专题：利用平行线构造相似形证线段比

专题：利用平行线构造相似形证线段比

方法指导：添加平行线是常用的辅助线，可以构造“A”型图或“X”型图.

例：如图所示，平行四边形ABCD的对角线交于点O，OE交BC于E，交AB的延长线于

F.若AB=a,BC=b,BF=c. 求：BE的长.

解：过点B作BP∥AC交OF于点P. 在△FOA中 ∵ BP∥AC

∴△BEF∽△AFO，∠COE=∠BPE

BPBFc

??.....(1) ∴ AOAFa?c又∠OEC=∠BPE（对顶角相等） ∴△OCE∽△PEB

BPBEBE

??......(2) ∴ OCECb?BE在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O 有OC=OA（3） 由（1）（2）（3）得

BP BP BFBEcBE? 即??? AOOCAFECa?cb?BEbc解得： BE?a?2c

1. 如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线. 证明：AB:AC=BD:CD.

（分析：要证明线段成比例，必须出现相似三角形，而图中的

三角形却没有相似的，因此要添加辅助线构造相似三角 形.可以过点D或C作AB的平行线；也可过点D或B 作AC的平行线.）

2. 如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1，AD与CE相交于F.

EFAF求： ? 的值.

FCFD

3. (1) 如图，在△ABC（AC>AB）的边AB、AC上分别取点E、D，使BE=CD，连接ED并延长交BC的延长线于点F.

求证：AB:AC=FD:EF .

(2) 若BE在AB的延长线上，同样有BE=CD，，连接ED交BC于点F，如下图.那么（1）题中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

直角三角形中的相似问题

方法指导：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 射影定理：

CD2=AD·BD， AC2=AD·AB， BC2=BD·BA

（它们在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

例. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥AC，垂足为E.

CA2AE求证： ? .

2BCCE

证明：在Rt△ABC中，CD⊥AB 由射影定理可知：CA2=AD·AB，BC2=BD·AB CA2AD? 则有 BC2BD ∵DE⊥AC，BC⊥AC

∴DE∥BC（垂直于同一直线的两直线互相平行）

ADBD∴ ? AECE

ADAE?∴ BDBD

CA2AE即 ?2BCCE

1. 如图，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠ACB=90°，在EC的延长线上任取一点

P,连结AP，过点B作BG⊥AP于D. 求证：CE2=ED·EP .

2. 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥CD，过点A作AE⊥BC，

垂足为E，交BD于点F. （1） 求证：AB2=BF·BD；

（2） 若AB=AD，BE=1，AE=2，求线段EF的长.

3. 如图，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足为H，P点是AD上的一个动点（P与A、D不重

60合），CP与BD交于E点.已知CH= ，DH:CD=5:13，设AP=x，四边形ABEP的面积

13为y.

（1）求BD的长；

（2）用含x的代数式表示y.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uiy5.html