高三5月回归课本知识点总结

高三5月回归课本知识点总结

集合

1集合中元素的特征：确定性，互异性,无序性。

集合元素的互异性：如：A?{x,xy,lg(xy)}，B{0,|x|,y}，求A； 2、区分集合中元素的形式：

?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，

如:设集合M?{x|y?x?3}，集合N＝y|y?x?1,x?M，则M?N?___； 3、条件为A?B，在讨论的时候不要遗忘了A??的情况

空集是指不含任何元素的集合。（{0}、?和{?}的区别；0与三者间的关系） 如：A?{x|ax?2x?1?0}，如果A?R??，求a的取值。（答：a≤0）

2??2?A?B?{x|x?A且x?B};A?B?{x|x?A或x?B} CA={x|x∈U但x?A};A?B?x?A则x?B;真子集怎定义？

4、

U

含n个元素的集合的子集个数为2,真子集个数为2－1;如满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M

n

n

有______个。 （答：7）

5、CU(A∩B)=CUA∪CUB; CU(A∪B)=CUA∩CUB;

6、A∩B=A?A∪B=B?A?B?CUB?CUA?A∩CUB=??CUA∪B=U 7、补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如已知函数f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使

223f(c)?0，求实数p的取值范围。 （答：(?3,)）

2函数

0?1，，a?1，loga1?0，logaa?1，lg2?lg5?1，manlogex?lnx，ab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N。 1log81如()2的值为________(答：)

2648、指数式、对数式：amn?a，anm?mn9、一次函数:y=ax+b(a≠0) b=0时奇函数; 10、二次函数

2

①三种形式: 一般式f(x)=ax+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);

2

顶点式f(x)=a(x-h)+k;

零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;

②区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系; 二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)在闭区间?p,q?上的最值只能在x??2b处及区间的两端2a点处取得

③实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号; 依据：若f(m)f(n?)，0则方程f(x)?0在区间(m,n)内至少有一个实根 .设

f(x)?x2?px?q，则

?p2?4q?0?（1）方程f(x)?0在区间(m,??)内有根的条件为f(m)?0或?p；

???m?2?f(m)?0?f(n)?0??（2）方程f(x)?0在区间(m,n)内有根的条件为f(m)f(n)?0或?p2?4q?0或

??m??p?n??2?f(m)?0?f(n)?0或?； ??af(n)?0?af(m)?0?p2?4q?0?（3）方程f(x)?0在区间(??,n)内有根的条件为f(m)?0或?p

???m?211、单调性定义法;

(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么

(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；

x1?x2f(x1)?f(x2)(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是减函数.

x1?x2注意：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?

如已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m的取值范围。（答：?12?m?） 23复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式. 如函数

2y?logx?的单调递增区间是________(答：（1,2）)。 1??x?2212、奇偶性：f(x)是偶函数?f(-x)=f(x);f(x)是奇函数?f(-x)=-f(x)。 13．函数的对称性。

a?b对称。如已知二次函数2f(x)?ax2?bx(a?0)满足条件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，则f(x)＝

12_____(答：?x?x)；

2②点(x,y)关于y轴的对称点为(?x,y)；函数y?f?x?关于y轴的对称曲线方程为y?f??x?；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,?y)；函数y?f?x?关于x轴的对称曲线方程为y??f?x?；

④点(x,y)关于原点的对称点为(?x,?y)；函数y?f?x?关于原点的对称曲线方程为y??f??x?；

①满足条件f?x?a??f?b?x?的函数的图象关于直线x?14.求解抽象函数问题的常用方法是

①正比例函数型：f(x)?kx(k?0) ---------------f(x?y)?f(x)?f(y)； ②函数型：f(x)?x --------------f(xy)?f(x)f(y)，f()?2xyf(x)； f(y)③指数函数型：f(x)?a ----------f(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?xf(x)； f(y)④对数函数型：f(x)?logax ---f(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)； ⑤三角函数型：f(x)?tanx ----- f(x?y)?15、题型方法总结

Ⅰ判定相同函数:定义域相同且对应法则相同 Ⅱ求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种： 一般式：f(x)?ax?bx?c； 顶点式：f(x)?a(x?m)?n； 零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)）。

如已知f(x)为二次函数，且 f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为

22xyf(x)?f(y)。

1?f(x)f(y)12x?2x?1） 2（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。

22,求f(x)的解析式 。（答：f(x)?如

2已知f(1?cosx)?sinx,求fx若f(x?)?x???的解析式（答：f(x)??x224?2x2,x?[?2,2]）；

1122，则函数f(x?1)=_____（答：x?2x?3）； 2xx若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)?x(1?3x)，那么当x?(??,0)时，f(x)=________（答：x(1?3x)）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。

2（a）已知f(x)?2f(?x)?3x?2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；

3x1（b）已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)= ,则f(x)= （答：2）。

x?1x?1Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂

的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域； Ⅳ求值域:

①配方法：如：求函数y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域（答：[4,8]）；

23xxx②逆求法（反求法）：如：y?通过反解，用y来表示3，再由3的取值范围，通过解x1?3不等式，得出y的取值范围（答：（0,1））；

172y?2x?1?x?1③换元法：如（1）y?2sinx?3cosx?1的值域为_____（答：；（2）[?4,]）

8的值域为_____（答：?3,???）（令x?1?t，t?0。运用换元法时，要特别要注意新元t的

范围）；

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

如：y?2sin??13的值域（答：(??,]）；

1?cos?2⑤不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函数的最值。如设x,a1,a2,y成等差

(a1?a2)2数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是____________.（答：

b1b2(??,0]?[4,??)）。

1⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求y?x?(1?x?9)，

x98011x?2y?2?log5?x，的值域为______（答：、y?sin2x?(0,)[,9]、??321?sinx92?0,???）；

⑦判别式法：

x?11?的值域（答：?,?）； ?1?x2?22?x?21（2）求函数y?的值域（答：[0,]）

x?32x2?x?1如求y?的值域（答：(??,?3]?[1,??)）

x?1（1）求y?Ⅴ：解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.

Ⅵ：恒成立问题:分离参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立?a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立?a≤[f(x)]min;

Ⅶ：任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝g(x)＋h(x)

其中g（x）＝f（x）＋f（－x）是偶函数，h（x）＝f（x）－f（－x）是奇函数

22Ⅷ：利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。 （1）若x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知f(x)是定义在(?3,3)上的奇函数，当0?x?3时，f(x)的图像如右图所示，那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________（答：(?,?1)?(0,1)?(,3)）；

22x??（4）设f(x)的定义域为R，对任意x,y?R，都有f()?f(x)?f(y)，且x?1时，

y1f(x)?0，又f()?1，①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：

2?0,1???4,5?）．

数列、

16、

等差数列中an=a1+(n-1)d（叠加法）Sn=na1?n(a1?an)n(n?1)d=（倒序相加法） 22??a1(1?qn)a1?anqn-1

等比数列中an= a1 q;（叠乘法）当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=1?q=1?q（错位相减法）

17.常用性质、结论：

（1）等差数列中, an=am+ (n－m)d, d?m?n;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；

n-m

等比数列中，an=amq; 当m+n=p+q ,则_________

①在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）； ②各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2???log3a10? （答：10）。

（2）.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、?am?an?1??、{anbn}、?bn??an?a??等比;{an}等差,则?c?(c>0)成等比.{bn}(bn>0)等比,则{logcbn}(c>0且c?1)等差。 ?bn?（3）在等差数列?an?中：

n①若项数为2n，则 S偶?S奇?nd ②若数为2n?1则，S奇?S偶?an?1 在等比数列?an?中： ① 若项数为2n，则

S偶S奇??an?1 anS奇S偶n?1， S2n?1?an?1?(2n?1) nS奇?a1S偶S偶S奇?q②若数为2n?1则，?q

（4）. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等差数列。

等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、??仍为等比数列。

34.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

33

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q,a/q,aq,aq (为什么？)

如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16） 35、等差、等比数列的判定：

｛an｝等差?an?an?1?d(常数)?2an?an?1?an?1(n?2,n?N*中项) （1）

?an?an?b(一次)?sn?An2?Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B??

?an2?an-1?an?1(n?2,n?N)a｛an}等比???n?q(定); （2）

an?1an?0??an?a1?qn?1?sn?m?m?qn;m??

如若{an}是等比数列，且Sn?3n?r，则r＝ （答：－1）

36、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式

?an?0?an?0(或?),或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由 ??an?1?0?an?1?0此你能求一般数列中的最大或最小项吗？

如（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是 （答：4006）

37.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.

nn

分组法求数列的和：如an=2n+3 、错位相减法求和：如an=(2n-1)2、裂项法求和：如求和：

2n111）、倒序相加法求和： 1?????? （答：

1?21?2?31?2?3???nn?1x22；②已知f(x)?如①求证： C?3C?5C???(2n?1)C?(n?1)?，则21?x1117f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()＝___（答：）

23420n1n2nnnn38.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：

??0?2

①an+1-an=????0 如an= -2n+29n-3

??0???1an?19n(n?1)?????1 (an>0) 如an= ② nan10??1? ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=

n

n2?156 (n?1)?S1 an??(n?2)?Sn?Sn?1 ，可利用公式:

39、求通项常法: （1）已知数列的前n项和sn,求通项an如：数列{an}满足

11114,n?1） a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?12,n?2222?（2）先猜后证

（3）递推式为an＋1＝an＋f(n) (采用累加法)；an＋1＝an×f(n) (采用累积法)； 如已知数列{an}满足a1?1，an?an?1?1n?1?nn(n?2)，则an=________（答：

an?n?1?2?1）

（4）构造法形如an?kan?1?b、an?kan?1?b（k,b为常数）的递推数列如①已知

a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?3n?1?1）；

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下3个公式的合理运用 an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+??＋（a2－a1）＋a1 ； an＝（6）倒数法形如an?anan－1a2??a1 an－1an－2a1an?1的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知

kan?1?ban?11a1?1,an?，求an（答：）；②已知数列满足a1=1，an?1?an?anan?1，an?3an?1?13n?21求an（答：an?2）

n(7)、常见和：1?2?3???n?1n(n?1)，12?22???n2?1n(n?1)(2n?1)，

2613?23?33???n3?[n(n?1)2] 2四、三角

40、终边相同(β=2kπ+α);

? 弧长公式：l?|?|R，扇形面积公式：S?1lR?1|?|R2，1弧度(1rad)?57.3. 如：已知

22扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm） 41、函数y=Asin(??x??)?b（??0,A?0）①五点法作图;

2??②振幅?相位?初相?周期T=,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.

2?② y取最值.

③ 如（1）函数y?sin?2?5???2x?的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数?2?（3）f(x)?ax?bsin3x?1(a,b为常数），且f(5)?7，则f(?5)?______（答：－5）；

函数y?2cosx(sixn?cosx)的图象的对称中心和对称轴分别是__________、

k??k??____________（答：(?,1)(k?Z)、x??(k?Z)）；（4）已知

2828f(x)?sin(x??)?3cos(x??)为偶函数，求?的值。（答：??k???6(k?Z)）

④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

y?sinx??????y?sin(x??)横坐标伸缩到原来的1倍左或右平移|?|???????????左或右平移||横坐标伸缩到原来的1倍y?sin(?x??)

???y?sin(?x??)y?sinx?????????y?sin?x????? A倍|b|?纵坐标伸缩到原来的????????y?Asin(?x??)?上或下平移?????y?Asin(?x??)?b

42、正弦定理:2R=

abc==; 内切圆半径r=2S?ABC余弦定理：sinAsinBsinCa?b?c222111b?c?a222S?absinC?bcsinA?casinB cosA?a=b+c-2bccosA,;

2222bc术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转

至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0°≤α＜360° 43、同角基本关系：如：已知

tan?sin??3cos?＝____； ??1，则

tan??1sin??cos?513sin2??sin?cos??2＝_________（答：?；）；

35244、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视) ．．．．．．．．．．．．．．?．为锐角．．．．

1?cos2?45、重要公式： sin??21?cos2?；cos??22．；

??2???1?cos?sin?1?cos?tan????;1?sin??(cos?sin)?cos?sin

222221?cos?1?cos?sin?如：函数f(x)?5sinxcosx?53cosx?253(x?R)的单调递增区间为___________（答：25?](k?Z)）

1212巧变角：如??(???)???(???)??，2??(???)?(???)，

???????，2??(???)?(???)，????2????????等），

22222?1?3如：（1）已知tan(???)?，tan(??)?，那么tan(??)的值是_____（答：）；

5444223（2）已知?,?为锐角，则y与x的函数关系为______sin??x,cos??y，cos(???)??，

5343（答：y??1?x2?x(?x?1)）

555b2246、辅助角公式中辅助角的确定：asinx?bcosx?a?bsin?x???(其中tan??)

a3如：（1）当函数y?2cosx?3sinx取得最大值时，tanx的值是______(答：?)；（2）如

2果f?x??sin?x????2cos(x??)是奇函数，则tan?= (答：－2)； [k??,k???????平面向量

47、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a的相反向量是－a。)、共线向量、相等向量

注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）

48、加、减法的平行四边形与三角形法则:AB?BC?AC;AB?AC?CB 49、a?b?a?b?a?b,）

?????????????????????????b如：在?ABCD中，AB?a,AD?b,AN?3NC，M为BC的中点，则MN?_______。（用a、表示）

????????????????????????1?解：由AN?3NC得4AN?3AC=3(a?b)，AM?a?b，所以

2?????3???1?1?1?MN?(a?b)?(a?b)??a?b。

424450、（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则：

????①a?b?a?b?0；

???2???2??2②当a，b同向时，a?b＝ab，特别地，a?a?a?a,a?a；当a与b反向

???? b不同 时，a?b＝－ab；当?为锐角时，a?b＞0，且a、???? b不反向，向，a?b?0是?为锐角的必要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、????????b?(3?,2)，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；③|a?b|?|a||b|。如（1）已知a?(?,2?)，

??41如果a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是______（答：???或??0且??）；

3351、向量b在a方向上的投影︱b︱cos?＝a?ba

52、 e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a??1e1??2e2(?1,?2唯一)

????????特别：. OP＝?1OA??2OB则?1??2?1是三点P、A、B共线的充要条件如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(?1,3),若点C满足OC??????????1OA??2OB,其中

???????1,?2?R且?1??2?1,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

????????????????153、在?ABC中，①PG?(PA?PB?PC)?G为?ABC的重心，特别地3?????????????????????????????????????垂心；

PA?PB?PC?0?P为?ABC的重心；②PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为?ABC的

????????ACAB??????)(??0)所在直线过?ABC的内心(是?BAC的角平分线所在直③向量?(???|AB||AC|?????????????????????????④|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P?ABC的内心；

线)；

1xAyB?xByA⑤S⊿AOB＝2;

????????????????????如：（1）若O是?ABC所在平面内一点，且满足OB?OC?OB?OC?2OA，则?ABC的形状为____（答：直角三角形）；（2）若D为?ABC的边BC的中点，?ABC所在平面内

?????????????????|AP|???，则?的值为___（答：2）；（3）若点O是有一点P，满足PA?BP?CP?0，设???|PD|??????????????△ABC的外心，且OA?OB?CO?0，则△ABC的内角C为____（答：120）；

OP＝OP1??OP2;若λ＝1 则OP＝

1??54、 P分P2,?＞0内分;?＜0且?≠-1外分. 1P=?PP1P2的比为?,则P1(OP+OP2);设P(x,y),P1(x1,y1), 12

x1?x2?x1??x2?x1?x2?x3?x?,x?,?x?,???2?1???3?P2(x2,y2)则?;中点重心?y?yy??yy1?y2?y3 122???y?1y?.y?..???32??1???六、不等式

58、注意课本上的几个性质，另外需要特别注意： ①若ab>0，则

11?。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果ab对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。如：已知?1?x?y?1，1?x?y?3，则3x?y的取值范围是______（答：1?3x?y?7）； 59、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量与“0”比，与“1”比或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设a?0且a?1,t?0，比较

1t?11t?1的大小（答：当a?1时，logat?loga（t?1时取等号）；当0?a?1logat和loga22221t?11?a2?4a?2时，logat?loga（t?1时取等号））；（2）设a?2，p?a?，q?2，

22a?2试比较p,q的大小（答：p?q）

22a?b60、常用不等式：若a,b?0，（1）?a?b?ab?2（当且仅当a?b时取221?1ab222等号） ；（2）a、b、c?R，a?b?c?ab?bc?ca（当且仅当a?b?c时，取等号）；

bb?m（3）若a?b?0,m?0，则?（糖水的浓度问题）。

aa?m如：如果正数a、b满足ab?a?b?3，则ab的取值范围是_________（答：?9,???）

基本变形：①a?b? ；(a?b2)? ； 2注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数y?4x?91(x?)的最小值 。（答：8）

2?4x2②若若x?2y?1，则2x?4y的最小值是______（答：22）；

11③正数x,y满足x?2y?1，则?的最小值为______（答：3?22）；

xy61、a?b?a?b?a?b(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a

62、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分配方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a?1?a；n(n?1)?n ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：log3?lg5?(2lg3?lg52)?lg15?lg16?lg4；2n(n?1)?n?(n?1) 21?1；

⑷利用常用结论： Ⅰ、k?1?k?k?1?k2k11111111Ⅱ、2?（程度大） ?? ； 2???k(k?1)k?1kk(k?1)kk?1kk111111Ⅲ、2?2??(?) ； （程度小）

kk?1(k?1)(k?1)2k?1k?1（5）换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知x?y?a，可设x?acos?,y?asin?；

已知x?y?1，可设x?rcos?,y?rsin?(0?r?1)；

22222x2y2已知2?2?1，可设x?acos?,y?bsin?；

ab（6）最值法,如：a>fmax(x),则a>f(x)恒成立.

63、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方

④公式法：|f(x)|>g(x)? ;|f(x)|

64、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回

如（1）解不等式(x?3)(x?1)(x?2)?0。（答：{x|x?1或x??3或x??2}）；（2）解

32

ax21不等式?x(a?R)（答：a?0时，{x|x?0}；a?0时，{x|x?或x?0}；a?0时，

ax?1a1{x|?x?0}或x?0}）

a七、立几

65. 位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面: a∥α、a∩α=A (a?α) 、a?α③平面与平面:α∥β、α∩β=a

a//b??????//????66. 常用定理:①线面平行b????a//?;??a//?;a????a//?

a???a???a??????//???a??a//b????②线线平行:a????a//b;??a//b;????a??a//b;??c//b b??a//c??????b?????b???a//?a??,b???a????//???③面面平行:a?b?O???//?;;??//?????//?

a???//???a//?,b//???④线线垂直:a?????a?b;所成角b???90

0

PO???；a???(三垂线);逆定理? ??a?PAa?AO?????a??,b????a//b??//???⑤线面垂直:a?b?O??l??;????l?;;?a????b????a???a???a???a??,a?l?l?a,l?b???

⑥面面垂直：二面角90;

0

a???a//??;??????????

a???a???67. （要求不高）异直线所成角?的求法：（1）范围：??(0,?2法、向量法。如（1）正四棱锥P?ABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直

3线BE与PA所成的角的余弦值等于____（答：）；（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1

3??]；（2）求法：平移以及补形

的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90°）；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离 （向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin

6）；4（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的中点，则棱 A1B1 与截面A1ECF所成的角

1）；③二面角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面3积射影法： S射＝S原?cos?、转化为法向量的夹角。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角

的余弦值是______（答：

B-A1C-A的大小为________（答：60）；（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°，则二面角C1—BD1—B1的大小为______（答：arcsin?6）；（3）3从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C的余弦值是______（答：

1）； 371. 平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;

72. 从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A

到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；

73. 常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开 为平面图③割

补法④等体积转化⑤线线平行?线面平行?面面

平行⑥线线垂直?线面垂直?面面垂直⑦有中点等特殊点线,用“中位线、重心”转化. 74.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面内射影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cosβ=cosθcosα;

特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：

线∥线???线∥面???面∥面

判定性质????线⊥线???线⊥面???面⊥面????

线∥线???线⊥面???面∥面

八、解几

75.倾斜角α∈[0,π],α=90斜率不存在;斜率 k=tanα=76.直线方程:点斜式 y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b; 一般式:Ax+By+C=0 两点式:

y?y1x?x1xy;截距式:??1(a≠0;b≠0);求直线方?y2?y1x2?x1ab0

y2?y1 x2?x1K O 。

π α

程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,直线Ax+By+C=0的方向向量为a=(A,-B)

77.两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2?k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2?k1k2=-1

②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0； ③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2?④l1∥l2则化为同x、y系数后距离d=78.点线距d=|Ax0?By0?C|;

A2?B2A1B1C1; ??A2B2C2|C1?C2|A?B22

79.

（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.

22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).

22222（3）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(直径端点A(x1,y1)、B(x2,y2)). 80.若(x0-a)+(y0-b)r),则 P(x0,y0)在圆(x-a)+(y-b)=r内(上、外)

81.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄ>r?相离;d=r?相切;d

82.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则

d>r+R?两圆相离;d＝r+R?两圆相外切;|R－r|

2222

83.把两圆x+y+D1x+E1y+C1=0与x+y+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为: f1(x,y)+λf2(x,y)=0

84.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心) 85.椭圆方程

222x2y2cb2(a>b>0) |PF,a=b+c④长轴长为2a，短??11|+|PF2|=2a>2c③e=?1?aa2b2a22

2

2

2

2

2

2

2

轴长为2b⑤焦半径左PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦AB?2a?e(xA?xB),右焦点弦

2a22b2、通径(最短焦点弦),焦准距p=b⑦S?PF1F2=b2tan?,当PAB?2a?e(xA?xB)⑥准线x=?ca2c为短轴端点时∠PF1F2最大,近地a-c远地a+c; 86.双曲线①方程

2x2y2|PF|(a,b>0)②定义:=e>1;||PF1|-|PF2||=2a<2c③??1d相应a2b22

2

e=c?1?b2,c=a+b④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、焦点弦用第

2

aa二定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离⑥准线x=?短焦点弦)

a2、通径(最c2b?x2y22b2,焦准距p=b⑦S?PF1F2=b2cot⑧渐进线2?2?0或y??x;焦点到渐进线距

a2acab离为b;

2

87.抛物线①方程y=2px②定义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点

2ppp2

F(,0),准线x=-,④焦半径AF?xA?;焦点弦AB＝x1+x2+p;y1y2=－p,x1x2=p其中2224A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通径2p,焦准距p;

2222222

90.过圆x+y=r上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r;过圆x+y=r外点P(x0,y0)作切线后切点弦方

2

程:x0x+y0y=r;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂直ｘ轴.

91.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.

92.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的讨论;注意对参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式

AB?1?k2?x2?x1?(1?k2)1?1?2?y2?y1?|ax|k?x(1??y1)②涉及弦中 k2|ay|x2y2点与斜率问题常用“点差法”.如: 曲线2?2?1(a,b>0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),

ab22

则KABKOM=?b2;对抛物线y=2px(p≠0)有KAB＝2p

y1?y2a93.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式、化简、定范围)、定义法、几何法、代入法(动点P(x,y)

依赖于动点Q(x1,y1)而变化,Q(x1,y1)在已知曲线上,用x、y表示x1、y1,再将x1、y1代入已知曲线即得所求方程)、参数法、交轨法等.

94.解题注意:①考虑圆锥曲线焦点位置,抛物线还应注意开口方向,以避免错误②求圆锥曲线方程常用待定系数法、定义法、轨迹法③焦点、准线有关问题常用圆锥曲线定义来简化运算或证明过程④运用假设技巧以简化计算.如:中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆(双曲线)方程可设为Ax+Bx＝1;共渐进线y??bx的双曲线标准方程可设为x22

2

2aa?y2??(?为参数,?b2≠0);抛

2y0物线y=2px上点可设为(,y0);直线的另一种假设为x=my+a;⑤解焦点三角形常用正余弦

2p2

定理及圆锥曲线定义. 95．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线

x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为

A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

Bx?Ay???0,λ是参变量．

96. 圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0

?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的

方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是

22x2?y2?Dx?Ey?F??(Ax?By?C)?0,λ是待定的系数．

(3) 过圆C1:x2?y2?D1x?E1y?F1?0与圆C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0的交点的圆

系方程是x?y?D1x?E1y?F1??(x?y?D2x?E2y?F2)?0,λ是待定的系数． 97.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种 若d?2222222(a?x0)2?(b?y0)2，则

d?r?点P在圆外;d?r?点P在圆上;d?r?点P在圆内.

98.直线与圆的位置关系

直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种:

222d?r?相离???0; d?r?相切???0; d?r?相交???0.

Aa?Bb?C其中d?.

22A?B99.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d

d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线;

0?d?r1?r2?内含?无公切线.

100.圆的切线方程

(1)已知圆x?y?Dx?Ey?F?0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

22 x0x?y0y?D(x0?x)E(y0?y)??F?0. 22D(x0?x)E(y0?y)当(x0,y0)圆外时, x0x?y0y???F?0表示过两个切点的切

22点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x?y?r．

①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0x?y0y?r; ②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k. 22222x2y2102.椭圆2?2?1(a?b?0)焦半径公式

ab103．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的内部?abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)的外部?ab104. 椭圆的切线方程

22x0y0??1. a2b222x0y0?2?1. 2abxxyyx2y2(1)椭圆2?2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.

ababx2y2 （2）过椭圆2?2?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y?2?1. a2bx2y222222 （3）椭圆2?2?1(a?b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是Aa?Bb?c.

ab105.双曲线的内外部

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的内部?abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线2?2?1(a?0,b?0)的外部?ab106.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y0??1. a2b222x0y0??1. a2b2x2y2x2y2b(1）若双曲线方程为2?2?1?渐近线方程：2?2?0?y??x.

ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为y??x???0?双曲线可设为2?2??.

ababax2y2x2y2 (3)若双曲线与2?2?1有公共渐近线，可设为2?2??（??0，焦点在x轴上，

abab??0，焦点在y轴上）.

107. 双曲线的切线方程(仅供参考)

xxyyx2y2 (1)双曲线2?2?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02?02?1.

ababx2y2 （2）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y?2?1. 2abx2y2 （3）双曲线2?2?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是

abA2a2?B2b2?c2.

2108. 抛物线y?2px的焦半径公式

p2抛物线y?2px(p?0)焦半径CF?x0?.

2pp过焦点弦长CD?x1??x2??x1?x2?p.

222y22109.抛物线y?2px上的动点可设为P(?,y?)或P(2pt,2pt)或 P(x?,y?)，其中

2py?2?2px?. b24ac?b2110.二次函数y?ax?bx?c?a(x?)?(a?0)的图象是抛物线：（1）顶点坐标

2a4ab4ac?b2b4ac?b2?1为(?,)；（2）焦点的坐标为(?,)；（3）准线方程是

2a4a2a4a4ac?b2?1y?.

4a2111.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y?2px(p?0)的内部?y?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y?2px(p?0)的外部?y?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y??2px(p?0)的内部?y??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y??2px(p?0)的外部?y??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的内部?x?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的外部?x?2py(p?0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x?2py(p?0)的内部?x?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x??2py(p?0)的外部?x??2py(p?0). 112. 抛物线的切线方程（不要求掌握）

(1)抛物线y?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).

（2）过抛物线y?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0). （3）抛物线y?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB?2AC. 114.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

22222222222222222222AB?(x1?x2)2?(y1?y2)2或

（

弦

端

点

AB?(1?k2)(x2?x1)2?|x1?x2|1?tan2??|y1?y2|1?cot2?A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程??y?kx?b2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线AB?F(x,y)?0的倾斜角，k为直线的斜率）. 九、排列、组合、二项式定理

115、计数原理：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次

得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合．如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投

法共有 种（答：35）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合?1,2,3?和?1,4,5,6?中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是___（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）?A的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同?A的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_____个三角形（答：90）； 116、排列数公式:Anm=n(n-1)(n-2)?(n-m＋1)=

m117、组合数公式：Cnm?An?n!(n?m)!(m≤n,m、n∈N),

*

mm?1mmm?10!=1; An n=n!; n.n!=(n+1)!-n!;An?nAn?1;An?1?An?mAnm!n!n?(n?1)???(n?m?1)=

m!(n?m)!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1（m≤n）,

nm?1Cn?1; m118、主要解题方法：①优先法：特殊元素优先或特殊位置优先。如：某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_____种（答：300）；.②捆绑法如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生 要排在一起，不同的排法种数为_____（答：2880）；（2）某人射击８枪

，命中４枪，４枪命中中恰好有３枪连在一起的情况的不同种数为_____（答：20）；③插空法如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_______种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_____（答：42）。 ④间接扣除法如在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以确定三角形的个数为_____（答：15）。

⑤隔板法如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）

⑥先选后排,先分再排(注意等分分组问题) 如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_____（答：576）。

0n1n?12n?22rn?rrnn119、二项式定理(a?b)n?Cna?Cnab?Cnab???Cnab???Cnb

1mCn0?1;Cnm?Cnn?m;Cnr?Cnr?1?Cnr?1;Crr?Crr?1?????Crn?Crn??1;Cn?特别地：(1+x)=1+Cnx+Cnx+?+Cnx+?+Cnx

rn－rr

120、二项展开式通项: Tr+1= Cnab ;作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。要注意区别二项式系数与项的系数；

mn－m

94、二项式系数性质:①对称性: 与首末两端等距的二项式系数相等.Cn=Cn ②中间项二项式系数最大:n为偶数,中间一项;若n为奇数,中间两项(哪项?)

12n0213③二项式系数和Cn0?Cn?Cn?????Cn?2n;Cn?Cn?????Cn?Cn?????2n?1; 121、f(x)=(ax+b)展开各项系数和为f(1);奇次项系数和为1[f(1)?f(?1)];偶次项系数和为

n

n122rrnn

2n1[f(1)?f(?1)];(ax?by)展开各项系数和,令x?y?1可得. 2122、二项式定理应用：近似计算、整除问题、结合放缩法证明与指数有关的不等式、用赋值法求展开式的某些项的系数的和。

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