李师傅独做A项工作要3天完成，独做B项工作要15天完成。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？

是不是1÷(1/9＋1/3 )＋1÷(1/12＋1/15 )呢？

否，分析看到，做A项工作李师傅工效高，做B项工作王师傅工效高。要想时间最少，必须发挥各人的特长，选择最佳分配方法。这就让李师傅单独去做3天完成A项工作，王师傅先单独做B项工作，3天后，待李师傅完成了A项工作，再两人共同做B项工作剩下的部分。

包含排除原理

【例3】在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分。如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【分析】三种刻度线分别有10-1=9（条），12-1=11（条），15-1=14（条），不妨设木棍长为60厘米。那么，与三种刻度线相对应的每一份长分别是：60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷15=4（厘米）。根据5和6的最小公倍数是30，可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60÷30-1=1（条），另两种重复的刻度线分别有2条、4条。 【解】（9＋11＋14-1-2-4）＋1=28（段）

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1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。

解：a＞8.8×5=44 a＜9×5=45 44＜a＜45答案：44。

2.1995的约数共有____。

解：1995=3×5×7×19，由乘法原理可知，1995的约数有1＋1的4次方

7.aaaa小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是____。 解：由于小胡和小涂都没有看错乙数，所以，乙数是1274和819的公约数。

1274=2×7×7×13 819=3×3×7×13

1274与819的公约数有1，7，13，91这四个。但由“乙数是两位数”，可排除1和7；又由“小涂看错了的甲数也是两位数”，可排除91（不然的话，小涂看错了的甲数只能是一位数9）。因此，乙数必定是13。

根据乙数是13，可知小胡看错了的甲数是 1274÷13=98（8是看错的） 小涂看错了的甲数是 819÷13=63（6是看错的） 因此，甲数是93

8.1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。已知：

（1）这4支队（各三场比赛）的总得分为4个连续奇数； （2）乙队总得分排在第一；

（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。

根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是____队。

解：（1）总分为16，这4个连续奇数必为1，3，5，7，

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答案是“丙”。

5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时，每人可挣3元钱。到11月11日，他们一共挣了1764元。这个小组计划到12月9日这天挣足3000元，捐给“希望工程”。因此小组必须在几天后增加一个人。问：增加的这个人应该从11月几日起每天到餐馆打工，才能到12月9日恰好挣足3000元钱？ 解：（1）还缺多少钱？ 3000-1764=1236（元）

（2）28天中，（原来小组中）每人可挣多少元钱？ 3×28=84（元）

（3）增加的一人应挣多少元？ 1236÷84=14（人）??60（元）

（4）要挣60元，增加的那一人要打工多少天？ 60÷3=20（天）

6.aaaa有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员跑得稍快些。如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑，那么每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上了女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？（圈数取整数） 解；由于25秒内男女运动员一共跑完1圈，所以13分钟内他们一共跑了 13×60÷25=31.2（圈）

又由题意可知，13分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。这就得到一个“和差问题”。由此容易求出女运动员已经跑了 （31.2-1）÷2=15.1（圈） ≈15（圈）

答：追上时女运动员已经跑了15圈。

（也可设一圈具体米数来算）

加法原理与乘法原理

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（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，??由第k种途径有nK种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+??+nK种不同的方法。

（2）乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，??，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2×??×nK种不同方法。

【例1】妈妈有3顶不同的帽子，4件不同的衬衫，5条不同的裙子。如果可以不戴帽子，那么妈妈用这些帽子和衣裙，共可组成多少种不同搭配的穿戴方式？ 【分析】可以把妈妈穿衣戴帽看作一件工作，分三步进行：①选择帽子（包括不戴帽）；②选择衬衣；③选择裙子。因为可以不戴帽，所以在第①步中，可选择“ 3+1=4”种不同方法。在第②步、第③步中，分别有4种、5种方法。 【解】根据乘法原理，可组成不同搭配的穿戴方式共有4×4×5=80（种）。 2.用5支不同颜色的水彩笔，来书写“IMO”，要求不同字母用不同颜色的笔写。共可写出____种不同颜色搭配的“IMO”。

5×4×3=60

4.540的约数有____个。

540=2×2×3×3×3×5 （2+1）×（3+1）×（1+1）＝24

3.aaaa 一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。原来至少有__人已经就座。 解：最少有

“●”表示已经就座的人，“○”表示空位。 ○●○○●○○●○??

5. “重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。其中年龄最大的老人今年____岁。 90（岁） 先求出中间数再加12即可

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6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

解：根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。 说明：本题是抽屉原理的应用。应用这个原理的关键是制造抽屉。任意借两本，共有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。

aaaaaa 8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。 注意：必须算上损耗

解：设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有 38X+90Y+（X+Y-1）=1000 39X+91Y=1001

要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大。由于X、Y都必须是自然数，因而不难推知：X=7，Y=8。即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗最少。

3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。求这个大长方体的体积。

250（立方分米）

1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。问：保证一定获胜的对策是什么？

答：保证一定获胜的对策是：（1）先取1粒钮扣，这时还剩1991粒钮扣。（2）下面轮到对方取，如果对方取n粒（1≤n≤4），自己就取“5-n”粒，经过398

！

个轮回后，又取出398×5=1990（粒）钮扣，还剩1粒钮扣，这1粒必定留给对方取。

2. 有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？

解：要回答这道题，可以先列一个表来比较一下。通过比较，容易知道剪去的小正方形边长是几厘米时，做成的纸盒容积最大。

3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图13所示的（a）、（b）两种形状的铁皮毛坯。

现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图15），图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（a）、（b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。

问：（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？（3分）

（2）怎样裁剪所选用的下脚料？（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（5分） 答：（1）应选甲铁皮料。

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（2）剪法如图17。

说明：题中要求选一块铁皮料适合做“成套”的铁皮制品，这就要求所选的铁皮料中包含的（a）（b）两种毛坯同样多；又因为不能浪费材料，所以，只要算一算（数一数甲、乙两块材料中各有多少小正方形），看甲（或乙）材料中小正方形的总数能不能被（10+7=17）整除。

在回答第（2）个问题时，可以把（a）（b）两块毛坯拼成图18，再根据上面所算出的结果，从中心处向四个方向剪开，就得到4个图18的形状。仔细观察图17，容易发现图中的对称美，这种美也能启发你找到剪裁铁皮的方法。

5.（1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？

答：（1）把9块中的三块各分为两部分：

（2）如果把上面（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？如果好分，怎么分？如果不好分，为什么？

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8.王亮从1月5日开始读一部小说。如果他每天读80页，到1月9日读完；如果他每天读90页，到1月8日读完。为了不影响正常学习，王亮准备减少每天的阅读量，并决定分a天读完，这样，每天都读a页便刚好全部读完。这部小说共有__页。

324页；

10.如图5，七枚棋子围成一个圆圈，从①开始，每隔一个取一个，依次取走①、③、⑤、⑦、④、②，最后剩下⑥。二十枚棋子围成一个圆圈（如图6），从__开始，每隔一个取一个，最后将只剩下一枚棋子是几？（4分）

偶数个按1、3、5取，最后剩下的一个是最大偶数。如14个最后剩14。 奇数个剩最大奇数前一个数，也是最大的那个偶数。如9个剩数字8

11.在图7的每个方格中填入九个不同的自然数，使得每一行、每一列以及两条对角线（左上角到右下角，右上角到左下角）上的三个数的乘积都相等。

aaaaaaa 6.A、B、C三个油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克。问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？

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解：用“倒推法”列出右表。从表中看出：原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。

aaa7.甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人。现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览。已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人？

解：根据题意，知69、85、93对A同余。由85-69=16，93-85=8，93-69=24，可推出A=8或4或2（如果两个数除以同一个数余数相同，那么这两个数的差被这个数整除） 97÷8=12??1。所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人。

5.城中小学四年级有四个班。已知四（1）班、四（2）班共81人，四（2）班、四（3）班共83人，四（3）班、四（4）班共86人，四（1）班比四（4）班多2人，问四个班各有多少人？ 解：81＋83＋85＝四1班＋四4＋（四2班＋四3班）×2

四1班＋四4＝250－83×2＝84 然后是和差问题

11.王叔叔、李大伯、周叔叔、林阿姨和张阿姨一起参加会议，开会前他们相互握手问好。王叔叔和4人都握了手，李大伯和3人握了手，周叔叔和2人握了手，林阿姨和1人握了手，你能知道张阿姨和哪几个人握了手吗？

和王叔叔、李大伯两人

12.某市举行家庭普法学习竞赛，有5个家庭进入决赛（每家2名成员）。决赛时，进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛。第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王；另外，刘某因故四项均未参赛。问谁和谁是同一个家庭的？

吴－刘 郑－王 孙－钱 赵－周 李－张。

解：四次吴都参加所以和刘一家。郑三次参加只可从第4项中选一个，而根据前3项排除了周、吴、孙、张。

【例1】一串数按下面规律排列：

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1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6??

问从左面第一个数起，数（shǔ）100个数，这100个数的和是多少？ 【分析】观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下：

（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），??各组数的和形成等差数列；

100÷3=33??1，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34。求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少。 【解】2×3＋3×3＋4×3＋??＋34×3＋34=1816

【例1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白??如此继续涂下去，到第1993个小球该涂什么颜色？

【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次。这里，给小木球涂色的周期是：5＋4＋3＋2＋1=15。

【解】1993÷15=132??13

这就是说，第1993个小球出现在上面所列一个周期中第13个，所以第1993个小球是涂黑色。

【例2】小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张纸的正反两面编号（即由第1页一直编到第192页），小丽从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加。试问：小丽所加得的和数能不能为1994？

【分析】不能。因为每张纸正反两面页数的和是奇数，25也是奇数，奇数个奇数相加的和不可能是1994（偶数）。

【例3】有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。

【解】不能。 如果可以按要求排成，那么每一排中各号码数的和都是某一个孩子号码数的两倍，是个偶数，所以加起来得到这1993个数总和是个偶数，但是这1993个数总和是个奇数。矛盾！

1.任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？

解：1994÷2=997，即997组数相加，而每一组都是一个偶数加奇数，和是奇数。奇数个奇数的和是奇数，所以，它们的总和是奇数

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2.一串数排成一行，它们的规律是头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55?? 试问：这串数的前100个数（包括第100个）中，有多少个偶数？ 解：33. 这串数的排列规律是以“奇奇偶”一个周期。

3.能不能将1010写成10个连续自然数的和？如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。

10÷2＝5，奇数组（5组）奇数之和仍是奇数。 法则：

1）如果一个数的各位数字的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

2）一个数，如果它的末两位数能被4或25整除，那么它能被4或25整除；如果它的末三位数能被8或125整除；那么它能被8或 125整除。

（3）如果一个数的奇位上的数字和同偶位上的数字和相减所得的差能被11整除，那么这个数能被11整除。

（4）如果一个数的末三位数字所成的数，与末三位以前的数字所成的数，它们的差被7或13整除，那么这个数能被7或13整除。 【例3】写出形如□691□，能被55整数的五位数。

因为55可分解为5×11，5与11互质，所以，要求的这个数能同时被5和11整除。根据能被5整除，可知个位数字是0或5，再根据被11整除求出万位上的数字。

解：符题意的五位数有96910，46915。

【例2】 1.五位数3□6□5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数是

解：该数能被25和3整除

【例2】自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。求a的最小值。 先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对。

解：2376=2×2×2×3×3×3×11，所以，a最小是2×3×11=66。 【例3】用一个两位数除1170，余数是78，求这个两位数。

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根据题意可知，被除数1170与余数78之差1092应是除数与商之积，所以，可把1092分解质因数。

解 1092=2×2×3×7×13=84×13=91×12

4.有三个自然数 a、b、c，已知 a×b=30，b×c=35，a×c= 42，求这三数之积a×b×c是多少？

提示：（a×b）×（b×c）×（a×c）=（a×b×c）的平方=30×35×42=5×6×5×7×6×7

aaaaa例2】一个长方体长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米，要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是____分米。

把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应是长、宽、高的公约数。现要求正方体的棱长最大，那么棱长是长方体长、宽、高的最大公约数。 求得270、18、15的最大公约数为3。所以，正方体棱长最大应是3厘米，也就是0.3分米。

aaaaa【例3】用长是9厘米，宽是6厘米，高是7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要这种长方体木块____块。

把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。现要求长方体块数最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数。求出了正方体的棱长后，再根据体积关系可以求得长方体块数。

解9、6、7的最小公倍数是126，所以叠成的正方体边长应是126的倍数，至少是126厘米。

126的立方÷（9×6×7） =5292（块）

【例4】常青小学六年级有若干人。

（1）如果3人一行最后余2人，7人一行最后余2人，11人一行最后也余2人，六年级最少有多少人？

（2）如果3人一行余1人，7人一行余5人，11人一行余9人，六年级最少有多少人？

分析：（1）如果总人数减少2人，那么总人数是3、7、11的公倍数。现要求六年级最少有多少人，可求得3、7、11的最小公倍数，再加上2人；

！

（2）如果总人数加上2人，那么总人数是3、7、11的公倍数。求六年级最少有多少人，可先求得3、7、11的最小公倍数，再减去2。

1.甲乙两数之比为5∶3，它们的最大公约数与最小公倍数的和为1040，求甲乙两

数。

5∶3 15＋1＝16 10∶6 30＋2＝32 15∶9 45＋3＝48 20∶12 60＋4＝64

答案: 325，195；（另：最大公约数与最小公倍数的积等于两数的积）

4.分母是1001的最简真分数有____个。

解：1001＝7×11×13，再去掉7的倍数143个，11的91个，13的77个。其中77的倍数，91的倍数，143的倍数都减了两次。

故1000－143－91－77＋13＋11＋7＝720

【例4】从1到400的自然数中，数字“2”出现____次。

【分析】在1～400这400个数中，“2”可能出现在个数、十位或百位上，应分三类分别计数；

（1）“2”在个位上。 2、12、??292、302、312、?392，共40（次） （2）“2”出现在十位上，20～29，120～129，220～229，320～329，也是40（次）。

（3）“2”在百位上，从200～299，共100次。

【例5】有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果要求所围成的三角形的底边长是11厘米，那么共可围成____个不同的三角形。

【分析】可设底边为11厘米的三角形的另外两条边长分别为a、b，那么， 11+1=12≤a+b≤11+11=22

！

根据a+b的取值（从12到22），把这样的三角形分为11类：a+b=12，a+b=13，a+b=14，??，a+b=22，围成的每类三角形分别有，6个，5个，5个，4个，4个，3个，3个，2个，2个，1个，1个。 解6+（5+4+3+2+1）×2=36（个）。

Aaaaa例6 设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72，那么，a与b的和可以有____种不同的值。

分析 两个数的最小公倍数是72，这两个数的关系可能是：（1）一个数是72，另一个数是72的约数（不含72）；（2）一个数是36，另一个数是72的约数但不是36的约数；（3）一个数是24，另一个数是72的约数但不是24的约数；（4）一个数是18，另一个数是72的约数但不是18和36的约数。（5）两个数互质（9和8）。 11+2+2+1+1=17（种）

2、如图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π＝3）。

分析与解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：Ⅰ＋S＝60°圆心角扇形ABC面积，得：

2

Ⅰ＋Ⅱ＝S扇形ABC＝π×3÷6＝9/2。

3、如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。

！

分析与解：已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积。半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长。

2

BC＝[π×（20÷2）÷2－7]×2÷20＝（157－7）×2÷20＝15（厘米） 4、如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。（取π＝3）

分析与解：阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图中（Ⅰ）的面积之差。而图中（Ⅰ）的面积等于边长为6的正方形面积减去1/4的以6为半径的圆的面积。

2

S阴影＝S三角形ACD－（S正方形BCDE－S扇形EBD）＝1/2（16×6）－（62－π×6÷4）＝48－9＝39（平方厘米）

7、如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。（取π＝3）

分析与解：由容斥原理：S阴影＝S扇形ABE＋S扇形CBF－S矩形ABCD＝π×6÷4＋π×4÷4－6×4＝π×（36－16）÷4－24＝13π－24≈15（平方厘米）

12、如图，以AB为直径做半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小 28平方厘米，AB长40厘米。求BC的长度。（π取3.14）

2

2

分析与解：阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，即半圆面积比三角形ABC的面积小28平方厘米，半圆面积=1/2π*20^2=628平方厘米， 三角形ABC的面积=半圆面积+8=628+28=656平方厘米，

！

所以，BC=2*656/40=32.8（厘米） 答：BC的长度是32.8厘米。

2．如图，把四边形ABCD的各边延长，使得AB=BA′，BC=CB′CD=DC′，DAAD′，得到一个大的四边形A′B′C′D′，若四边形ABCD的面积是1，求四边形A′B′C′D′的面积．

解：连结AC′，AC，A′C考虑△C′D′D的面积，由已知DA=D′A，所以S△C′D′D=2S△C′AD．同理S△C′D′D=2S△ACD，S△A′B′B=2S△ABC，而S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC，所以S△C′D′D+SS△A′B′B=2S四边形ABCD．同样可得S△A′D′A+S△B′C′C=2S四边形ABCD，所以S四边形A′B′C′D′=5S四边形ABCD．

3．如图，甲、乙、丙三个互相咬合的齿轮，若使甲轮转5圈时，乙轮转7圈，丙轮转2圈，这三个齿轮齿数最少应分别是多少齿？

解：用甲齿、乙齿、丙齿代表三个齿轮的齿数．甲乙丙三个齿轮转数比为5∶7∶2，根据齿数与转数成反比例的关系． 甲齿∶乙齿=7∶5=14∶10， 乙齿∶丙齿=2∶7=10∶35，所以 甲齿∶乙齿∶丙齿=14∶10∶35

由于14，10，35三个数互质，且齿数需是自然数，所以甲、乙、丙三个齿轮齿数最少应分别是14，10，35．

上面几道未看

【例3】陈辉问王老师今年有多少岁，王老师说：“当我像你这么大时，你才3

岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”问王老师今年多少岁？

分析我们先要明白：如果我比你大a岁，那么“当我像你这么大时”就是在a年前，“当你像我这么大时”就在a年后。这样便可根据题意画出下图：

！

从图上可看出，a=13，进一步推算得王老师今年29岁。

【例2】一次数学考试的满分是100分，6位同学在这次考试中平均得分是91分，这6位同学的得分互不相同，其中有一位同学仅得65分。那么，得分排在第三名的同学至少得多少分？

【分析】一人得65分，其余5位同学的总得分是91×6-65=481。要使排第三名的同学得分“至少”（尽可能少），就要使其他四人得分尽可能多，也就是说，第一名、第二名得分要尽可能高（分别得100分和99分），而且第四、第五名的得分又要尽可能与第三名接近。故： 【解】（91×6-65-100-99）÷3=94

平均数为94而且又最接近的互不相等的三个数为93，94，95。所以，排在第三名的同学至少得95分。 【例3】（1）把17分成两个自然数的和，使得它们的乘积最大，应该怎样分？（2）把17分成几个自然数的和，再求这几个自然数的乘积，问应怎样分，才能使所得的乘积最大？

【分析】（1）把一个自然数分成两个自然数的和，要这两个自然数乘积最大，必须它们的差最小。因而可将17分成8与9的和。

（2）把17分成若干个自然数的和，要使这些自然数的积最大，其中当然不能含有1（1乘以任何数以后该数并不变大）。应该至少是2。

但2×2×2＜3×3 所分的加数都应小于5。

这样，我们就可以将17分成3＋3＋3＋3＋3＋2对应的最大乘积为 3×3×3×3×3×2＝486。

！

4．某路公共汽车，包括起点和终点共有15个车站，有一辆车除终点外，每一站上车的乘客中，恰好有一位乘客到以后的每一站下车，为了使每位乘客都有座位，问这辆公共汽车最少要有多少个座位？ （56个）

本题可列表解．除终点，我们将车站编号列表：

共需座位：

14+12+10+8+6+4+2=56（个）

【例1】菜场上有三种蔬菜，其中茄子、辣椒共重50千克，辣椒、黄瓜共重70千克，茄子、黄瓜共重60千克。这三种蔬菜各多少千克？

【分析】把50干克、70千克、 60千克都加起来除以2就是三者的重量。然后 90-50=40（千克）??????黄瓜 ???

【例2】有50名学生参加联欢会。第一个到会的女生和全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，??最后一个到会的女生同7个男生握过手。这50名学生中共有多少男生？ 【分析】设有a名女生，b名男生，根据题意，第n个到会的女生的序数n同与她握过手的男生数之间的关系，似乎存在一定的规律，我们列表来寻找其中的规律。

！

因为最后一个女生同7名学生握过手，所以，b-a+1=7，也就是b-a=6。把这个结果同“男女生共50名”结合起来，就具备了和差问题的结构特点。由于男生人数比女生人数多，可知男生人数是：（50+6）÷2=28名。

【例3】甲、乙、丙三数的和是78，甲数比乙数的2倍多4，乙数比丙数的3倍少2。求这三个数。

【分析】这道题里出现了3个数，首先要确定把哪个数看作“1倍数”。把丙数看作“1倍数”算起来更简便。这样，乙数就是“3倍少2”。甲数是“乙数的2倍多4”，可转化为：甲数是丙数的（3倍-2）×2+4=6倍 这三个数的和就相当于丙数的 6倍+（3倍-2）+1倍=10倍-2

“三个数的和是78”换句话说就是：比丙数的10倍少2的数是78，从而与“10倍”相对应的量就是78+2=80。

还原问题：【例1】某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元。这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？ 【分析】由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是 1250+100=1350（元） 余下的钱是：1350×2=2700（元）

同样道理2700是原存款的一半少50，原存款的一半就是2750原存款就是5500元

【例2】有26块砖，兄弟2人争着去挑，弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶来了。哥哥看弟弟挑得太多，就拿来一半给自己。弟弟觉得自己能行，又从哥哥那里拿来一半。哥哥不让，弟弟只好给哥哥5块，这样哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？

【分析】我们得先算出最后哥哥、弟弟各挑多少块。哥哥挑14块，弟弟挑12块。下面根据题意列表还原：

！

1.某学生在做一道加法式题时，先错把一个数的个位上的5看作9，接着又错把一个数的十位上的8看作3，结果得到错误的“和”123。正确的“和”是多少？

解：第一个数多加了4，第二个少加了50，即少加了46，那么原两数和是123＋46＝169

2.书架有A、B、C三层，共放了192本书。先从A层拿出与B层同样多的书放进B层，再从B层拿出与C层同样多的书放进C层，最后从C层拿出与A层现有书同样多的书放进A层。这时，三层的书同样多。开始时，A、B、C三层各有多少本书？

解：用还原法，由最后都是64本画箭头图倒推：A层原有88本，B层有56本，C层有48本。

【例2】某人到十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停开，如从第一层走到第四层要48秒，请问以同样的速度从第四层走到第八层，还需要多少秒才能到达？

【分析】如果我们把经过一层楼所需的时间看作一个时间间隔，那么，爬楼所需的总时间、爬楼的层数与时间间隔有如下关系： 时间间隔×（爬楼层数-1）=爬楼总时间 【解】48÷（4-1）×（8-4）=64（秒）

【例3】在一条公园小路旁边放一排花盆，每两盆花之间距离为4米，共放了25盆，现在要改成每6米放一盆，问有几盆花不必搬动？ 【分析】由于每两盆花间隔为 4米，共放 25盆，所以这条路长为： 4×（25-1）=96（米）

现在考虑那些不动的花盆，它们与第一盆的距离应该既是4的倍数，又是6的倍数，也就是12的倍数。小路全长96米，含有

96÷12=8个12，再加上第一盆花不动，于是不必搬动的花盆有 8+1=9（盆）

1.李华以每小时4千米的速度从学校出发步行到20.4千米以外的冬令营报到，半小时后，营地的老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到，结果三人同时在途中某地相遇。张明骑车速度是多少？ 20千米每时

2.甲、乙、丙三人都以均匀的速度进行60米赛跑。当甲冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。当乙到达终点时，比丙领先多少米？12米。

！

【例1】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发， 8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上小明。然后爸爸立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米。问这时是几点几分？

【分析】由爸爸追上小明后立即回家，到家后又立即回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米知同样时间爸爸行完（8+4=）12千米，小明行4千米，可见爸爸的速度是小明的3倍。从而，行完同样多的路程（比如从家到离家4千米），小明所用的时间就是爸爸的3倍。（这是列一方程也可）

由于小明从家出发8分钟后爸爸去追他，并且在离家4千米的地方追上，所以，小明从家到在离家4千米的地方比爸爸多用8分钟。这样可以算出，小明从家到A所用的时间为

8÷（3-1）×3=12（分），总共24分钟

aaaaa【例2】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36干米。相遇以后继续以原来的速度前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断地往返行驶。已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。A、B两地相距多远？

最简单的方法：画一个9份的ab线段。第二次相遇共走三趟27份，甲走15份，第三次相遇共走五趟甲走25份，25份的地点和15份的地点相距4份，4份是40千米，则全长90千米 aa2.游船顺流而下，每小时行8千米，逆流而上每小时行7千米，两船同时从同地出发，甲船顺流而下然后返回，乙船逆流而上然后返回，经过两小时它们恰好同时回到出发点，在这两小时中，有____小时甲、乙两船航行方向相同。

解：每船都顺流一程、逆流一程，又是同时回来，所以甲去时（顺流）走了7份时间，回时走了8份，相反乙船去时（逆流）走了8份时间，回时走了7份；故二船只有1份时间航向相同；

2（总时间）×1/15=2/15（小时）

aaaa【例2】如图38-1，A、B是圆的一条直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发逆时针而行，第一周内，他们在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C点离A点80米，D点离B点60米。求这个圆的周长。

！

【分析】这是一个圆周上的追及问题。从一开始运动到第一次相遇，小张行了80米，小王行了“半个圆周长+80”米，也就是在相同的时间内，小王比小张多行了半个圆周长，然后，小张、小王又从C点同时开始前进，因为小王的速度比小张快，要第二次再相遇，只能是小王沿圆周比小张多跑一圈。从第一次相遇到第二次相遇小王比小张多走的路程（一个圆周长）是从开始到第一次相遇小王比小张多走的路程（半个圆周长）的2倍。也就是，前者所花的时间是后者的2倍。对于小张来说，从一开始到第一次相遇行了80米，从第一次相遇到第二次相遇就应该行160米，一共行了240米。这样就可以知道半个圆周长是180（=240-60）米。 简单的方法:小张跑ac，小王跑半个圆＋ac 小张跑cb＋60，小王1个圆＋cb＋60

以上两式相加，小张跑了半个圆＋60，小王跑两个圆＋60

又小张跑80，小王跑小王跑半个圆＋80。 列方程组，得知半个圆为180。

aaa【例3】2点整以后，经过多长时间时针与分针第一次垂直、第三次垂直？

【分析】分针的速度比时针快，2点整时，分针在时针后面 2格，要使分针与时针第一次垂直，分针应在时针前面3（=12÷4）格。也就是说，这段时间内分针应比时针多走5格。而分针每小时走12格，时针每小时走1格。

后，时针才能与分针第一次垂直。

每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

时针与分针第三次垂直，分针应比时针多跑5+12=17格。所以要经

简单方法：要多少分钟在一条线上：12：1＝10＋x：x，

x＝10/11，即10/11*12分钟 再多少分钟相距15个格：12：1＝15＋y：y

y＝15/11，即15/11*12分钟 经过多长时间时针与分针第一次垂直：15/11*12分钟＋10/11*12分钟＝5/11小时

！

aaa例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？

解：小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此 9（多走的路程）÷6（每小时快的）＝1.5（有多少个小时）.

又：小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，就是面包车到达的10分钟里小轿车走了9千米那么

小轿车的速度是9÷1/6小时=-54 面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.距离是48×1.5＝72（千米）.

或者求出二者速度列方程即可。

例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？

解：追击距离不变，即自行车已行的。

【例3】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20％，可以比原来时间提早1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达。那么，甲、乙两地相距多少千米？

V×h＝1。2v×h－1 h＝6， 然后列方程可得

【分析】路程一定，时间与速度成反比，车速提高20％，所用时间就

！

（行完全程提前的时间是行完120提前时间的倍数，就是全程是120的倍数）

aaaa例5】一批商品，按期望获得50％的利润来定价。结果只销售掉70％的商品，为了尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折扣出售。这样所获得的全部利润是原来所期望的利润的82％。问打了多少折扣？

【分析】设商品的成本是“1”，原来获得利润0.5，现在出售70％的商品已经获得利润（0.5×70％=）0.35，剩下 30％的商品将要获得利润（0.5×82％-0.35=）0.06，因此，这剩下30％的商品售价是（1×30％+0.06=）0.36，原来定价是1×30％×（1+50％）=0.45，因此所打的折扣的百分数是0.36÷0.45=80％，也就是八折出售。

设商品的成本是“1”份量是“1”。 则定价1.5

最后总卖了1.5×0.82 已卖了1.5×0.7 还需卖x×0.3＝0.36，即剩下的打了8折

aa【2】8．88．888．8888．共88位之和的最后两位数字是？ 由87x88＋8即知 aaaa例：3个质数的倒数的和是311/1001，问这三个质数和是 解：三个质数的最小公分母是1001，知这三个质数是7，11，13

乘法原理

例1利用数字1，2，3，4，5共可组成 (1)多少个数字不重复的三位数？ (2)多少个数字不重复的三位偶数？ (3)多少个数字不重复的偶数？

解(1)百位数有5种选择；十位数有4种选择；个位数有3种选择．所以共有5×4×3=60

(2)先选个位数，共有两种选择：2或4．在个位数选定后，十位数还有4种选择；百位数有3种选择．所以共有2×4×3=24

！

(3)分为5种情况：

一位偶数，只有两个：2和4．

二位偶数，共有8个：12，32，42，52，14，24，34，54． 三位偶数由上述(2)中求得为24个． 四位偶数共有2×4×3×2=48个． 五位偶数共有2×4×3×2×1=48个．

例2从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？ 将符合要求的自然数分为以下三类：

(1)一位数，有1，2，4，5，6，7，8，9共八个．

(2)二位数，在十位上出现的数字有1，2，4，5，6，7，8，9共8种情形，在个位上出现的数字除以上八个数字外还有0，共9种情形，故二位数有8×9=72个．

(3)三位数，在百位上出现的数字有1，2两种情形，在十位、个位上出现的数字则有0，1，2，4，5，6，7，8，9九种情形，故三位数有2×9×9=162个．

也可用排除法，先找出含3的

aaaaaa例3在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？

解不妨将1至9999的自然数均看作四位数，凡位数不到四位的自然数在前面补0．使之成为四位数．

先求不含数字1的这样的四位数共有几个，即有0，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字所组成的四位数的个数．由于每一位都可有9种写法，所以，根据乘法原理，由这九个数字组成的四位数个数为

9×9×9×9＝6561，（不是9*8*7*6，因为各位数字相同的也在内）

其中包括了一个0000，它不是自然数，所以比10000小的不含数字1的自然数的个数是6560，于是，小于10000且含有数字1的自然数共有9999-6560=3439个． 例4 求正整数1400的正因数的个数．

解 因为任何一个正整数的任何一个正因数(除1外)都是这个数的一些质因数的积，因此，我们先把1400分解成质因数的连乘积

！

1400=257

所以这个数的任何一个正因数都是由2，5，7中的n个相乘而得到(有的可重复)．于是取1400的一个正因数，这件事情是分如下三个步骤完成的： (1)取2的正因数是2，2，2，3，共3+1种； (2)取5的正因数是5，5，5，共2+1种； (3)取7的正因数是7，7，共1+1种．

所以1400的正因数个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24． 例5 求五位数中至少出现一个6，而被3整除的数的个数．

(1)从左向右计，如果6出现在第5位，即a5=6，那么a2，a3，a4可以是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字之一，但a1不能是任意的，它是由a2+a3+a4+a5被3除后的余数所决定（余1，余2，整除）．因此，为了保证a1+a2+a3+a4+a5能被3整除，a1只有3种（？）可能，根据乘法原理，5位数中最后一位是6，而被3整除的数有

3×10×10×10=3000(个)．

(2)最后一个6出现在第四位，即a4=6，于是a5只有9种可能(因为a5不能等于6)，a2，a3各有10种可能，为了保证a1+a2+a3+a4+a5被3整除，a1有3种可能．根据乘法原理，属于这一类的5位数有

3×10×10×9=2700(个)．

(3)最后一个6出现在第3位，即a3=6，被3整除的数应有

3×10×9×9=2430(个)．

(4)最后一个6出现在第2位，即a2=6，被3整除的数应有

3×9×9×9=2187(个)．

(5)a1=6，被3整除的数应有

3×9×9×9=2187(个)．

根据加法原理，5位数中至少出现一个6而被3整除的数应有

3000+2700+2430+2187+2187=12504(个)．

0

1

2

0

1

2

3

0

1

2

3

32

！

42．小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。

设甲、乙两地间路程为L，从甲地到乙地上坡程程为W，则下坡路程为L－W，于是

从甲地到乙地用时自乙地返回甲地用时则有

即 ∴

46．值是＿＿。

都是二位的正整数，已知它们的最小公倍数是385，则 的最大

分解 ：所以由

＝

都是二位正整数得，它们可能取值为77，55，35，11。因此的

最大值是77＋55＋35＝167。 50．已知数串1，1，2，3，5，8，13，??，从第3个数起每个数都等于它前面相邻的两个数之和，那么，数串中第1999个数被3除所得的余数是＿。 上述数串各项被3除的余数是1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，?

每8个一循环。而1999÷8余7．

即第1999项与第7项被3除的余数相同，余数是1．

6.有8只盒子，每只盒内放有同一种笔。8只盒子所装笔的支数分别为17支、23支、

33支、36支、38支、42支、49支、51支。在这些笔中，圆珠笔的支数是钢笔的支数的2倍，钢笔支数是铅笔支

解析：因圆珠笔是钢笔的2倍，铅笔是钢笔的3倍，所以3种笔被6整除，彩笔只能是49支 1、一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小

！

时后找到救生圈：问：（1） 若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？（2） 救生圈是在何时掉入水中的？

分析（1）设静水中的速度为x

得小船由A港漂流到B港需48小时。我们重点分析问题（2），如图，设救生圈在C处掉入水中，当小船以在顺水航行的速度由C处到达B港的同时，救生圈以水流速度由C处漂流到D处，这一段相当于简单的追及问题；小船掉头从B处逆流而上，同时救生圈从D处漂流而下，相当于以DB为总路程的相遇问题。由此可设全程为1，救生圈是x点钟落入水中的，则

解之，得 x=11。可知救生圈是上午11时掉入水中的。

或设，在小船返回找时，救生圈已漂流了x小时

（1/6-1/48）x除以（1/8＋1/48）＝1，x＝1

5．在乘积1×2×3×?×98×99×100中，末尾有___（24）___个零．

由2×5=10，所以要计算末尾的零只需数清前100个自然数中含质因数2和5的个数，而其中2的个数远远大于5的个数，所以含5的因数个数等于末尾零的个数．

aaaaaaaa9．现有一叠纸币，分别是贰元和伍元的纸币．把它分成钱数相等的两堆．第一堆中伍元纸币张数与贰元张数相等；第二堆中伍元与贰元的钱数相等．则这叠纸币至少有______元．

解：第一堆中钱数必为5+2=7元的倍数；第二堆钱必为20元的倍数（因至少需5个贰元与2个伍元才能有相等的钱数）．但两堆钱数相等，所以两堆钱数都应是7×20=140元的倍数．所以至少有2×140=280元．

5．甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450．若它们的差最小，则两个数为______和______．

！

450×75为两数之积，分解因数看看。

或：因450÷75=6，所以最大公约数为75，最小公倍数450的两整数有75×6，75×1和75×3，75×2两组，经比较后一种差较小，即225和150为所求．

7．师徒加工同一种零件，各人把产品放在自己的筐中，师傅产量是徒弟的2倍，师傅的产品放在4只筐中．徒弟产品放在2只筐中，每只筐都标明了产品数量：78，94，86，77，92，80．其中数量为______和______2只筐的产品是徒弟制造的． （77，92）

徒弟1份，师父2份，总数除以3所得即为徒弟所造。

或：由师傅产量是徒弟产量的2倍，所以师傅产量数总是偶数．利用整数加法的奇偶性可知标明\的筐中的产品是徒弟制造的．利用\和倍问题\方法．徒弟加工零件是 （78+94+86+77+92+80）÷（2+1）=169（只）

aaaaaa8．一条街上，一个骑车人与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过行人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑车人．如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔______分发一辆公共汽车．

紧邻两辆车间的距离不变，当一辆公共汽车超过步行人时，紧接着下一辆公汽与步行人间的距离，就是汽车间隔距离．当一辆汽车超过行人时，下一辆汽车要用10分才能追上步行人．即追及距离=（汽车速度-步行速度）×10．对汽车超过骑车人的情形作同样分析，再由倍速关系可得汽车间隔时间等于汽车间隔距离除以5倍的步行速度．即 10×4×步行速度÷（5×步行速度）=8（分） 1．求在8点几分时，时针与分针重合在一起？ 解：考虑8点时，分针落后时针40个格（每分为一格），而时针速度为每分 简单的方法：12：1＝8＋x：x 解出x然后再乘以60分钟

6．有这样的自然数：它加1是2的倍数，加2是3的倍数，加3是4的倍数，加4是5的倍数，加5是6的倍数，加6是7的倍数，在这种自然数中除了1以外最小的是______． 解：（421）

这个数减1，是2，3，4，5，6，7的最小公倍。又2，3，4，5，6，7的最小公倍数为420，所以这个数为421．

Aaaaaa10．100名学生要到离校33千米处的少年宫活动．只有一辆能载25人的汽车，为了使全体学生尽快地到达目的地，他们决定采取步行与乘车相结合的办法．已知学生步行速度为每小时5千米，汽车速度为每小时55千米．要保证全体学生都尽快到达目的地，所需时间是______（上、下车所用的时间不计）．

把100名学生分成四组，每组25人．只有每组队员乘车和步行的时间都分别相等，他们才能同时到达目的地，用的时间才最少．

如图，设AB=x千米，在第二组队员走完AB的同时，汽车走了由A到E，又由E返回B的路程，这一段路程为11x千米（因为汽车与步行速度比为55∶

！

aaaaa3．能否把1，1，2，2，3，3，?，50，50这100个数排成一行，使得两个1之间夹着这100个数中的一个数，两个2之间夹着这100个数中的两个数，??两个50之间夹着这100个数中的50个数？并证明你的结论． 不可能． 反证法，假设存在某种排列，满足条件．我们把这100个数从左向右按1，2，3，?，99，100编号，则任何两个相等的偶数之间要插入偶数个数，则这两个偶数的序号的奇偶性是不同的；而任何两个相等的奇数之间要插入奇数个数，则这两个奇数的序号的奇偶性相同．由此，这100个数中有25对偶数（每对是两个相等的偶数），它们占去25个奇序号和25个偶序号；另外25对相等的奇数，它们中奇序号的个数一定是偶数．而在100个数中奇序号和偶序号各有50个，所以这25对相等的奇数中，奇序号个数只能是25个（因为25对偶数已占去了奇序号）．25是奇数，由于奇数≠偶数，所以无法实现．

Aaaa4．两辆汽车运送每包价值相同的货物通过收税处．押送人没有带足够的税款，就用部分货物充当税款．第一辆车载货120包，交出了10包货物另加240元作为税金；第二辆车载货40包，交给收税处5包货，收到退还款80元，这样也正好付清税金．问每包货物销售价是多少元？ （106元） （元）．

列方程先求出96，再算后面的。 或者120 10 240 ① 40 5 －80 ② ②乘3比较得每包作价96元。 2．今有1000千克苹果，刚入库时测得含水量为96％；一个月后，测得含水量为95％，则这批苹果的总重量损失了______． （200千克）

苹果含水96％．所以苹果肉重1000×（1-96％）=40千克，一个月后，测得含水量为95％，即肉重占1-95％=5％，所以苹果重为40÷（1-95％）

aaa4．任意调换五位数54321的各个数位上的数字位置，所得的五位数中的质数共有______

解：因为5+4+3+2+1=15，是3的倍数．所以任意调换54321各位数字所得的五位数均能被3整除，为合数，因此共有0个质数．

6．如图，每个小方格的面积是1cm2，那么△ABC的面积是______cm2． （8.5）

2.5-6=8.5（cm2）

aaaa9．一房间中有红、黄、蓝三种灯，当房间中所有灯都关闭时，拉一次开关，红灯亮；第二次拉开关，红黄灯都亮；第三次拉开关，红黄蓝三灯都亮；第四次拉开关，三灯全关闭，现在从1～100编号的同学走过该房间，并将开关拉若干次，他们拉开关的方式为：编号为奇数者，他拉的次数就是他的号数；编号为偶数者，其编号可以写成2r·p

！

（其中p为正奇数，r为正整数），就拉p次，当100人都走过房间后，房间中灯的情况为______．

奇数和为1+3+5+?+99=2500，编号为2P者有2×1，2×3，2×5，?，2×49，他们拉开关次数为1+3+5+?+49=625；编号为22p者有22×1，22×3，22×5，?，22×25，拉开关次数为1+3+5+??+25=169；同理可得编号23·p者拉36次；24·p者9次，25·p与26·p分别有25·1，25·3，26拉开关次数1+3+1=5次．总计2500+625+169+36+9+5=3344=4×836．所以最后三灯全关闭． Aaaa1．如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分．△AOB的面积是2平方千米，△COD的面积是3平方千米，公园陆地面积为6.92平方千米，那么人工湖的面积是______平方千米．

由△BOC与△DOC等高h1，△BOA与△DOA等高h2，利用面积公式：

3．已知一个数是1个2，2个3，3个5，2个7的连乘积，试求这个数的最大的两位数因数．

解：由已知数=2×3×3×5×5×5×7×7．所以它的两位数的因数有很多个．因此我们可从两位数中最大数找起．99=9×11=3×3×11，而11不是原数因数，所以99不符合；98=2×49=2×7×7，因为2、7都是原数的因数，所以98符合要求．

6．掷两粒骰子，出现点数和为7、为8的可能性大的是______． （7的可能性大）

出现和等于7的情况有6种：1与6，2与5．3与4，4与3，5与2，6与1；出现和为8的情况5种：2和6，3与5，4与4，5与3，6与2．

7．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋______个． （15） 8．一组自行车运动员在一条不宽的道路上作赛前训练，他们以每小时35千米的速度向前行驶．突然运动员甲离开小组，以每小时45千米的速度向前行驶10千米，然后转回来，以同样的速度行驶，重新和小组汇合，运动员甲从离开小组到重新和小组汇合这段时间是______．

9．一对成熟的兔子每月繁殖一对小兔子，而每对小兔子一个月后就变成一对成熟的兔子．那么，从一对刚出生的兔子开始，一年后可变成______对兔子． 正确？（233）

从第二个月起，每个月兔子的对数都等于相邻的前两个月的兔子对数的和．即 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，?所以，从一对新生兔开始，一年后就变成了233对兔子．

10．有一个10级的楼梯，某人每次能登上1级或2级，现在他要从地面登上第10

！

级，有______种不同的方式． ？（89种）

用递推法．他要到第10级只能从第9级或第8级直接登上。于是先求出登到第9级或第8级各有多少种方式，再把这两个数相加就行．以下，依次类推，故有34+55=89（种）．

共有多少个？ 解：（3535个）

n的值只能在0，1，2，3，4，5这六个数中选取（n不能等于6，

3．某商店同时出售两件商品，售价都是600元，一件是正品，可赚20％；另一件是处理品，要赔20％，以这两件商品而言，是赚，还是赔？ 解：正品赚了600÷（1+20％）×20％=100（元） 处理品赔了600÷（1-20％）×20％=150（元） 总计：150-100=50（元），即赔了． 4．有一路电车起点站和终点站分别是甲站和乙站．每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站．他出发时，恰有一辆电车到达乙站．在路上遇到了10辆迎面开来的电车．当到达甲站时，恰又有一辆电车从甲站开出，问他从乙站到甲站用了多少分钟？

解：骑车人一共看见12辆电车．因每隔5分钟有一辆电车开出，而全程需15分，所以骑车人从乙站出发时，他将要看到的第4辆车正从甲站开出．到达甲站时，第12辆车正从甲站开出．所以，骑车人从乙站到甲站所用时间就是从第4辆电车从甲开出到第12辆电车由甲开出之间的时间．即（12-4）×5=40（分）．

6．在1至301的所有奇数中，数字3共出现_______次． 解：①\在个位时，必定是奇数且每十个数中出现一个．1×〔（301-1）÷10〕=30（个）； ②\在十位上时，个位数只能是1，3，5，7，9，这个数是奇数．每100个数共有五个．5×［（301-1）÷100］=15（个）；

③\在百位上，只有300与301两个数，其中301是奇数． 因此，在1～301所有奇数中，数字\出现30+15+1=46（次）．

8．铁路与公路平行．公路上有一个人在行走，速度是每小时4千米，一列火车追上并超过这个人用了6秒．公路上还有一辆汽车与火车同向行驶，速度是每小时67千米，火车追上并超过这辆汽车用了48秒，则火车速度为______，长度为______．

解：把火车与人的速度差分成8段，火车与汽车速度差也就是1段．可得每段表示的是（67-4）÷（8-1）=9（千米/时）．火车的速度是67+9=76（千米/时），9×1000÷3600=2.5（米/秒），2.5×48=120（米）．

5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时，每人可挣3元钱。到11月11日，他们一共挣了1764元。这个小组计划到12月9日这天挣足3000元，捐给\希望工程\。因此小组必须在几天后增加一个人。问：增加的这个人应该从11月几日起每天到餐馆打工，

！

才能到12月9日恰好挣足3000元钱？ 解：（1）还缺多少钱？ 3000-1764=1236（元） （2）28天中，（原来小组中）每人可挣多少元钱？ 3×28=84（元）

（3）增加的一人应挣多少元？

1236÷84=14（人）??60（元）

（4）要挣60元，增加的那一人要打工多少天？ 60÷3=20（天）

6.有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员跑得稍快些。如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑，那么每隔25秒钟相遇一次。现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上了女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？（圈数取整数）

解；由于25秒内男女运动员一共跑完1圈，所以13分钟内他们一共跑了 1×（13×60÷25）=31.2（圈）

又由题意可知，13分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。这就得到一个\和差问题\。由此容易求出女运动员已经跑了 （31.2-1）÷2=15.1（圈） ≈15（圈）

答：追上时女运动员已经跑了15圈。

4．有一列数2，9，8，2，6，?从第3个数起，每个数都是前面两个数乘积的个位数字．例如第四个数就是第二、第三两数乘积9×8=72的个位数字2．问这一列数第1997个数是几？ （6）

这列数为2，9，8，2，6，2，2，4，8，2，6，2，2，4，8，2?除去前两个数2，9外，后面8，2，6，2，2，4六数一个循环． （1997-2）÷6=332余3．

3．一张试卷共有15道题，答对一道题得6分，答错一道题扣4分，小明答完了全部的题目却得了0分，那么他一共答对了___6___道题． （90－0）除以10＝9道（错）

4．一行苹果树有16棵，相邻两棵间的距离都是3米，在第一棵树旁有一口水井，小明用1只水桶给苹果树浇水，每棵浇半桶水，浇完最后一棵时，小明共走了__339____米．

3米＋ 12米＋ 24＋36＋48-----＋84

浇到第2棵 4棵 6 8 10 16

8．小朋从1997年的日历中抽出14张，是从5月14日到5月27日连续14天的．这14天的日期数相加是287．小红也抽出连续的14天的日历14张，这14天的日期数虽然与小明的不相同，但相加后恰好也是287．小红抽出的14张是从______月______日到______

！

月______日的．

2月16日，3月1日

14＋15+16＋?＋27=287，如果再找出14个连续的自然数之和为287是不可能的．需要调整，找出另外14个数的和为287，试验：

（1）如果前面去掉14日，后面增加28日，显然和大于287；

（2）如果前面去掉三天或三天以上，无论后面如何排，其和都不是287． 所以小红抽出的14张是从2月16日到3月1日．

10．某工厂的记时钟走慢了，使得标准时间每70分钟分针与时针重合一次．李师傅按照这慢钟工作8小时，工厂规定超时工资要比原工资多3．5倍，李师傅原工资每小时3元，这天工厂应付给李师傅超时工资______元． 走时正常的钟时针与分针重合一次需要

慢钟走8小时，实际上是走

所以应付超时工资

aaaa3．国际象棋比赛的奖金总数为10000元，发给前五名．每一名次的奖金都不一样，名次在前的钱数是比名次在后的钱数多，每份奖金钱数都是100元的整数倍．现在规定，第一名的钱数是第二、三名两人之和，第二名的钱数是第四、五名两人之和，那么第三名最多能得多少元？ 1700 为叙述方便，将100元作为计算单位，10000元就是100．

根据题目条件可知五个人的奖金实际上是3个第二名与2个第三名的奖金之和．

取偶数，因此第三名至多是 （100-22×3）÷2=17

aaaa4．在一条公路上，甲、乙两地相距600米，小明和小强进行竞走训练，小明每小时行走4千米，小强每小时行走5千米．9点整，他们二人同时从甲、乙两地出发相向而行，1分后二人都调头反向而行，又过3分，二人又都调头相向而行，依次按照1、3、5、7、?（连续奇数）分钟数调头行走，那么二人相遇时是几点几分？

9点24分．

如果不掉头行走，二人相遇时间为 600÷[（4+5）×1000÷60]=4（分）

两人相向行走1分后，掉头背向行走3分，相当于从出发地点背向行走（3-1=）2分；

两人又掉头行走5分，相当于从出发地点相向行走（5-2=）3分； 两人又掉头行走7分，相当于从出发地点背向行走（7-3=）4分；

两人又掉头行走9分，相当于从出发地点相向行走（9-4=）5分．但在行走4分时二人就已经相遇了． 因此共用时间

1＋3＋5＋7＋8=24（分）

！

相遇时间是9点24分．

6．体操选手的选拔赛上，每名裁判员给选手的最高分不超过10分．某位选手的得分情况如下：全体裁判员给的分数的平均分是9.72分，如果去掉一个最低分，则其余裁判员给的分数的平均数是9.76分，如果去掉一个最高分，则其余裁判给的分数的平均数是9.68分．那么所有裁判员给的分数中最低分至少是______分，共有______名裁判员． 最低分至少9.44分，有8名裁判员.

设有x名裁判员，最高分是a，最低分是b，则 9.72x=9.76（x-1）+b 9.72x=9.68（x-1）+a 即b=9.76-0.04x a=0.04x+9. 68

所以a+b=9.76+9.68=19.44

由于a≤10，则b≥9.44，故最低分至少是9.44分. 由9.44=9.76-0.04x x=8

aaaaa2．有甲、乙、丙三个人同时同向从同地出发，沿着周长为900米的环行跑道跑步，甲每分钟360米，乙每分钟300米，丙每分钟210米，问他们至少各绕了多少圈后才能再次相遇？

甲、乙、丙分别跑了12、10、7圈. 设x分钟三人相遇，相遇时，甲与乙与丙间的路程差应是900的倍数，即 （360-300）x=900m（m是自然数） （300-210）x=900n（n是自然数） （360-210）x=900p（p是自然数）

得x=15m，x=10n，x=6p.可知x是15、10、6的最小公倍数，有x=30，所以30分后甲、乙、丙三个人相遇，此时甲、乙、丙分别跑的圈数是： 360×30÷900=12（圈） 300×30÷900=10（圈） 210×30÷900=7（圈）

10．在一次国际象棋的比赛中，每两个人都要赛一场，胜者得2分，平局两人各得1分，负者得0分．现有五位同学统计了全部选手的总分，分别是551，552，553，554，555，但只有一个统计是正确的，则共有______选手参赛．

因为每场比赛不论胜、负还是平局，两人得分之和是2分，所以无论有多少名选手，选手的总分应是偶数，即只有552、554中的一个是正确的.

设有n名选手参赛，则共比赛n（n-1）÷2场，选手总分：2×n（n-1）÷2=n（n-1）（分），即要求选手的总分能写成两个连续自然数之积.

由于552=2×2×2×3×23=24×23，而554=2×277.所以共有24名选手参赛.

10．某小学五年级进行速算比赛，共出了100道题，甲每分做4道题，乙每算出

！

20道题比甲算出同样多的题少用1.5分，则乙做完100道题时，甲还有______道题没做． 甲每分做4道题，做1道题用的时间： 1÷4=0.25（分）

甲算20道题用的时间： 0.25×20=5（分）

乙算20道题用的时间： 乙做完100道题的时间： 3.5×100÷20=17.5（分） 乙做完100道题时，甲做了： 17.5÷0.25=70（道）

甲还有100-70=30道题没做.

（和差倍问题）2、甲、乙两筐共装鸡蛋370个，从甲筐拿出12个鸡蛋放入乙筐后，甲筐仍比乙筐多6个鸡蛋，甲、乙两框原来各装多少鸡蛋? 解：和差问题：甲比乙多12×2+6=30(个) 甲：（370+30）÷2=200(个)， 乙筐装鸡蛋170个。

4、有四个数，其中每三个数的和分别是45，46，49，52，那么这四个数中最小的一个数是多少？

解：把4个数全加起来，实际上是每个数都加了3遍。大家一定要记住这种思想！（45+46+49+52）÷3=64就是这四个数的和，题目要求最小的数，就用64减去52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于12.

5、动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒，那么平均分给三群猴子，每只可得多少粒？

解：用假定特殊值法：找到1个数，它是12、15和20的倍数。可以找到最小的是60，假设共有60粒花生，第一群猴子有5个，第二群有4个，第三群猴子有3个，一共有5+4+3=12只猴子，60÷12=5，所以每个猴子分5粒.

6、有货物108件，分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半，比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件？

解：如果我们把第一堆看成1份，那么可以算出第二堆就是4份，第三堆和第四堆分别是2份多2件，2份少2件，那么一共就刚好是1+4+2+2=9份（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件），那么1份就是108÷9=12件，第二堆就是12×4=48件，第三堆就是12×2+2=26件，第四堆就是12×2-2=22件.

2.四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。小王自编一个\密码本\，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用\代表汉字\车\。问：小王的\密码本\上最多能表示多少个不同的汉字？ 1000个

5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有

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多少种不同的评选结果？ 6×5 即p6，2（排列）

9．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？ 4×4×3×2×1=96（种）

10．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个 ①三位数？①8×8×8=512（个） ②三位偶数？②4×8×8=256（个）

③没有重复数字的三位偶数？③4×7×6=168（个）

④百位为8的没有重复数字的三位数？④1×7×6=42（个） ⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？⑤1×3×6=18（个）．

11．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？ 9×10×10×10×10×10=900000（部）

加法原理

4.在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？ 45个。90个数一偶一奇

5.用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？

连续四位都是2的只有1种，恰有连续三位是2的有4种，恰有连续两位是2的有16种。 7．如下图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？

3×3+2×4=17（种）

8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？

6+7+15+21+6×7=91（种）

6．5件不同的商品陈列在橱窗内，排成一排。

（1）如果某件商品不放在中间，有几种不同排法？（先考虑这个特殊的，这个特殊的只能放在4个位置） 4*4*3*2=96

（2）如果某件商品不能放在两端，有几种不同排法？（先考虑这个特殊的，这个特殊的只能放在3个位置） 3*4*3*2=72

7．有四封不同的信，随意投入三个信筒里，有多少种不同投法？ 解析：4封信分4步，每一封3种投法。 81种

8．下图中共有4×4＝16个小方格，要把A，B，C，D四个不同的棋子放在方格里，每行和每列只能出现一个棋子，共有多少种放法？ 解析：16×9×4×1＝576（种）

11.在圆周上有12个点.

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①过每两个点可以画一条直线，一共可以画出多少条直线？66 ②过每三个点可以画一个三角形，一共可以画出多少个三角形？ 解析：220，就是12个中选3个的组合（只有1个点不同即可）

1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？

解析： 若投一封信看作一个步骤，则完成投信的任务可分三步，每封信4个邮筒都可投，即每个步骤都有4种方法.故由乘法原理：共有不同的投法4×4×4=64种.

3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？

现有4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，则站在两端的都是女同学.将位置从右到左编号，第1、3、5、7号位是女同学，第2、4、6号位是男同学.于是完成适合题意的排列可分两步：

第一步：从6名女同学中任选4名排在第1、3、5、7号位.有P46种排法. 第二步：从5名男同学中任选3名排在第2、4、6号位，有P53种排法. 因此，由乘法原理排出不同队形数为 P46·P35=6×5×4×3×5×4×3=21600.

5.有两个小盒子，第一个盒子中有标有数字1，2，3，?，10的十张卡片，第二个盒子中有标有11，12，13，?，20的十张卡片.若从两个盒子中各拿出一张卡片相加，一共可列出多少种不同的加法式子？ 解析： 200种

第一个盒子中的每一张卡片都可以与第二个盒子中的十张卡片组成 20种加法式子（包括被加数与加数交换位置，例如将 1＋11与11＋1看成为两个加法式子），而第一个盒子中共有十张卡片，则由乘法原理，共10×20＝200种不同的加法式子。

6.小文和小静两位同学帮花店扎花，要从三只篮子中各取一只花扎在一起，已知每只篮子里都有3种不同的花，问她们可以扎成多少种不同式样的花束？ 解析： 27种

每束花共有3只，分别取自不同的篮子，每只篮子中都有三种不同的花，即从每只篮子中取出的花都有3种可能，由乘法原理，可以扎成 3 × 3 × 3＝ 27种不同的花束。

7.某学校组织学生开展登山活动.在山的北坡有两条路直通山项；在山的南坡也有两条路，一条直通山顶，另一条通向山腰小亭，从小亭有两条路通向山顶；山的西坡有两条路通向山间寺庙，由寺庙有两条路通向山顶.要登上山顶共有多少种不同的道路？ 9种

在山北坡有2条路，山南坡共有1＋1×2＝3条路；在山西坡共有2×2＝4条路；由加法原理，登上山顶共有2＋3＋4＝9条不同的道路。

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