第11章典型例题分析2号

典型例

题分析

例11-1已知三个码组为（001010）, (101101), (010001). 若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若同时用于检错和纠错，各能纠、检几位错码？

解：根据三个码组可知码的最小码距为

d0?4。当用于检错和纠错时，由d0

≥t+e+1可得t=1, e=2, 即检测出3位错码，纠正1位错码，。

★例11-2 设线性码的生成矩阵为

?001011???G??100101? ???010110?(1) 求监督矩阵H, 确定（n, k）码组中的n, k;

(2) 写出监督码位的关系式及该(n, k)码的所有码字；

(3) 确定最小码距d0. 解：(1)将生成矩阵G变成典型形式的生成矩阵，即初等行变换将G化为典型阵：

?001011??100G???100101?????010??010110????001

??101?可得矩阵为Q??110????011??， 对应的P?110?矩阵为 P?QT???011????101?? 可得监督矩阵H为

?１１０１００H＝?ＰI??0１１０１０?r?????１０１００１???，由生成矩阵可得n=6, k=3

110(2)由于H?A?0 ,即

TT?a5??a?4??１１０１００???0??a3?????０１１０１０?0????a??2???１０１００１????a???0??1????a0?? 由此可得监督关系

?a５?a４?a2?0??a４?a3?a1?0式为 ?a?a?a?0

30?５设A为许用码组，则

A??a5a4a3??G??a5a4?100?a3??010??001

可计算得该(n, k)码的所有码字如表11-3所示。

（3）由上得出的许用码组可知，该线性码的最小码重d0=3 (全0码除外).

例11-2已知(7, 3)码的生成矩阵G如下，列

出所有许用码组并求监督矩阵

?10011G???01001??00111

解：(1) A=M?，用所有可能的GM

计算后得到：

M A M A 000 0000000 100 1001110 110001 0011101 101 1010011 010 0100111 110 1101001 011 0111010 111 1110100 系统码生成矩阵是

?1001G???0100??0011

由此得监督矩阵：

??10110H??11101??11000?01100

例11-4 已知某线性码监督矩阵如下，列出所有许用码组。

110?111?100???00?00?10??01??

?1110100??1101010??? ??1011001??分析：考察信息码元。监督码元，监督矩阵，

生成矩阵，许用码组等基本概念及相互之间的关系。对于（n，k）分组码，r=n-k。监督矩阵H与生成矩阵G为典型阵，即可写成

T

G=[Ik Q]的形式，则令P=Q，有监督矩阵H=[P Ir]. 反过来，也可由监督矩阵H求出生成矩阵G。

若生成矩阵不是典型阵，则应先通过初等变换，将其化成典型矩阵，再求监督矩阵。生成矩阵Ｇ，许用码组Ａ和信息码元（行向量）Ｍ之间的关系为：A=Ｍ?Ｇ。

解：本题中ｎ＝７，ｒ＝３，ｋ＝４，Ｈ为典型阵，有：

?1110???P??1101??1011?，所以，???1?1Q???1??011011?0??1? ?1?生成矩阵

?1?0G?[IkQ]???0??0010000100001111011011??0?1?? 1?许用码组 A=Ｍ?Ｇ＝

（a6a5a4a3）?G。或者由G可得全部许

用码组：

1000111， 0100110， 0010101， 0001011，1100001， 0011110，1010010，1001100 1110100， 1011001， 0111000, 1101010, 0110011，11011010，1111111，0000000

例11-5设某线性码的生成矩阵为

?110011???G??011101? ??100101??（1）确定（n，k）码中n，k值； （2）

求典型生成矩阵G；

（3）求典型监督矩阵H； （4）列出全部码组；

（5）求d0； （5）列出错误图样表。 解：

（1）由于生成矩阵为k行，n列，因此k=3，n=6，r=3. 本码组为（6，3）码。 （2）对原矩阵作线性变换： ①原矩阵第1行与第3行交换

②原矩阵的第1行+第3行作为新矩阵的第2行

③原矩阵的第1、2、3行之和作为新矩阵的第3行，得典型生成矩阵

?G??100101??010110??001011????，且?101?Q???110??11??0?? （3）

?10p?QT??1??110???,H??11010?01101??011????10100

（4）把生成矩阵取各行相加，可得例11-5表1中码组。

（5）由例11-5表可得d0=3. （6）错误图样见例11-5表2. 校正子有r bit，这里r=3，因而标以S1S2S3。而S1S2S3下面的

内容即为典型监督矩阵的转置HT

（错码位置按高位到低位排列）。

0?0?1???例11-5表1 例

11-5表2 码组编号 a5 a4 a3 a2 a1 a0 错码位置1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 1 1 a5 3 0 1 0 1 1 0 a4 4 0 1 1 1 0 1 a3 5 1 0 0 1 0 1 a2 6 1 0 1 1 1 0 a1 7 1 1 0 0 1 1 a0 无错 8 1 1 1 0 0 0 说明：

①本题为（6，3）码，属线性分组码，是系统码, 编码效率R=1/2.

②d0=3,可纠错一位。纠错时，先由接收码B

T

计算出校正子S=BH，后再查表例11-5表2改错。由于n=6，故表中S的比特图案少了一种（111），它对应于错多位的情况。

例11-6 已知（7，3）循环码的全部码组为（0000000），（0011101），（0111010），（1110100），（1101001），（1010011），

8 0 1 1 1 0 0 0 9 1 0 0 0 1 1 1 10 1 0 0 1 0 0 1 11 1 0 1 0 1 0 0 12 1 0 1 1 0 1 0 13 1 1 0 0 0 1 0 14 1 1 0 1 1 0 0 15 1 1 1 0 0 0 1 16 1 1 1 1 1 1 1 （3）由表可见，d0=3，于是：t=1或e=2.

T

（4）由S=EH, 得：

(S1S2?1?1??0?S3)?(e6e5e4e3e2e1e0)?1?1??0?0?11??01?11??10?00?? 10?01??由此可列出错一位时的错误图样，如例11-7

T（

表2所示，表中内容恰为H除无错时应全为

全为0码外）。

（5）编码效率R=k/n=4/7

于是，输入码元速率=R 输出码元速率=4/7 ?350=200（Bd）

例11-7表2

错S1 S2 S3

码 位置 a1 1 1 6 a5 1 0 1 a4 0 1 1 a3 1 1 0 a2 1 0 0

a1 0 1 0 a0 0 0 1 无0 0 0 错

Cm?n?Am?j?Bj?n

例

附录：矩阵乘法?b11b12??a11a12a13??????b21b22??a21a22a13??b??31b32??a11?b11+a12?b21+a13?b31a11?b12+a1???a21?b11+a22?b21+a23?b31a21?b11+a2?c11c12?????c21c22?

?1??a5a4a3??0??0?[0101100101??10110???01001011??0]?100101????a5a4a3??010110???001??001011???[001011]....

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