机械原理孙恒补充题解

机械原理孙恒-陈作模 题解分析

目 录

第二章 机 构 的 结 构 分 析

第三章 平 面 机 构 的 运 动 分 析

第六章 机 械 的 平 衡

第七章 机械的运转及其速度波动的调节

第八章 平 面 连 杆 机 构 及 其 设 计

第九章

凸 轮 机 构 及 其 设 计

第第十十章章 齿齿 轮轮 机机 构构 及及 其其 设设 计计

第十一章 齿 轮 系 及 其 设 计

第二章 机 构 的 结 构 分 析

正确计算运动副的数目时要着重考虑以下几种情况:

1) 复合铰链问题。杆状构件构成的复合铰链比较明显，而由齿轮、凸轮及机架等构件构成的

复合铰链则容易被忽略。

2) 若两构件在多处构成导路平行的移动副，则只能算一个移动副，若两构件在多处构成法线

方向重合的高副，则只能算一个高副。

3) 若两齿轮的中心距受到约束而不变时，两齿轮的轮齿齿廓之间存在间隙，只能有一侧参加

接触，故只能算一个高副；若两齿轮在重力或其它外力作用下，中心距可变，两齿轮的轮齿齿廓之间相互靠紧，则轮齿的二侧都参加接触，且两接触点的公法线方向并不重合，故应算两个高副。

2-8

2-9

高副低代前： n=7,Pl=9,Ph=2 ；部分高副低代后： n=8,Pl=11,Ph=1 2-11

n=5,Pl=7

2-13 试计算下列（a）（b）二题的自由度

分析 图（a）中A、B处为复合铰链，大齿轮4与齿条3及大齿轮4与齿轮5的中心距受几何约束保持不变，D处只能算一个高副；图（b）中齿轮4，3及齿条6是靠力的作用保持接触，那么轮齿的两侧面就都保持接触，故齿轮4，3及齿条6的接触均为两个高副。

解： 图（a）中活动构件数n=5,Pl=6,Ph=2, 没有虚约束和局部自由度。故该机构的自

由度为：F=33n-(2Pl + Ph )=335-(236+2)=1

图（b）中活动构件数n=5,Pl=5,Ph=4, 没有虚约束和局部自由度。故该机构的自由度为：F=33n-(2Pl + Ph )=335-(235+4)=1

评注：对图（a）所示机构自由度计算，只要注意A、B处的复合铰链，一般不会出错。但对于图（b）所示机构，同学往往会把齿轮的接触按一个高副来算。这里要注意二个机构中齿轮啮合的区别。

试计算下列（a）（b）（c）三题的自由度

(a) n=4,Pl=5,Ph=1 ; (b) n=5,Pl=6,Ph=2 ; (c) n=11,Pl=16,或 n=5,Pl=7,

2-14 刹车前n=6,Pl=8；刹车后,n=4,Pl=8

2-20 n=7,Pl=10；基本杆组为(a)Ⅱ级组;当选EG为原动件时的基本杆组为(b) Ⅲ级组.

2-21(a)为高副低代后的图；(aa) 为Ⅱ级组； (b) 为高副低代后的图及Ⅲ级组分析

第三章 平面机构的运动分析

3-1、试求出下列图示机构中的全部速度瞬心。

3-4、在图中所示的四杆机构中，lAB=65mm， lDC=90mm， lAD= lBC=125mm，

ω=10 rad / s， 试用瞬心法求：

1） 当 ?=15°时，点C的速度VC ；

2） 当 ?=15°时，构件BC上（即BC线上或其延长线）速度最小的一点E的位置

及其速度的大小。

3） 当VC=0时，?角之值（有二个解） 4）

l=65/17=3.824 mm/mm，求出速度瞬心

解：由所给条件定μ

1）

p24，如下图

VB=ω3LAB =650 mm/s

ω2=VB/(P12P243μl)=650/(66*3.824)=2.575 rad/s

VC=ω2*P23P24*μl=2.575*43*3.824=423.48 mm/s

2）

构件BC上速度最小的一点E速度为VE，其位置在P24到BC的 垂直线上的垂足。

VE=ω23P24E3μl=2.575*38*3.824=374.19 mm/s

3） 当ABC三点处在两个共线（一个重叠，一个延长）位置时，

P24处在C点位置，这时的?角之值就是所求。26.38，及226.6

3-8、在图示各机构中，设已知各构件的尺寸，原动件1以等角速度ω1顺时针方向转动，试以图解法求机构在图示位置时构件3上C点的速度及加速度（比例尺任选）

o

o

。

解：a)速度求解： C点速度为VC3=VB, ω3=0 加速度求解：

aC3 = aC2 + aC3C2r + aC3C2k = aB + aC3Bn + aC3Bt 方向 ？ =0 ∥BC =0 Y =0 ⊥BC 大小 ? ? Y ? 见下图,作πb代表aB,很显然, -aB = aC3Bt . aC3=0

b) 速度求解：V C2 = VB + V C2B = V C3 + VC2C3

方向 ? y ⊥BC ⊥CD ⊥BC 大小 ? y ? ? ?

由于右边等号中只有V C3是不⊥BC的,所以有V C3=0, ω3=ω2=0 加速度求解：

aC2 = aB + aC2Bn + aC2Bt = aC3n + aC3t + aC2C3r + aC2C3k 方向 ？ Y =0 ⊥BC =0 ∥BC ⊥BC =0 大小 ? Y ? ? ?

由图知,πb代表aB,而与aB同方向的只有aC3t,显然aC2Bt = aC2C3r,故aC3= aC3t=aB. c) 速度求解：V B3 = VB2 + VB3B2

方向 ⊥BD ⊥AB ∥BC

大小 ? y ?

由图, 作pb代表VB2,由于V B3与VB2同方向,故得VB3=VB2, 而VB3B2 =0, 所以VC3=VB3/BC*CD

加速度求解：由于VB3B2 =0, 所以aB3B2k =2ωVB3B2=0

aB3n + aB3t = aB2 + aB3B2r + aB3B2k 方向 B→D ⊥BD Y ∥BC =0 大小 Y ? Y ?

由图知,πb2代表aB,πb3代表aB3n, 作b2b3’方向线代表B3B2r,与aB3t的方向线 交于b3’, πb3’代表aB3,由πb3’c相似与构件BCD可得aC3

3-10、在图示的曲柄滑块机构中，已知lAB=30mm，lAC=100mm，lBD=50mm， lDE=40mm，

?1?450，等角速度ω１＝10 rad/s。求： E、D两点的速度和加速度；构件3的角速度

和角加速度。 解： 如图

解：由给定数据定 μl = 100310-3 / 60=0.00167 m/mm 1) 速度分析 由速度瞬心法可找瞬心P24 VD = VB ＋ VDB 大小 ？ LBA3ω1 ？ 方向 ⊥P24D ⊥AB ⊥BD μv= VB/20=0.03*10/20=0.015 m/s/mm VD = pd *μv=15 *0.015=0.225 m/s

用速度影像法可得：VE＝pe*μv=11.5*0.015=0.1725 m/s/mm ω3=ω2 =VD /P24D=0.225 /68 /0.00167 = 1.9853≈2 rad/s VB3 =ω3*LBC=0.246 m/s

2)加速度分析 用相对运动图解法，(扩大构件3)求aE，aD，ε

12

3 ；

aB=LAB*ω

=3 m/s2 ，取πb' ＝50 mm ，

则加速度 比例尺：μa =aB/πb'＝0.06 m/s2 /mm

aC2 = aB + aC2Bn + aC2Bt = aC3 + aC2C3k + aC2C3r 方向 B→A C2→B ⊥BC ⊥BC ∥BC 大小 πb' b'c2'' c2''c2' 0 πk' k'c2' aC2Bn = LCB*ω

22

=0.4908 ms-2

aC2C3k =2*ω3*VC2C3=2*ω3*VB2B3=2*2*0.18= 0.708ms-2 作加速度多边形图(c)，用影像法作△b'c2'e'∽△BCE,且字母顺序

相同， 得e'点，画e'd'⊥b'c2' 得d'点。

aE实=πe'*μa = 47*0.06=2.82 ms-2 aD实=πd'*μa=44*0.06=2.64ms-2 ε

3=ε

2 = aC2B

t

/ LBC =C2''C2' *μa /73.5/0.00167=

=17*0.06 /73.5/0.00167=8.3 rad/s2 方向顺时针

3-12、在图(a)所示的凸轮机构中，R=50mm，lAO=20mm，lAC=80mm，?1?900，凸轮匀角速度转动，ω1 =10rad/s，求从动件2的角速度及角加速度。

解 本题有两种解法。

（一）原机构用高副低代法得瞬时代替机构，如(b)图所示。 （1）取μ1=0.002m/mm，画机构简图(b)。

（2）求ω2 及vB4B2

vO4?vO1?lAO??1?0.02?10?0.2m/s vB4?vO4?vB4O4?vB2?vB4B2 ∴ vB2

?vC4?（vB4O4? vB4B2）⊥BC ⊥AO ⊥BO ⊥BO

（pb2） （po4）（o4b4）（b2b4）

-1

取μv=0.01ms/mm，画速度多边形，如(d)图所示。

vB2（pb2）??v15.6?0.01?4??2????2.36rad/s

lBC（BC）??l33?0.002逆时针转向。

∴vB4O4?lBC??4?0.05?2.36?0.118m/s错误！未指定书签。 vB4= vO4?vB4O4

⊥AO ⊥BO （pb4）（po4） （o4b4）由速度多边形［（d）图］得

vB4B2?（b2b4）??v?24.5?0.01?0.245m/s。 (3)求ε2 。

aO4?aO1?lAO??1?0.02?10?2m/s

tnt222

rk aB4?aO4?aB4O4?aB4O4?aB2?aB2?aB4B2?aB4B2 O→A B→O ⊥BO B→C ⊥BC ∥BC B→O ∴ aB2tnkntr?aO4?（aB?a）?（?a?a?a） OBBBBOB44422444B2 ⊥BC O→A B→O B→O B→C ⊥BO ∥BC

?) (o4?k') (k'b2??) （?b\) (?o4

式中：aB4O4?lBO??4?0.05?(2.36)?0.278m/s

aB4B2?2?2vB4B2?2?2.36?0.245?1.156m/s 取?a?0.05ms/mm 画速度多边形，如（e）图所示。

?2n222k2taB（?b\)??a7?0.05??5.3rad/s2 顺时针转向。 ∴?2?2?lBClBC0.066(二) 原机构用高副低代法得瞬时代替机构，如（c）图所示。

（1） 取?l?0.002m/mm，画机构简图（c）. （2） 求ω2及vO1O2

vO1?lAO??1?0.02?10?0.2m/s

vO1?vO2?vO1O2

⊥OA ⊥OC ∥OB

（po1） （po2）（o2o1）

取?v?0.01m/s?1/mm，画速度多边形，如（f）图所示。 ?4??2?vO2lOC?19.8?0.01?2.41rad/s，逆时针转向。

41?0.002 vO1O2?(o2o1)??v?24.5?0.01?0.245m/s。 (3)求ε2

aO1?lOA??1?0.02?10?2m/s

222anO2?2vO2lOC(19.8?0.01)2??0.178m/s241?0.002

k2aO?2?v?2?2.41?0.245?1.181m/sO2OO1212 aO1?naO2?taO2?kaO1O2?r aO1O2 O→A O→C ⊥OC ∥OB ⊥OB

?）（?o1 ??）（o2??o2?）（?o2?2?k')（o2?k') (o1取?a?0.05ms/mm，画加速度多边形，如(g)图所示。 ∴?2?taO2lOC???o2?)??a9?0.05(o2??5.49rad/s2

41?0.0020.082顺时针转向。

由于第（二）法的代替机构比第（一）法简单，故解法也比较简便；因此，对高副机构进行运动分析时选择合适的代替机构十分重要。

3-14、图（a）所示为一齿轮连杆机构，A点速度vA=122m/s，方向如图所示；构件4与构

件5为一对圆柱齿轮，其节圆直径d4=204mm，d5=102mm，x－x为固定齿条（即机架）；构件2、3和6的长度分别为lO2A=50.8mm，lAB=204mm，lO6C=152mm。试求：（1）两齿轮角速度ω4和ω5，两齿轮的速度影像；（2）齿轮5上D点速度vD。

解 （1）选取长度比例尺μl=0.007m∕mm，画机构图，如（a）图所示。 （2）求vB和vC 。

两齿轮中心距BC为定长，可认为存在联接两齿轮中心的假想杆件BC。利用高副低代法得本机构的瞬时代替机构，即五杆机构。

齿轮4与齿条1啮合，齿轮节圆在齿条节线上作纯滚动，所以，vP4P2=0。

vP4?vP1?0。 vB?vA?vBA

⊥BP ⊥O2A ⊥AB (pb) (pa) (ab) 选取速度比例尺?v?vA122??8.13ms?1/mm，画速度多边形，如（b）图所示。∴pa15vB?(pb)??v?13?8.13=105.7m/s，方向如（b）图中p→b。

vBA?(ba)??v?14?8.13=113.8m/s

vC?vB?vCB

⊥CO6 ⊥BP ⊥CB （pc） （pb） （bc）

∴vC?(pc)??v4.5?8.13=36.6m/s，方向如（b）图中p→b。

vCB?(bc)??v?13?8.13=105.7m/s

（3）求两齿轮的速度影像。

（a） 因vP4=0，故P4点在速度影像中对应点为p；以b为圆心、pb为半径所作之小圆即为齿轮4的

速度影像。

（b）画△pbm4∽△P4BM4，得齿轮4上M4点在速度影像中对应点 m4。由于M4点与M5点为瞬时重合点，且vM4?vM5，故对齿轮5来说，C点和M5的速度均为已知，（c）图中cm5即为齿轮5上半径CM5的速度影像。

因此，以c为圆心，cm5为半径所画之大圆，即为齿轮5的速度影像。因D点是 M5C的延长线与圆周之交点，故其速度影像为m5c延长线与大圆交点d。

?4?vB105.7??1036rad/s，顺时针转向。 lBP0.102vCM5(cm5)??v24?8.13=3826rad/s，逆时针转向。 ??lCM5lCM50.051 ?5? vD?(pd)??v?26?8.13=211.38m/s，方向p→b。

3-21及3-23二题同学可参照下列自做。

3-21、 连杆的角位移、角速度、角加速度

为求θ1和θ2的函数关系，将机构的封闭向量图OABCO向Y轴投影，这样可避开运动参

数XC而写为： e+r*sinθ1-L*sinθ2=0

即 sinθ2=（e+r*sinθ1）/L (11)

将（11）式对时间求导一次，两次，得连杆的角速度及角加速度的公式为： ω2=ω1（r*cosθ1）/（L*cosθ2） （12） ε2=ω12{(ω2/ω1)2sinθ2-(r/L）sinθ1}/COSθ2 2、滑块的位移、速度、加速度 先将连杆2拆离，可写出曲柄上B点及滑块上C点的坐标为 XB=r*cosθ1,YB=e+r*sinθ1,XC=XC,YC=0 (13) （XB－XC）2＋（YB－YC）2=L2 (14) 将（13）代入（14）

XC2-2*r*COSθ1*XC+(r2+e2-L2+2e*r*SINθ1)=0 (15) 并化简得滑块位移方程：

XC=r*cosθ1+(L2-e2-r2*sin2θ1-2*e*rsinθ1)1/2=0 (16)

3-23、 下图为有偏距e的导杆机构，ω1等速，要推导出导杆3的角位移、角速度、角加

速度以及滑块2对导杆3的相对位移、相对速度、相对加速度的公式？ 1、导杆的角位移、角速度、角加速度 为了直接求出导杆转角θ3和主动件转角θ1的函数关系，将机构的封闭向量图DABCD向DC方向投影，这样可避开运动参数L3而得：

L4COS[180 -θ3]+L1COS[θ1+(90-θ3)] -e=0

即 －L4COSθ3 +L1SIN[θ3－θ1]-e=0 (1)

经整理，可将（1）式写成求导杆转角θ3的三角方程式如下： （L1COSθ1）SINθ3-(L4+L1SINθ1)COSθ3=e (2)

因而有：tg(θ3/2)={L1COSθ1±（L12+L42-e2+2L4L1SINθ1）1/2}/÷[e-(L4+L1SINθ1)] 式中的正负号应按运动的连续性选取。

将式（1）对时间求导一次，两次，得导杆的角速度及角加速度的公式为： ω3=ω1L1COS[θ3－θ1]÷{L4sinθ3+L1COS[θ3－θ1]} ε3= ω12{L1(ω3/ω1-1)2sin[θ3－θ1]-

L4(ω3/ω1)2COSθ3 }÷{ L4SINθ3+L1COS[θ3－θ1]}

Oo

2、滑块的相对位移、相对速度、相对加速度 滑块2在导杆3上滑动的相对位移，可用重合点B3对C点的可变长度L3来度量，将导杆3拆离，可避开θ3，这样滑块上B点对D点的距离可表示为（L32＋e2）1/2 。

因为：XB＝L1COSθ1，YB＝L4＋L1SINθ1 故可建立下列关系：XB2+YB2=L32＋e2

由此得滑块相对位移的方程式为： L32＝L12＋L42－e2＋2L1L4SINθ1 （1）

2221/2

或 L3＝（L1＋L4－e＋2L1L4SINθ1） 将此式对时间求导一次，两次，可得滑块的相对速度、相对加速度公式为：VBB3r=L1L4COSθ1ω1/L3

aBB3r=-L1L4ω12{L32SINθ1+ L1L4COS2θ1}/L33

第八章 机 械 的 平 衡

6-6 在图示的回转体中，已知各偏心重量G1=100N，G2=150N， G3=200N，G4=400N，它们的重心至回转轴的距离分别为r1=400mm，r2 = r4=300mm，r3=200mm。

又知各偏心重量所在的平面距离为l12 = l23 = l34 = 200mm，各偏心重量间的方位夹角α

000

12=120，α23=60，α34=90。如果加在平衡平面T'及T\中的平衡重Gb'及Gb\的重心至

回转轴的距离为rb'?rb\=500mm。试求Gb'和Gb\的大小及方位。

解：(1)把各个重径积分解到平衡面T’和T’’上

a) 对平衡面T’取力矩，求各个重径积在平衡面T '中的分量： G1’r1’ = G1r1= 100*40 = 4000 n.cm

G2’r2’=G2r2(L23+L34)/(L12+L23+L34)=

=150*30*(20+20)/(20+20+20)=3000 N.cm

G3’r3’=G3r3L34/(L12+L23+L34)=200*20/(20+20+20)=1333.33 N.cm G4’r4’ = 0

b)对平衡面T’’取力矩，求各个重径积在平衡面T’’中的分量：

G1’’r1’’= 0

G2’’r2’’=G2r2L12/(L12+L23+L34)=150*30*20/(20+20+20)=1500 N.cm G3’’r3’’=G3r3(L12+L23)/(L12+L23+L34)=

=200*20*(20+20)/(20+20+20)=2666.66 N.cm G4’’r4’’ =G4r4=100*30=3000 N.m

或者利用二个平衡面中的二个相应分量之和等于原来的重径积

这一关系，来求第二个平衡面中的分量，则会更简洁些，即： G1''r1''=G1r1-G1'r1'=4000-4000=0

G2''r2''=G2r2-G2'r2'=4500-3000=1500 N.cm G3''r3''=G3r3-G3'r3'=4000-1333.33=2666.66 N.cm G4''r4''=G4r4-G4'r4'=3000-0=3000 N.cm 。 (2)求平衡面T'中的平衡重量G'b

在平衡面T'中，各个重径积分量连同平衡重径积G'br'b的相邻 和应为零，即：

∑Gi’ri’=G1'r1'+G2'r2'+ G3'r3'+Gb'rb'=0 取比例尺μ

w= 100 N.cm/mm，则： w =4000/100 = 40 mm w =3000 /100 = 30 mm w =1333.33/100=13.3333 mm

W’1=G’1r’1/μ W’2=G’2r’2/μ W’3=G’3r’3/μ

作向量关系式 W’1+W’2+W’3+W’b=0 的向量多边形如图(b) 所 示，图中虚线所示的封闭边ad，即为 Gb’rb’=adμ

w=100*28.5=2850 N.cm

；

由于已经指定rb'=500 mm，因此所需的平衡重量

G'b=2850/50 =57 N 由图量得夹角 α'3b=64o(逆时针度量)。 (3)求平衡面T''中的平衡重量G''b

∑Gi''ri''=G1''r1''+G2''r2''+G3''r3''+Gb''rb''=0 取比例尺μ

w= 100 N.cm/mm，则：

w=1500/100=15 mm

w=2666.66/100=26.6666 mm w = 3000/100 = 30 mm

W’’2=G’’2r’’2/μ W’’3=G’’3r’’3/μ W’’4=G’’4r’’4/μ

作向量关系式 W’2+W’3+W’4+W’b=0 的向量多边形如图(c)所 示，图中虚线所示的封闭边ad，即为向量W’b。其重径积值为：

Gb’’rb’’=adμ

w=100*38.3=3830 N.cm

；由于已经指定

rb’’=500 mm，因此所需的平衡重量G’’b=3830/50=76.6 N 由图量得夹角α’’4b=116o30' (逆时针度量)。

第七章 机械的运转及其速度波动的调节

7 -3在图示的定轴轮系中 ，已知加于轮1和轮3上的力矩 M1=80N2m和M3=100N2m；各轮的转动惯量J1=0.1kg2m2 ，J2 = 0.225kg2m2 ，

J3 = 0.4kg2m2 ；各轮齿数z1=20，z2=30，z3=40，以及在开始转动的瞬时轮1的角速度等于零。求在运动开始后经过0.5s时轮1的角加速度ε1和角速度ω1。

解：取齿轮1为等效构件，则轮系的等效转动惯量为： JV=J1+J2(ω2/ω1)2+J3(ω3/ω1)2=J1+J2(Z1/Z2)2+J3(Z1/Z3)2 =0.1+0.225(20/30)2+0.4(20/40)2=0.3 kg.m2 等效力矩 MV=M1-M3(ω3/ω1)=M1- M3(Z1/Z3)= = 80-100(20/40) = 30 N.m 利用力矩形式的运动方程来求解，即

Mv=Mvp-MvQ=Jvdω/dt + ω2/2dJv/dφ 教材中有此公式 式中 dω/dt=ε，dJv/dφ=0 ，因此得： MV=Mvp - MvQ=30=0.3*ε

∴ε=30/0.3=100 rad/s2 (与M1同方向) 由起动时的ω1=0，经过0.5s后的角速度ω

7－4 在电动机驱动剪床的机组中，已知电动机的转速为1500rpm及换算到其轴上的等效阻力矩Mr?Mr(?)，如图所示。设驱动力矩为常数及机组各构件的等效转动惯量可

1

为：

ω1=εt1=100*0.5=50 rad/s (与M1同方向)

以不计。求保证运转不均匀系数δ不超过0.05 的安装在电动机轴上的飞轮转动惯量JF 。 答：。 JF＝1.01 kg2m2 。

解：ωm=2*n*π/60=2*1500*π/60=50*π=157 rad/s

Md*2π=200*2π+(π/2+π/4)*1400/2 Md=462.5 N.m

△Wmax=π(1600-462.5)/4+(1600-462.5)2*π/2/4/1400 =1256.33

则：JF=△Wmax/ωm2/δ＝1256.33/1572/0.05=1.01937 kg.m2

7－5 如图（a）将机组的力和质量都换算到曲柄AB上的B点。在机组稳定运动时，它的一个运定循环对应的转角?p?2?，等效驱动力矩Md为常数，等效阻力矩Mr的变化如图（b）所示。设机组各构件的等效转动惯量JR=0.14kg2m2为常数，ωm=25rad/s。如给定δ=0.04，装在轴A上的轮形飞轮，其平均直径D=0.5m,试确定飞轮的转动惯量和重量。 答；JF=3kg.m2,G=47.2N。

AC=4*0.5*0.5π*400=400π N.

解：一个运动循环中的阻力矩Mr所消耗的功为AC：

与此同时，常数驱动力矩Md所输入的功AV应等于AC， AV=Md*2*π=400π N.m 得：Md=200 N.m

它所相应的直线如图(b)中虚线所示，它与阻力矩Mr的变化 曲线相交在a、b、`````h等点。

ab之间形成亏功，bc之间形成盈功，其他依次类推。由于各 个盈功和亏功的相应面积的大小都相等，因此任何一个和盈功或亏 功都可以作为最大盈亏功Ay，由图(b)可以看出，每个三角形面积 所相当的盈亏功Ay为：Ay=0.5*0.25*π*400/2=25π N.m 在给定了Ay、ω 的转动惯量JT为：

JT=Ay/(ωm2δ)=25π/(252*0.04)=3.14 kg,m2 但由于等效构件上已经有了机械系统的等效转动惯量 JR=0.14 kg,m2，因此尚需添加的飞轮转动惯量JF为： JF=JT-JR=3.14-0.14=3 kg,m2

关于飞轮的重量G，取决于飞轮的结构尺寸。对于转动惯量JF大 的飞轮，通常做成车轮的行状，称为“轮形飞轮”。它有轮缘、轮 辐和轮毂，而轮缘的重量占了整个飞轮重量的大部分，而且轮缘处 在最外侧，其转动惯量占整个飞轮总转动惯量的绝大部分，以至于 轮辐和轮毂部分的重量和转动惯量都可以忽略不计。对于“轮形飞 轮”，有如下的关系： GD2=4gJF

G=4gJF/D2=4*9.8*3/0.52= 470.4 N = 48 kg 式中的D，是轮缘部分的平均直径。

m

和δ的情况下，等效构件的轴A上所需要的总

第八章 平 面 连 杆 机 构 及 其 设 计

8-5试画出图示两种机构的机构运动简图,并说明它们为何种机构?

在图a中偏心盘1绕固定轴O转动,迫使滑块2在圆盘3的草槽中来回滑动,而圆盘3又相对于机架转动.

曲柄摇块机构.

在图示的冲床刀架装置中，当偏心轮1绕固定中心A转动时，构件2绕活动中心C摆动，同时推动后者带着刀架3上下移动，B点为偏心轮的几何中心。问：该装置是何种机构?它是如何演化出来的?

曲柄滑块机构.

8-7、如图所示为一偏置曲柄滑块机构。试求AB能成为曲柄的条件。又若偏心距

e＝0时，则杆AB成为曲柄的条件又当如何？

【解】图示偏置量e的偏置曲柄滑块机构，可以认为是四铰链机构中固定铰链D逐渐远移到无穷远处的D?而成的，因此是四铰链机构的特例。构件1要能成为曲柄（它的两

个铰链A和B均为整转副），除了它应为最短件之外，仍需要满足杆长之和的条件，即：最短件与最长件之和，不大于其余两杆件长度之和。假设D点逐渐向上远移时，则CD始终大于AD，而当D点移到无穷远处的D?时，CD将比AD大一个偏置量e，亦即CD?????是最长杆，并且CD－AD=e，因此杆长之和的条件是 a?CD? ≤

b?AD?

即 a?(CD??AD?) ≤ b

即 a?e ≤b

或者不利用四铰链机构的特例来讨论。由图可以看出，当构件1绕A点作整周转动时。端点B到滑块c点运动方向线xx之间的距离h不断地变化；当AB?垂直xx时，h达到其最大值hmax=a?e。为了使曲柄端点B能顺利通过B'点，要求连杆长度 b≥ hmax =a?e。此即所求条件。

又若偏心距e＝0时，则杆AB成为曲柄的条件为a≤b

8-8、在图所示的铰链四杆机构中，已知l1=28mm，l2=52mm，l3=50mm,l4=72mm，试求: 1)当取杆4为机架时,该机构的极位夹角θ、杆3的最大摆角φ、最小传动角γmin、和行程速比系数K；

2)当取杆1为机架时,将演化成何种类型的机构？为什么？并说明这时C、D两个转动副是周转副还是摆转副；

3)当取杆3为机架时,又将演化成何种类型的机构？这时A、B两个转动副是否仍为周转副？

解：1)作AD=l4=72mm，以A为圆心，l1=28mm为半径作圆，再以D为圆心，l3=50mm为半径作圆。再以A为圆心，l1+l2=80mm为半径作圆，交于大圆于C2，再以A为圆心， l2-l1=24mm为半径作圆，交于大圆于C1，可得极位夹角θ=15o,最大摆角φ=70o。当B与D最靠近时，是γmin的位置，可量取为γmin=60 o，而K=(180o+θ)/(180o-θ)=13/11.

2)当取杆1为机架时,将演化成双曲柄摇杆机构,因为满足“曲柄存在条件---如果

最短构件与最长构件的长度之和小于或等于其它两构件的长度之和，且最短构件的相邻构件为机架，则最短杆为曲柄。

FI-FG=GI=BH-BC=CH。

10-20 在图中,已知基圆半径rb?50mm。现要求：1)当ri?65mm时,求渐开线的展角?i， 渐开线上的压力角?i和曲率半径ρ； 2) 当?i＝20o时,求?i及ri的值。

解：1)cosαi=rb/ri=50/65 , αi=39.7o=0.69 弧度 θi=tgαi-αi=0.137 弧度 =7.85o ρ=BK=tgαi*rb=41.5 mm 2) θi=tgαi-αi=20π/180 =0.34906

αi≈51.1333o ; ri=rb/cosαi=50/cos51.13o =79.7 mm

?10-21 设一渐开线标准齿轮，z＝26，m＝3mm，ha＝1、α＝15o，求齿廓曲线在分度圆

及齿顶圆上的曲率半径及齿顶圆压力角。

解：r=mz/2=26*3/2=39 mm , ra= r+h*a3m=39+1*3=42 mm rb=r*cosα=39*cos15o=37.67 mm αa =cos-1(rb/ra)=cos-1(37.67/42)=26o14' ρ=rb*tgα=37.67*tg15 =10.1 mm

ρa =rb *tgαa = 37.67*tg26o14' =18.6 mm

10-24 已知一正常齿渐开线标准外啮合圆柱齿轮传动,其模数m＝5mm，压力角 α＝20o，中心距＝350mm、传动比i12?9/5。试求两轮的齿数、分度圆直径 、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径以及齿厚和齿槽宽。

解：i12 =r2/r1 = z2/z1=9/5 , z2=9z1/5 , r1+r2=350 mm ,

r2=9r1/5 得r1=125 mm , r2=225 mm , z1=d1/m=50 ,d1=250 mm , d2=450 mm , z2=90 , da1 =d1+2h*am=250+2*1*5=260 mm 同理可得：

da2=460 mm, df1=m (z1-2h*a-2c*)=5(50-2-0.5)=237.5 mm 同理可得：

df2=437.5 mm ,db1 =234.9 mm , db2 = 422.9 mm

sb1=mcosα(π/2+z1invα)=5cos20*(π/2+50inv20)=10.9 同理可得：sb2=13.7 mm ； eb1=Pb1-sb1=14.8-10.9 =3.9 mm 同理可得： eb2=1.1 mm

10-25 当α＝20o的正常齿渐开线标准齿轮的齿根圆和基圆相重合时，其齿数应为若干?

又若齿轮数大于求出的数值，则基圆和根圆哪一个大一些？ 解：d*cosα= m(z-2h*a -2c*)=mzcosα,

z=(2h*a+2c*)/(1-cosα)=2(1+0.25)/(1-cos20)=41.4543≈42

z 若大于42，则 rb(z=43,m=1,α=20o)=40.41 mm, rf=40.5 mm . 此时根圆将大于基圆。

z 若小于42，则 rb(z=41,m=1,α=20o) =38.527 mm, rf=38.5 mm . 此时根圆将小于基圆。

z 若等于42，则rb(z=42,m=1,α=20o)=39.4 mm, rf=39.5 mm

10-26 已知一对标准外啮合直齿圆柱齿轮传动,其α＝20o，m＝5mm，Z1=19、Z2=42，试求其重合度ε

α

。问当有一对轮齿在节点P处啮合时，是否还有其他轮齿也处于啮合状态；

又当一对轮齿在B1点处啮合时，情况又如何？ 解：

B1B2B1P?B2PZ1(tg?a1?tg?')?Z2(tg?a2?tg?')????Pb?*m*cos?2? 据题意，由公式应先求αa1及αa2，而α’=20o， -1-1

αa1=cos(rb1/ra1)=cos(44.635/52.5)=31.767o αa2=cos-1(rb2/ra2)=cos-1(98.668/110)=26.236o rb =rmcosα ; ra= r + ha ;

rb1 =5*19/2*cos20=44.635 mm , ra1= 5*19/2+5*1=52.5 mm rb2 =5*42/2*cos20=98.668 mm , ra2= 5*42/2+5*1=110 mm 代入上式，可得ε

α

=1.633.

α

由图知，Pb = Pcosα=πmcosα=14.76 mm ; Pb*ε

= B1B2=14.76*1.633=24.103 mm

B1P=mZ1cosα(tgαa1 - tgα')/2=5*19*cos20(tg31.767o-tg20)/2=11.394 mm B2P=mZ2cosα(tgαa2 - tgα')/2=5*42*cos20(tg26.236o-tg20)/2=12.715 mm 由此可知，当有一对轮齿在节点P处啮合时，还没有其他轮齿处于啮合状态；又当一对轮齿在B1点处啮合时，还有其他轮齿也处于啮合状态。

10-29 在某牛头刨床中，有一对外啮合渐开线直齿圆柱齿轮传动。已知 z1?17，

?z2?118，m?5mm，??20?，ha?1，中心距?'?337.5mm，现因小齿轮已严重磨损，

拟将其报废，大齿轮磨损较轻（沿齿厚方向的磨损为0.75mm），拟将其修复使用。并要求新设计的小齿轮的齿顶厚尽可能大些，问应如何设计这对齿轮（不必计算齿轮的几何尺寸）?

m5解： 这对齿轮的标准中心距为：a?(z1?z2)?(17?118)?337.5mm

22现已知中心距为?'?337.5=a，因此原来的这对齿轮是标准齿轮传动（当然不排除有。 x1??x2?0的高变位传动的可能性，这一情况留作读者在本题的基础上自己思考） 现在已知大齿轮由于磨损，其沿分度圆周上的齿厚减薄了0.75mm，大齿轮修复后相

当于一个负变位齿轮，即大齿轮的变位系数与减薄量有如下关系： 2x2mtg???0.75mm，

x2??0.75?0.75???0.2061。

2mtga2?5tg20? 为了能在原来标准中心距a'?a?337.5之下获得无齿侧间隙啮合，小齿轮沿其分度圆周

的齿厚必须增厚0.75mm，亦即小齿轮的变位系数必须为x1??x2?0.2061。这一结果是显而易见的，即中心距a'等于标准中心距a时的变位齿轮传动，只能是“高变位齿轮传动”(即“等变位齿轮传动”)。

10-32 已知一对渐开线斜齿圆柱齿轮传动．

（1）z1?20,z2?40,mn?8mm,?n?20o,??30o，齿宽b?30mm,h?an?1,c?n?0.25. 求：法面周节pn和端面周节pt; （2）分度圆半径r1和r2及中心距a；（3）重迭系数的增量??（4）当量齿数zv1和zv2。

解：（1）法面周节pn和端面周节pt;

pn??mn???8?25.13mm

pt??mi??mn8????29.02mm ?cos?cos30 （2）分度圆半径和中心距 分度圆半径：r1?mnmZ8Z1?n1??20?92.38mm ?22cos?2cos30r2?mn8z2??40?184.75mm ?2cos?2cos30

中心距：a?r1?r2?92.38?184.75?277.14mm （3）重迭系数增量??

bsin?30sin30?由公式得知：?????0.597

?mn??8 （4）当量齿数zv1和zv2

zv1?z120??30.8,

cos3?cos330?z240??61.6。 33?cos?cos30zv2?

10-35 设蜗轮的齿数z2=40,分度圆直径d2=280 mm ,与一单头蜗杆相啮 合，q=9，求：

1) 蜗轮端面模数mt2与蜗杆轴面模数 mx1 ； 2) 蜗杆导程 S 和分度圆直径 d1 ；

3) 中心距 a ； 4) η； 5) 是否自锁？

解：1)d2=mt2*z2 , mt2=280/40=7 mm 2)d1=ma1*q1=7*9 = 63 mm , s = z1*pa1=z1*ma1*π=21.99 mm

3)a =mt2(q + z2)/2 =7(9 + 40)/2 = 171.5 mm

4)η＝tgλ/tg(λ+φ)=0.1111/tg(6.34 + 8.53) =41.8 ％ tgλ=z1*ma1/d1=1/9=0.1111 ,λ=6.34o ,fv=0.15=tgφ, φ=8.53o ; 5)η

反

＝tg(λ-φ)/tgλ=负数 ，能自锁 。

第十一章 齿 轮 系 及 其 设 计

11-14原书上的题目结构完全与此相同,同学们可参照做.螺丝刀的速度就是Q的速度.

在图示双螺旋浆飞机的减速器中，已知 z1=26，z2=20，z4=30，z5=18及n1=1500r/min。试求n p和nQ的大小和方向。

解：p，1，2，3 和Q，4，5，6，分别组成行星轮系。

m1=m2=m3=m ,Z3=d3/m=(d1+2d2)/m=Z1+2Z2=26+40=66 由 4，5，6 啮合，同样可得： Z6=2Z5+Z4=2*18+30=66 i13p=(n1-np)/(n3-np)=-Z3/Z1→(15000-np)/-np=-66/26 np = 4239 r.p.m

i46Q=(n4-nQ)/(n6-nQ)=-Z6/Z4→(4239-nQ)/-nQ=-66/30 nQ = 1324.7 r.p.m

11-17 如图a、b为两个不同结构的锥齿轮周转轮系，已知Z1=20，Z2=24，Z2’=30，Z3=40，n1=200r/min ,n3=-100 r/min。求两轮系nH的等于多少？

解：a)

n3?nHZ2'Z1n??n1?nHZ3Z2H31 ；

?100?nH30?205??

200?nH40?248

1000-5nH=-800-8nH；3nH=-1800 得：nH=-600 r/min

b)

n3?nHZ2'Z1?100?nH30?205n??????? ;

n1?nHZ3Z2200?nH40?248H31 1000-5nH=800+8nH；13nH=200 得：nH=200/13 r/min

11-18 在图6－4所示的电动三爪盘传动轮系中，已知各轮齿数为z1=6，z2?z?2?25，z3=57，z4=56。试求传动比i14。

解 三爪卡盘传动轮系是一个3K型行星轮系。它由三个中心轮作为基本构件组成，转臂只起支承作用而不传递扭矩。一般可将其看作由两个简单行星轮系组成：第一个行星轮系由齿轮1、2、3和转臂H所组成；第二个行星轮系由齿轮3、2、2'、4和转臂H组成。这两个行星轮系通过双联行星轮（2和2'）复合在一起。

在第一个轮系中，因为n3=0，则

Hi13?zn1?nH?1?i1H??3

n3?nHz1z3 z1 ∴ i1H?1?而在第二个轮系中，n3=0，则

Hi43?z?zn4?nH?1?i4H?23

n3?nHz4z2z?2z3，iH4?z4z21 z?z1?23z4z2∴ i4H?1?故 i14?n1?i1H?iH4n4z3571?z16????588 z?z25?571?231?56?25z4z21?轮1与轮4的转向相反。

11-22图示行星轮系中，已知各轮的齿数为z1、z2、z2、z3、z3和z4。试求其传动比i1H。当z2=z3=z4=18, z2=z3=40,求z1=?

''''

解: 周转轮系中，每个解题单元可以有多个行星轮和多个中心轮，但是系杆却只有一个。有多少个系杆，就有多少个解题单元，就要取多少个转化机构。

本题虽然有好几个行星轮和中心轮，但却只有一个系杆H，因此只需进行一次机构的转化。

系杆H相对固定之后的转化机构传动比为：

Hi14?zzzn1?nH??234

?n4?nHz1z?2z3但n4?0，因此得

1?zzzn1??234

?nHz1z?2z3所以 i1H?zzzn1?1?23'4' nHz1z2z3' 由图知,mz1/2=mz2/2+mz2/2-mz3/2+mz3/2-mz4/2 代入具体数值,可得:z1=62

11-24 图示为隧道掘进机中的行星齿轮传动。其中各对齿轮都采用零传动,

m=10mm。已知：Z1=30，Z2=80，Z3=30，Z4=21，Z5=36，Z6=87，Z7=140。现知n1=1000 r/min试求刀盘A点的线速度。

解:这也是一道系杆6上又 添加小系杆3的复合轮系的题目。题目需要求刀盘A点的线速度vA，则需要求出大系杆6的转速n6、小系杆（连同齿轮3）的转速n3以及与刀盘固结成一体的行星齿轮5的转速n5。

'

大系杆6所反映的是第一层次的周转轮系；小杆系3所反映的是第二层次的周转轮系；如图中虚线框中所示。

先分析第二层次的周转系。该轮系的系杆是与齿轮3固结的构件3,与刀盘相固结的齿轮5是行星轮,而齿轮4和内齿轮6(即第一层次的大系杆)则是中心轮。把大系杆6相对固定起来,在此前提之下,再把小系杆3相对固定,列出齿轮4、5和6组成的转化机构的传动比：

(6)(6)Zn4?n387＝－29(6)＝－6＝－(3)（i46）＝n(6)?n(6)217 Z463(6)(6)nn44但式中的是齿轮4相对于大系杆6 的相对转速，显然=n4-n6，同理

(6)(6)= n3?n6，n6n3?n6?n6?0，因此上式化为如下的形式：

(n4?n6)?(n3?n6)n4?n329(3) （a） ??i46??(n6?n6)?(n3?n6)n6?n37读者可能已经看出，化简后的形式，有如不考虑大系杆6的影响而直接列出虚线框中

周转轮系的转化机构转动比。事实上这样看法是对的，因为大系杆6有如动坐标系，动坐标系中各个机构相互之间的运动关系，不因动坐标动或不动，它们之间的相互运动关系是不受影响的。因此式（a）的简化形式可以直接写出而不必考虑大系杆6的存在与否。不过我们心目中仍应有一个层次的概念。此外，有时题目给出的或者要求的是两构件之间的相对转速，如题6-12给的是电机相对于大系杆H的相对转速n1H?n1?nH?1440r/min,这时列出较繁形式的关系式，会是有用的。

第二层次中齿轮4和5的转化机构传动比的简式为:

i45?(3)n4?n3Z3612??5???? (b)

n5?n3Z4217n1?n6Z808??2???? (C)

n2?n6Z1303第一层次中齿轮1和2的转化机构传动比:

i12?(6)齿轮3和7的转化机构传动比:

i37?(6)n3?n6Z14014??7????

n7?n6Z330311n6 (d) 311n4?(?n6)293把式(d)代入式(a)，得 ?? (e)

117n6?(?n6)3但n7?0,因此化简后求得 n3??但已知n2?n4,又由式(c)可得 n2?n4?把式(f)代入式(e),并已知n1?1000rmin11n6?3n1 (f) 8,得n6?15.385rmin。

把n6值代入式（d），求得n3??56.412r。再把n6值代入式（f）,求得

minn2?n4??353.84r。 minmin.把n4和n3值代入式（b），得n5?117.1r。

求刀盘A点速度vA时，可先求小系杆轴线的速度vC，再求小系杆端部速度vB，最后求出vA。

m10(Z1?Z2)?2??15.385?(30?80)?53166.74mm min22小系杆端部速度B的速度：

vc?2?n6?vB?vC?vBC?53166.74???47850.67mmminm10(Z4?Z5)?2?n3?53166.74?(21?36)?2??(?56.412)22

刀盘上端A的速度：

450450??47850.67?2??117.1?22

?117695.56mm?117.6956mmminminvA?vB?vAB??47850.67?2?n5?

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