2015年辽宁省朝阳市中考数学试卷

2015年辽宁省朝阳市中考数学试卷

一、选择题

1．（3分）计算﹣2+1的结果是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．3

D．1

2．（3分）下列计算正确的是（ ） A．3x2?2x=6x3 B．x6÷x3=x2

C．（3a）2=3a2 D．（a+b）2=a2+b2

3．（3分）如图，AB∥CD，∠A=46°，∠C=27°，则∠AEC的大小应为（ ）

A．19° B．29° C．63° D．73°

4．（3分）一组数据2，3，1，2，2的中位数、众数和方差分别是（ ） A．1，2，0.4 B．2，2，4.4 C．2，2，0.4 D．2，1，0.4

5．（3分）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）

A．主视图改变，左视图改变 C．俯视图改变，左视图改变 6．（3分）估计

×

+

B．俯视图不变，左视图不变 D．主视图改变，左视图不变

的运算结果应在哪两个连续自然数之间（ ）

A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9

7．（3分）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2

8．（3分）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ）

A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）

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9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）

A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5

10．（3分）如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①S△ADB=S△ADC；

②当0＜x＜3时，y1＜y2； ③如图，当x=3时，EF=；

④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ）

A．1

B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，填错，一律得0分） 11．（3分）太阳的半径大约为696000千米，将696000用科学记数表示为 ． 12．（3分）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ．

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13．（3分）小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机地停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是 ．

14．（3分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1米，参考数据：

=1.41，

=1.73）．

15．（3分）一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是 m． 16．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=

，BO=1，AB的垂直平分

个单

线交AB于点E，交射线BO于点F．点P从点A出发沿射线AO以每秒2

位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t= 时，PQ∥EF；

（2）若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是 ．

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三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）

17．（6分）先化简，再求值：（1+

）

，其中a=﹣3．

18．（6分）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）．

19．（6分）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？

阶梯 一档 二档 三档 电量 0﹣180度 181﹣400度 401度及以上 电价 0.6元/度 二档电价 三档电价 20．（8分）某校申报“跳绳特色运动”学校一年后，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图．

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（1）补全频数分布直方图，扇形图中m= ；

（2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如A组80≤x＜100的中间值是

=90次），则这次调查的样本平均数是多少？

（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？

21．（8分）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

22．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．

23．（8分）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重量a（单位：吨）的关系如图所示．

（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）； （2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程

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为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．

24．（10分）问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系． [探究发现]

小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°． 根据“边角边”，可证△CEH≌ ，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 ． [实践运用]

（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；

（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=

，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

25．（12分）如图，已知经过点D（2，﹣）的抛物线y=（x+1）（x﹣3）（m

为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．

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（1）填空：m的值为 ，点A的坐标为 ；

（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E； （3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；

（4）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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2015年辽宁省朝阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1．（3分）（2015?朝阳）计算﹣2+1的结果是（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．3

D．1

【考点】19：有理数的加法．

【分析】异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．

【解答】解：﹣2+1=﹣1， 故选B

【点评】此题考查有理数的加法，关键是根据异号两数相加的法则计算．

2．（3分）（2015?朝阳）下列计算正确的是（ ） A．3x2?2x=6x3 B．x6÷x3=x2

C．（3a）2=3a2 D．（a+b）2=a2+b2

【考点】48：同底数幂的除法；47：幂的乘方与积的乘方；49：单项式乘单项式；4C：完全平方公式．

【分析】根据单项式的乘法法则，同底数的幂的除法法则、以及幂的乘法和完全平方公式即可作出判断． 【解答】解：A、正确； B、x6÷x3=x3，选项错误； C、（3a）2=9a2，选项错误； D、（a+b）2=a2+b2+2ab，选项错误． 故选A．

【点评】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

3．（3分）（2015?朝阳）如图，AB∥CD，∠A=46°，∠C=27°，则∠AEC的大小应为（ ）

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A．19° B．29° C．63° D．73° 【考点】JA：平行线的性质．

【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．

【解答】解：∵AB∥CD，∠A=46°，∠C=27°， ∴∠ABE=∠C=27°． ∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC=∠A+∠ABE=46°+27°=73°． 故选D．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

4．（3分）（2015?朝阳）一组数据2，3，1，2，2的中位数、众数和方差分别是（ ）

A．1，2，0.4 B．2，2，4.4 C．2，2，0.4 D．2，1，0.4 【考点】W7：方差；W4：中位数；W5：众数．

【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据方差公式计算即可．

【解答】解：2，3，1，2，2的中位数是2； 众数是2； 方差=故选C

【点评】本题为考查统计知识中的方差、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排

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=0.4，

列，就会出错．

5．（3分）（2015?朝阳）如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ）

A．主视图改变，左视图改变 C．俯视图改变，左视图改变

B．俯视图不变，左视图不变 D．主视图改变，左视图不变

【考点】U2：简单组合体的三视图．

【分析】分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断． 【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．

将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．

将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变． 故选D．

【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．

6．（3分）（2015?朝阳）估计间（ ）

A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9

【考点】2B：估算无理数的大小；75：二次根式的乘除法．

×+的运算结果应在哪两个连续自然数之

【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算． 【解答】解：∵6＜2+3∴

×+=2×+3=2+3，

＜7， +

的运算结果在6和7两个连续自然数之间，

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×

故选：B．

【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．最后估计无理数的大小．

7．（3分）（2015?朝阳）下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ） A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2 【考点】AA：根的判别式．

【分析】分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况．

【解答】解：A、x2﹣8=0， 这里a=1，b=0，c=﹣8，

∵△=b2﹣4ac=02﹣4×1×（﹣8）=32＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； B、2x2﹣4x+3=0， 这里a=2，b=﹣4，c=3，

∵△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0， ∴方程没有实数根，故本选项错误； C、9x2+6x+1=0， 这里a=9，b=6，c=1，

∵△=b2﹣4ac=62﹣4×9×1=0，

∴方程有两个相等的实数根，故本选项正确； D、5x+2=3x2， 3x2﹣5x﹣2=0，

这里a=3，b=﹣5，c=﹣2，

∵△=b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）=49＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故本选项错误； 故选C．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当

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△＜0，方程没有实数根．

8．（3分）（2015?朝阳）已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3）

【考点】SC：位似变换；Q3：坐标与图形变化﹣平移．

【专题】46 ：几何变换．

【分析】先根据点平移的规律得到A点平移后的对应点的坐标为（4，6），然后根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k求解． 【解答】解：∵线段AB向左平移一个单位， ∴A点平移后的对应点的坐标为（4，6）， ∴点C的坐标为（4×，6×），即（2，3）． 故选A．

【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形变化﹣平移．

9．（3分）（2015?朝阳）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC的距离为（ ）

A．1或2 B．2或3 C．3或4 D．4或5 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．

【分析】如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，

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根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7﹣x）2=25﹣x2，通过解方程求得x的值，易得点B′到BC的距离．

【解答】解：如图，连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M． ∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上， ∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x， 又由折叠的性质知AB=AB′=5，

∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2 即（7﹣x）2=25﹣x2， 解得x=3或x=4，

则点B′到BC的距离为2或1． 故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）．解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形△AMB′和等腰直角△B′DM，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来．

10．（3分）（2015?朝阳）如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论： ①S△ADB=S△ADC；

②当0＜x＜3时，y1＜y2； ③如图，当x=3时，EF=；

④当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小． 其中正确结论的个数是（ ）

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A．1 B．2 C．3 D．4

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题． 【专题】11 ：计算题；16 ：压轴题．

【分析】对于直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用AAS得到三角形OBA与三角形CDA全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=OB，确定出C坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，由图象判断y1＜y2时x的范围，以及y1与y2的增减性，把x=3分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF的长，即可做出判断． 【解答】解：对于直线y1=2x﹣2， 令x=0，得到y=﹣2；令y=0，得到x=1， ∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2， 在△OBA和△CDA中，

，

∴△OBA≌△CDA（AAS）， ∴CD=OB=2，OA=AD=1，

∴S△ADB=S△ADC（同底等高三角形面积相等），选项①正确； ∴C（2，2），

把C坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2=， 由函数图象得：当0＜x＜2时，y1＜y2，选项②错误； 当x=3时，y1=4，y2=，即EF=4﹣=，选项③正确；

当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，选项④正确， 故选C

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【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，填错，一律得0分） 11．（3分）（2015?朝阳）太阳的半径大约为696000千米，将696000用科学记数表示为 6.96×105 ．

【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将696000用科学记数法表示为6.96×105． 故答案为：6.96×105．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12．（3分）（2015?朝阳）一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ． 【考点】K6：三角形三边关系．

【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得3﹣2＜x＜3+2，然后再确定x的值，进而可得周长． 【解答】解：设第三边长为x， ∵两边长分别是2和3， ∴3﹣2＜x＜3+2， 即：1＜x＜5， ∵第三边长为奇数， ∴x=3，

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18．（6分）（2015?朝阳）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 ③ （只填写序号）．

【考点】L9：菱形的判定．

【分析】根据点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可证明四边形BECF是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可作出判断． 【解答】解：∵BD=CD，DE=DF， ∴四边形BECF是平行四边形，

①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；

②四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形； ③AB=AC时，∵D是BC的中点， ∴AF是BC的中垂线， ∴BE=CE，

∴平行四边形BECF是菱形． 故答案是：③．

【点评】本题考查了菱形的判定方法，菱形的判别常用三种方法： ①定义； ②四边相等；

③对角线互相垂直平分．

19．（6分）（2015?朝阳）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准（每月）．例如：方女士家5月份用电500度，电费=180×0.6+220×二档电价+100×三档电

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价=352元；李先生家5月份用电460度，交费316元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？

阶梯 一档 二档 三档 电量 0﹣180度 181﹣400度 401度及以上 电价 0.6元/度 二档电价 三档电价 【考点】9A：二元一次方程组的应用．

【分析】设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度，根据题意列出方程组求解即可．

【解答】解：设二档电价是x元/度、三档电价是y元/度， 根据题意得，

，

解得

，

答：二档电价是0.7元/度、三档电价是0.9元/度．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确列出方程组．

20．（8分）（2015?朝阳）某校申报“跳绳特色运动”学校一年后，抽样调查了部分学生的“1分钟跳绳”成绩，并制成了下面的频数分布直方图（每小组含最小值，不含最大值）和扇形图．

（1）补全频数分布直方图，扇形图中m= 84 ；

（2）若把每组中各个数据用这组数据的中间值代替（如A组80≤x＜100的中间值是

=90次），则这次调查的样本平均数是多少？

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（3）如果“1分钟跳绳”成绩大于或等于120次为优秀，那么该校2100名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人？

【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；W2：加权平均数．

【分析】（1）首先由第二小组有10人，占20%，可求得总人数，再根据各小组频数之和等于数据总数求得第四小组的人数，作出统计图，先求出第一小组所占百分比，再乘以360°即可求出对应扇形圆心角的度数； （2）根据加权平均数的计算公式求出平均数即可；

（3）求出样本中成绩优秀的人数所占的百分比，用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）由直方图和扇形图可知，A组人数是6人，占10%， 则总人数：6÷10%=60， m=

×360°=84°，

D组人数为：60﹣6﹣14﹣19﹣5=16，； （2）平均数是：

（3）绩为优秀的大约有：2100×

=1400人

=130；

【点评】本题考查读频数分布直方图和扇形图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（8分）（2015?朝阳）在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．

第23页（共33页）

甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）

【考点】X7：游戏公平性；X6：列表法与树状图法．

【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可． （2）解题思路同上．

【解答】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下： 列表法， 小明 小刚 2 3 4 5 2 3 4 5 （2，3） （2，4） （3，4） （2，5） （3，5） （4，5） （3，2） （4，2） （5，2） （4，3） （5，3） （5，4） 所有可能出现的结果共有12种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：8种，故小明获胜的概率为：

=，则小刚获胜的概率为：，

故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；

（2）不公平．理由如下： 小明 小刚 2 3

2 3 4 （2，3） （2，4） （3，4） （3，2） 第24页（共33页）

4 （4，2） （4，3） 所有可能出现的结果共有6种，其中抽出的牌面上的数字之和为奇数的有：4种，故小明获胜的概率为：=，则小刚获胜的概率为：， 故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平．

【点评】此题主要考查了游戏公平性，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上的完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

22．（8分）（2015?朝阳）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A． （1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若AC=16，tanA=，求⊙O的半径．

【考点】MD：切线的判定．

【专题】14 ：证明题．

【分析】（1）连接DO，BD，如图，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，则∠ADO=∠EDB，再根据圆周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根据切线的判定定理可判断DE为⊙O的切线；

（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根据等腰三角形的判定方法得△ABC为等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定义可计算出BD=6，再根据勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径． 【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下： 连接DO，BD，如图， ∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO， ∴∠ADO=∠EDB，

第25页（共33页）

∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°， ∴OD⊥DE，

∴DE为⊙O的切线； （2）∵∠BDE=∠A， ∴∠ABD=∠EBD， 而BD⊥AC，

∴△ABC为等腰三角形， ∴AD=CD=AC=8， 在Rt△ABD中，∵tanA=∴BD=×8=6， ∴AB=

=10，

=，

∴⊙O的半径为5．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了解直角三角形．

23．（8分）（2015?朝阳）某农场急需铵肥8吨，在该农场南北方向分别有一家化肥公司A、B，A公司有铵肥3吨，每吨售价750元；B公司有铵肥7吨，每吨售价700元，汽车每千米的运输费用b（单位：元/千米）与运输重量a（单位：吨）的关系如图所示．

（1）根据图象求出b关于a的函数解析式（包括自变量的取值范围）；

第26页（共33页）

（2）若农场到B公司的路程是农场到A公司路程的2倍，农场到A公司的路程为m千米，设农场从A公司购买x吨铵肥，购买8吨铵肥的总费用为y元（总费用=购买铵肥费用+运输费用），求出y关于x的函数解析式（m为常数），并向农场建议总费用最低的购买方案．

【考点】FH：一次函数的应用．

【专题】12 ：应用题．

【分析】（1）利用待定系数法分别求出当0≤a≤4和当a＞4时，b关于a的函数解析式；

（2）由于1≤x≤3，则到A公司的运输费用满足b=3a，到B公司的运输费用满足b=5a﹣8，利用总费用=购买铵肥费用+运输费用得到y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]?2m，然后进行整理，再利用一次函数的性质确定费用最低的购买方案．

【解答】解：（1）当0≤a≤4时，设b=ka，把（4，12）代入得4k=12，解得k=3，所以b=3a；

当a＞4，设b=ma+n，把（4，12），（8，32）代入得以b=5a﹣8； （2）∵1≤x≤3，

∴y=750x+3mx+（8﹣x）×700+[5（8﹣x）﹣8]?2m =（50﹣7m）x+5600+64m， 当m＞当m=当m＜

时，到A公司买3吨，到B公司买5吨，费用最低； 时，到A公司或B公司买一样；

时，到A公司买1吨，到B公司买7吨，费用最低．

，解得

，所

【点评】本题考查了一次函数的应用：分段函数是在不同区间有不同对应方式的

第27页（共33页）

函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．

24．（10分）（2015?朝阳）问题：如图（1），在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=CB，∠DCE=45°，试探究AD、DE、EB满足的等量关系． [探究发现]

小聪同学利用图形变换，将△CAD绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，连接EH，由已知条件易得∠EBH=90°，∠ECH=∠ECB+∠BCH=∠ECB+∠ACD=45°． 根据“边角边”，可证△CEH≌ △CDE ，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由 勾股 定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是 AD2+EB2=DE2 ． [实践运用]

（1）如图（2），在正方形ABCD中，△AEF的顶点E、F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数；

（2）在（1）条件下，连接BD，分别交AE、AF于点M、N，若BE=2，DF=3，BM=

，运用小聪同学探究的结论，求正方形的边长及MN的长．

【考点】RB：几何变换综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定方法证明Rt△ABE≌Rt△AGE和Rt△ADF≌Rt△AGF，由全等三角形的性质即可求出∠EAF=∠BAD=45°； （2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3．因为CE2+CF2=EF2，所以（x﹣2）2+（x﹣3）2=52．解这个方程，求

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出x的值即可得到AG=6，在（2）中，MN2=MB2+ND2，MN=a，

，所以a=

．即MN=

．

【解答】解：根据“边角边”，可证△CEH≌△CDE，得EH=ED．

在Rt△HBE中，由勾股定理，可得BH2+EB2=EH2，由BH=AD，可得AD、DE、EB之间的等量关系是AD2+EB2=DE2；故答案为：△CDE；勾股；AD2+EB2=DE2； （1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴∠BAE=∠GAE，

同理，Rt△ADF≌Rt△AGF， ∴∠GAF=∠DAF，

∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=90°，

∴∠EAF=∠BAD=45°；

（2）由（1）知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF， ∴BE=EG=2，DF=FG=3，则EF=5， 设AG=x，则CE=x﹣2，CF=x﹣3， ∵CE2+CF2=EF2，

∴（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，

解这个方程，得x1=6，x2=﹣1（舍去）， ∴AG=6， ∴BD=∴AB=6， ∵MN2=MB2+ND2 设MN=a，则所以a=即MN=

， ．

第29页（共33页）

，

，

【点评】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用和一元二次方程的运用，题目的综合性很强，难度不小．

25．（12分）（2015?朝阳）如图，已知经过点D（2，﹣

）的抛物线y=（x+1）

（x﹣3）（m为常数，且m＞0）与x轴交于点A、B（点A位于B的左侧），与y轴交于点C．

（1）填空：m的值为 ，点A的坐标为 （﹣1，0） ；

（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留作图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使∠BAE=∠BAD，过点D作x轴的垂线交射线AE于点E； （3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求ME+MN的最小值；

（4）l是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为点G，请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．

【专题】16 ：压轴题．

【分析】（1）把点D坐标代入抛物线y=（x+1）（x﹣3），即可得出m的值，再令y=0，即可得出点A，B坐标；

（2）根据尺规作图的要求，画出图形，如图1所示；

（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，此时DN的长度即为ME+MN的最小值；

（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，设点P坐标，

第30页（共33页）

再表示出点G坐标，计算△ABD的三边，根据勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，即可得出结论，若△ABD是直角三角形，即可得出相似，再得出对应边成比例，求得点P坐标即可．

【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+1）（x﹣3）经过点D（2，﹣∴m=把m=即y=

，

代入y=（x+1）（x﹣3），得y=x2﹣

x﹣

；

（x+1）（x﹣3），

），

令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0， 解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）； （2）如图1所示；

（3）过点D作射线AE的垂线，垂足为N，交AB于点M，设DE与x轴交于点H，如图2，

由（1）（2）得点D与点E关于x轴对称， ∴MD=ME， ∵AH=3，DH=∴AD=2

，

，

∴∠BAD=∠BAE=30°， ∴∠DAN=60°， ∴sin∠DAN=∴sin60°=∴DN=3，

∵此时DN的长度即为ME+MN的最小值， ∴ME+MN的最小值为3；

， ，

（4）假设存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与△ABD相似，如图3， ∵P是抛物线上一点，

第31页（共33页）

∴设点P坐标（x，∴点G坐标（﹣1，

x2﹣x2﹣

x﹣x﹣

）； ）， ）；

∵A（﹣1，0），B（3，0），D（2，﹣∴AB=4，BD=2，AD=2

，

∴△ABD为直角三角形的形状，

△ABD与以P、G、A为顶点的三角形相似， 分两种情况：

当P点在x轴上方时， ①△ABD∽△PAG， ∴

=

，

（

x2﹣

x﹣

），

∴2（x+1）=2

解得x1=4，x2=﹣1（舍去）， ∴P（4，

）；

②△ABD∽△APG， ∴∴2

=

，

x2﹣

x﹣

），

（x+1）=2（

解得x1=6，x2=﹣1（舍去）， ∴P（6，7

）；

当P点在x轴下方时， ①△ABD∽△PAG， ∴

=

，

（

x2﹣

x﹣

），

∴2（x+1）=﹣2

解得x1=2，x2=﹣1（舍去）， ∴P（2，﹣

）；

②△ABD∽△APG， ∴

=

，

第32页（共33页）

∴2（x+1）=﹣2（

x2﹣

x﹣），

解得x1=0，x2=﹣1（舍去）， ∴P（0，﹣

）；

），（6，7

），（2，﹣

）或（0，﹣

）．

综上可得，点P坐标为（4，

【点评】本题考查了二次函数的综合题，还考查了用待定系数法求二次函数解析式、勾股定理和逆定理以及轴对称﹣最小路径问题等重要知识点，难度较大．

第33页（共33页）

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