十年高考分类解析与应试策略数学

解题网http://www.jietiwang.cn

十年高考分类解析与应试策略数学

第五章 平面向量与直线、平面、简单几何体（B）

●考点阐释

1.向量是数学中的重要概念，并和数一样，也能运算.它是一种工具，用向量的有关知识能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题.

向量法和坐标法是研究和解决向量问题的两种方法. 坐标表示，使平面中的向量与它的坐标建立了一一对应关系，用“数”的运算处理“形”的问题，在解析几何中有广泛的应用.向量法便于研究空间中涉及直线和平面的各种问题.

2.平移变换的价值在于可利用平移变换，使相应的函数解析式得到简化. ●试题类编 一、选择题 1.（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（ ） ．．．

A.（a+b）+c=a+（b+c） B.（a+b）·c=a·c+b·c C.m（a+b）=ma+mb D.（a·b）c=a（b·c）

2.（2002天津文12，理10）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足OC??OA??OB，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ） A.3x+2y－11=0 B.（x－1）2+（y－2）2=5 C.2x－y=0 D.x+2y－5=0 3.（2001江西、山西、天津文）若向量a=（3，2），b=（0，－1），则向量2b－a的坐标是（ ）

A.（3，－4） B.（－3，4） C.（3，4） D.（－3，－4）

4.（2001江西、山西、天津）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA?OB等于（ ）

A.

3 4 B.－

3 4 C.3 D.－3

5.（2001上海）如图5—1，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B=a，A1D1=b，A1A=c.则下列向量中与B1M相等的向量是（ ）

A.－

11a+b+c 22

B.

11a+b+c 2211a－b+c 22图5—1 C.

11a－b+c 22 D.－

17

解题网http://www.jietiwang.cn

6.（2001江西、山西、天津理，5）若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2），则c等于（ ）

A.－

13a+b 22 B.

31a－b 2231a+b 22C.

31a－b

22 D.－

7.(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直

④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①② B.②③ C.③④ D.②④

8.（1997全国，5）如果直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率为（ ）

A.－

1 3 B.－3 C.

1 3 D.3

二、填空题

9.（2002上海文，理2）已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则（2a－b）·a=_____.

10.（2001上海春，8）若非零向量α、β满足|α+β|=|α－β|，则α与β所成角的大小为_____.

11.（2000上海，1）已知向量OA=（－1，2），OB=（3，m），若OA⊥AB，则m= . 12.（1999上海理，8）若将向量a=（2，1）围绕原点按逆时针方向旋转

?4得到向量b，

则向量b的坐标为_____.

13.（1997上海，14）设a=（m+1）i－3j，b=i+（m－1）j，（a+b）⊥（a－b），则m=_____. 14.（1996上海，15）已知a+b=2i－8j，a－b=－8i+16j，那么a·b=_____.

15.（1996上海，15）已知O（0，0）和A（6，3）两点，若点P在直线OA上，且又P是线段OB的中点，则点B的坐标是_____. 三、解答题

16.（2003上海春，19）已知三棱柱ABC—A1B1C1，在某个空间直角坐标系中，AB?{OP1?，PA2m30，n}.（其,?,0},AC?{m,0,0},AA1={0，

22中m、n>0）.如图5—2.

（1）证明：三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱；

（2）若m=

2n，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小.

图5—2 17

解题网http://www.jietiwang.cn

17.（2002上海春，19）如图5—3，三棱柱OAB—O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=

3.求：

（1）二面角O1—AB—O的大小；

（2）异面直线A1B与AO1所成角的大小. （上述结果用反三角函数值表示）

18.（2002上海，17）如图5—4，在直三棱柱ABO—A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

图5—3 图5—4 图5—5

19.（2002天津文9，理18）如图5—5，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为

2a.

（1）建立适当的坐标系，并写出点A、B、A1、C1的坐标； （2）求AC1与侧面ABB1A1所成的角.

20.（2002天津文22，理21）已知两点M（－1，0），N（1，0），且点P使MP?MN,

PM?PN,NM?NP成公差小于零的等差数列.

（1）点P的轨迹是什么曲线？

（2）若点P坐标为（x0，y0），θ为PM与PN的夹角，求tanθ.

21.（2001江西、山西、天津理）如图5—6，以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h.

（1）求cos；

（2）记面BCV为α，面DCV为β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED.

图5—6 图5—7 图5—8

22.（2001上海春）在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AE⊥A1B，AF⊥A1D.

（1）求证：A1C⊥平面AEF；

17

解题网http://www.jietiwang.cn

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）

23.（2001上海）在棱长为a的正方体OABC—O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.如图5—8.

（1）求证：A′F⊥C′E.

（2）当三棱锥B′—BEF的体积取得最大值时，求二面角B′—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）

24.（2000上海春，21）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB ={2，－1，－4}，AD={4，2，0}，AP={－1，2，－1}.

（1）求证：PA⊥底面ABCD； （2）求四棱锥P—ABCD的体积；

（3）对于向量a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，c={x3，y3，z3}，定义一种运算： （a×b）·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，试计算（AB×AD）·AP的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算（AB×·AP的绝对值的几何意义. AD）

25.（2000上海，18）如图5—9所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为arccos的体积.

10，求四面体ABCD10

图5—9 图5—10 图5—11

26.（2000天津、江西、山西）如图5—10所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.

（1）求BN的长；

（2）求cos的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

27.（2000全国理，18）如图5—11，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.

17

解题网http://www.jietiwang.cn

（1）证明：C1C⊥BD； （2）假定CD=2，CC1=角的余弦值；

（3）当

3，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α—BD—β的平面2CD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明. CC128.（1999上海，20）如图5—12，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角.

（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD； （2）求异面直线AE与CD所成角的大小.

29.（1995上海，21）如图5—13在空间直角坐标系中BC=2，原点

图5—12 O是BC的中点，点A的坐标是（且∠BDC=90°，∠DCB=30°.

（1）求向量OD的坐标；

图5—13 （2）设向量AD和BC的夹角为θ，求cosθ的值.

●答案解析 1.答案：D

解析：因为（a·b）c=|a|·|b|·cosθ·c而a（b·c）=|b|·|c|·cosα·a而c方向与a方向不一定同向.

评述：向量的积运算不满足结合律. 2.答案：D

解析：设OC=（x，y），OA=（3，1），OB=（－1，3），αβ

， OA=（3α，α）

31，点D在平面yOz上，,，0）

22OB=（－β，3β）

OA+βOB=（3α－β，α+3β）

?x?3???

?y???3?又α

∴（x，y）=（3α－β，α+3β），∴?又α+β=1 因此可得x+2y=5

评述：本题主要考查向量法和坐标法的相互关系及转换方法. 3.答案：D

解析：设（x，y）=2b－a=2（0，－1）－（3，2）=（－3，－4）. 评述：考查向量的坐标表示法. 4.答案：B

17

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uiyd.html