2019华东师大初中数学九年级下册二次函数y=a(x-h)2+k(a0)的图象与性质—知识讲解（提高）

二次函数y=a（x-h)+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）

【学习目标】

1.会用描点法画出二次函数y?a(x?h)?k(a、h、k常数，a≠0)的图象．掌握抛物线y?a(x?h)?k与y?ax图象之间的关系；

2.熟练掌握函数y?a(x?h)?k的有关性质，并能用函数y?a(x?h)?k的性质解决一些实际问题；

223.经历探索y?a(x?h)?k的图象及性质的过程，体验y?a(x?h)?k与y?ax、y?ax?k、

22222222

y?a(x?h)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．

【要点梳理】

2要点一、函数y?a(x?h)(a?0)与函数y?a(x?h)?k(a?0)的图象与性质

21.函数y?a(x?h)(a?0)的图象与性质

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，0? x=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． a?0

向下 ?h，0? x=h 2.函数y?a(x?h)?k(a?0)的图象与性质

a的符号 2开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 性质 a?0 ?h，k? ?h，k? x=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． a?0

要点诠释：

向下 x=h 二次函数y?a(x?h)+k(a≠0）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．

要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：

2

k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，2

2.平移规律：

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：

⑴y?ax?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax?bx?c变成

22y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

⑵y?ax?bx?c沿x轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax?bx?c变成

22y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

【典型例题】

类型一、二次函数y?a(x?h)2?k(a?0)图象及性质

21. 已知y?a(x?h)?k是由抛物线y??度得到的抛物线．

(1)求出a、h、k的值；

12x向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长2 (2)在同一坐标系中，画出y?a(x?h)?k与y??2212x的图象； 2 (3)观察y?a(x?h)?k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x增

大而减小，并求出函数的最值；

(4)观察y?a(x?h)?k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗? 【答案与解析】

(1)∵ 抛物线y??212x向上平移2个单位长度， 2

再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y??1(x?1)2?2， 21，h?1，k?2． 21122(2)函数y??(x?1)?2与y??x的图象如图所示．

22∴ a??

(3)观察y??1(x?1)2?2的图象知，当x?1时，y随x的增大而增大； 2当x?1时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．

(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2． 【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线y??12x平移后的抛物线的解析式，再对比2y?a(x?h)2?k得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．

举一反三：

(x?)h(a?0与)函数【高清课程名称：《二次函数》专题 第二讲：函数y?a2y?a(x?)h?(ka?0)的图象与性质

2高清ID号： 391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习3】

【变式】把二次函数y?a(x?h)?k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函

数y??21(x?1)2?1的图象． 22（1）试确定a、h、k的值；

（2）指出二次函数y?a(x?h)?k的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】（1）a??,h?1,k??5.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5）， 当x≥1时，y随x的增大而减小； 当x＜1时，y随x的增大而增大.

2. （2016?杭州校级二模）二次函数y=（x﹣1）+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为 ．

2

12

【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．

【答案】﹣1＜x≤0或2≤x＜3．

2

【解析】解：当y=2时，（x﹣1）+1=2， 解得x=0或x=2，

2

当y=5时，（x﹣1）+1=5，解得x=3或x=﹣1， 又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．

【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，

再结合图象确定x的取值范围．

类型二、二次函数y?a(x?h)?k(a?0)性质的综合应用

2

23.已知：二次函数y=x﹣4x+3．

（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x轴的交点坐标； （3）当x取何值时，y＜0． 【解析】解：（1）∵y=x﹣4x+3，

2

∴y=（x﹣2）﹣1， ∴对称轴为：直线x=2， ∴顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，

则，x﹣4x+3=0， ∴（x﹣1）（x﹣3）=0， ∴x1=1，x2=3，

∴与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x＜3时，y＜0．

【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：

【变式】已知抛物线y=2（x﹣1）﹣8．

（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x取何值时，y随x增大而增大？ 【答案与解析】

解：（1）抛物线y=2（x﹣1）﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；

故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x＞1时，y随x增大而增大．

4. 如图所示，抛物线y1?3(x?1)2的顶点为C，与y轴交点为A，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B．

2

2

2

2

(1)求直线AC的解析式y2?kx?b； (2)求△ABC的面积；

(3)当自变量x满足什么条件时，有y1?y2? 【答案与解析】

(1)由y1?3(x?1)2知抛物线顶点C(-1，0)，令x＝0，得y?∴ A(0,3)．由待定系数法可求出b?∴ y2?3x?3．

(2)∵ 抛物线y1?3(x?1)2的对称轴为x＝-1，根据抛物线对称性知B(?2,3)． ∴ S△ABC?3，

3，k?3，

1?2?3?3． 2(3)根据图象知x?0或x??1时，有y1?y2．

【总结升华】 图象都经过A点和C点，说明A点、C点同时出现在两个图象上，A、C两点的坐标均满

足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．

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