2010年广东省高中数学竞赛试题及详解答案

2010年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题

20）

注意事项：

1.本试卷共二大题，全卷满分120分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超出装订线。 4.不能使用计算器。

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上. 1.方程log x sinx 2在区间(0,

2

2

]上的实根个数为_________________.

2.设数列 8 (

11n 1

的最小整数n是) 的前n项和为Sn，则满足不等式|Sn 6|

3 125

_________________.

3.已知n（n N，n 2）是常数，且x1，x2， ，xn是区间 0,

内任意实数，则函数 2

的

最

大

值

等

于

f(x1,x2, ,xn) sinx1cosx2 sinx2cosx3 sinxncosx1

_________________.

4.圆周上给定10个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有_________________个交点.

5.一只虫子沿三角形铁圈爬行，在每个顶点，它都等机会地爬向另外两个顶点之一，则它在n次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________.

6.设O是平面上一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足

ACAB

，其中 [0, )，则点P的轨迹为_________________. OP OA |AC||AB|

7.对给定的整数m，符号 (m)表示 1,2,3 中使m (m)能被3整除的唯一值，那么

(22010 1) (22010 2) (22010 3) _________________.

8.分别以直角三角形的两条直角边a，b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周，所得旋转体的体积依次为Va，Vb，Vc，则Va Vb与(2Vc)的大小关系是_________________.

2

2

2

二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.（本小题满分16分）

是否存在实数a，使直线y ax 1和双曲线3x y 1相交于两点A、B，且以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点？ 2.（本小题满分20分）

2

2

| 523, 求证：不存在这样的函数f:Z 1,2,3 ，满足对任意的整数x，y，若|x y

则f(x) f(y). 3.（本小题满分20分）

设非负实数a，b，c满足a b c 1，求证：9abc ab bc ca

，

1

(1 9abc) 4

2010年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案

一、填空题

1.设f(x) log x sinx 2，则f (x)

2

1xln

2

cosx，∵0 x

2

，∴0 cosx 1，

又0 ln

1，∴f (x) 0，即在区间(0,]上单调递增，故方程log x sinx 2在区222

间(0,

2

]上有且只有一个实根.

1n 1 1

) 是首项是8，公比是 的等比数列，∴3 3

2. 易知数列 8 (

1

8[1 ( )n]

6 6( 1)n，于是|S 6 |1 2 1 3n 1 250，∵Sn nn 11125312531 ( )3

35 243 250，36 729 250，故最小整数n是7.

a2 b2

3.∵ab ，

2

∴f(x1,x2, ,xn) sinx1cosx2 sinx2cosx3 sinxncosx1

sin2xn cos2x1sin2x1 cos2x2sin2x2 cos2x3

222

(sin2x1 cos2x1) (sin2x2 cos2x2) (sin2xn cos2xn)

2

n， 2

故所求函数的最大值等于

n. 2

10 9 8 7

210个交点.

1 2 3 4

4. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个

4

数与每两条弦的交点数相等，故有C10

2n 2( 1)n5. n

3 2

ACABABAC

OA ，∴OP OA ( )， 6. ∵OP |AC||AB||AB||AC|

ABACABAC

)，又，为单位向量，由向量加法的平行四边形法则，即AP (|AB||AC||AB||AC|

知点P的轨迹为 BAC的平分线. 7.由二项式定理知，2∴ (2故 (2

2010

2010

41005 (3 1)1005 3p 1，即22010被3除余1，

1) 3， (22010 2) 1 (22010 3) 2， 1) (22010 2) (22010 3) 6.

2

2010

8. ∵Va Vb (

2

ba) (ab) ab(a b) a2b2c2，

3399

2

22

22

2

2222

2

4 2ab424 2a4b4

(2Vc) (2 h(a b )) ()c 2，

39c9c

2

2

Va2 Vb2c4(a2 b2)2(2ab)2

22 1，故Va2 Vb2 (2Vc)2. ∴作商，有22222

(2Vc)4ab4ab4ab

二、解答题

y ax 1

1.解：设交点A、B的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，由 2消去y，得 2

3x y 1

(3 a2)x2 2ax 2 0，

由韦达定理，得x1 x2

2a

， ① 3 a2

x1x2

2

， ② 3 a2

∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，∴OA OB，

∴x1x2 y1y2 0，

即x1x2 (ax1 1)(ax2 1) 0，整理，得(a 1)x1x2 a(x1 x2) 1 0

2

③

1 a2

将①②代入③，并化简得 0，∴a 1，

3 a2

经检验，a 1确实满足题目条件，故存在实数a满足题目条件.

2.证明：假设存在这样的函数f，则对任意的整数n，设f(n) a，f(n 5) b，其中

a,b 1,2,3 ，由条件知a b.

由于|(n 5 )n(

2 )|，3|n (n 2)| 2，∴f(n 2) a且f(n 2) b，即

是 1,2,3 除去a，b后剩下的那个数，不妨设f(n 2) c f(n 2)

又由于|(n 5) (n 3)| 2，|n (n 3)| 3，∴f(n 3) f(n 2).

以n 1代替n，得f(n 4) f(n 3) f(n 2)，但这与|(n 4) (n 2)| 2矛盾！ 因此假设不成立，即不存在这样的函数f. 3.证明：先证左边的不等式. ∵a b c 1，

∴ab bc ca (ab bc ca)(a b c) ab ab bc bc ac ac 3abc

2

2

2

2

2

2

6abc 3abc 9abc

再证右边的不等式.

不妨设a b c，注意到条件a b c 1，得

1 4(ab bc ca) 9abc (a b c)3 4(a b c)(ab bc ca) 9abc

a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) (a b)[a(a c) b(b c)] c(c a)(c b) 0，

1

(1 9abc)， 4

1

综上，9abc ab bc ca (1 9abc).

4

所以ab bc ca

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