微专题：构造函数法解选填压轴题

微专题：构造函数法解选填压轴题

高考中要取得高分，关键在于选准选好的解题方法，才能省时省力又有效果。近几年各地高考数学试卷中，许多方面尤其涉及函数题目，采用构造函数法解答是一个不错的选择。所谓构造函数法是指通过一定方式，设计并构造一个与有待解答问题相关函数，并对其进行观察分析，借助函数本身性质如单调性或利用运算结果，解决原问题方法，简而言之就是构造函数解答问题。怎样合理的构造函数就是问题的关键，这里我们来一起探讨一下这方面问题。

几种导数的常见构造：

1．对于f'?x??g'?x?，构造h?x??f?x??g?x? 若遇到f'?x??a?a?0?，则可构h?x??f?x??ax

2．对于f'?x??g'?x??0，构造h?x??f?x??g?x? 3．对于f'(x)?f(x)?0，构造h?x??exf?x?

4．对于f'(x)?f(x) [或f'(x)?f(x)?0]，构造h(x)?5．对于xf'?x??f?x??0，构造h?x??xf?x? 6．对于xf'?x??f?x??0，构造h?x??f(x) xef?x? x一、构造函数法比较大小

例1．已知函数y?f(x)的图象关于y轴对称,且当x?(??,0),f(x)?xf'(x)?0成立，

a?20.2?f(20.2)，b?log?3?f(log?3)，c?log39?f(log39),则a,b,c的大小关系是 ( )

A.a?b?c B.a?c?b?c C.c?b?a D.b?a

【解析】因为函数y?f(x)关于y轴对称,所以函数y?xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]'?f(x)?xf'(x),

所以当x?(??,0)时,[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0,函数y?xf(x)单调递减, 当x?(0,??)时,函数y?xf(x)单调递减. 因为1?20.2?2,0?1og?3?1,1og39?2,所以0?1og?3?20.2?1og39,所以b?a?c,选D.

f(x)?0， x变式: 已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x)，当x?0时，f'(x)?若a?111f(),b??2f(?2),c?lnf(ln2)，则下列关于a,b,c的大小关系正确的是（ D ） 222A.a?b?c B.a?c?b?c C.c?b?a D.b?a例2．已知f(x)为R上的可导函数，且?x?R，均有f(x)?f?(x)，则有

1

A．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) B．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) C．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) D．e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0) f?(x)ex?(ex)?f(x)f?(x)?f(x)f(x)?【解析】构造函数g(x)?x,则g?(x)?，

(ex)2exe因为?x?R,均有f(x)?f?(x)，并且ex?0，所以g?(x)?0，故函数g(x)?所以g(?2016)?g(0)，g(2016)?g(0)，即

f(x)在R上单调递减， exf(?2016)f(2016) ?f(0)，?f(0)，?20162016ee也就是e2016f(?2016)?f(0)，f(2016)?e2016f(0)，故选D．

变式: 已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)?f'(x)对于任意x?R恒成立，e为自然对数的底数，则（ C ）

A.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0) B.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0) C.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0) D.f(1)?e?f(0)、f(2016)?e2016?f(0)

例3．在数列?an?中，(an)n?1?n?1,(n?N?)．则数列?an?中的最大项为( )．

A．2 B．33 C．55 D．不存在 【解析】由已知a1?2，a2?33，a3?44?2，a4?55 易得a1?a2,a2?a3?a4?....... 猜想当n?2时，?an?是递减数列 又由ann?1?n?1知lnan?lnxln(n?1)，令f(x)?，

xn?11?x?lnx1?lnxx则f?(x)? ?22xx ?当x?3时，lnx?1，则1?lnx?0，即f?(x)?0 ?f(x)在?3,???内为单调递减函数，

?n?2时，?lnan?是递减数列，即?an?是递减数列 又a1?a2，?数列?an?中的最大项为a2?33 故选B． 练习1．已知函数y?f(x)对任意的x?(?A．f(0)???，)满足f?(x)cosx?f(x)sinx?0,则（ ）

222f() B. f(0)?2f(?) C. 2f()?f() D. 2f(?)?f(?)

4334342

??????

提示：构造函数g(x)?f(x)，选D． cosx

二、构造函数法解恒成立问题

例1．若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf?(x)?f(x)?0恒成立，对任意正数a、b，若a?b，则必有（ ）

A．af(b)?bf(a) B．bf(a)?af(b) C．af(a)?bf(b) D．bf(b)?af(a) 【解析】由已知xf?(x)?f(x)?0 ∴构造函数 F(x)?xf(x)，

则F?(x)?xf?(x)?f(x)?0， 从而F(x)在R上为增函数。

?a?b ∴F(a)?F(b) 即af(a)?bf(b)，故选C。

例2．已知f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)≤0，对任意正数a、b，若a?b，则必有（ ）

A．af(b)?bf(a) B．bf(a)?af(b) C．af(a)?bf(b) D．bf(b)?af(a)

f(x)xf'(x)?f(x)f(x)在（0，+∞）上是减函数， 【解析】F(x)?，F?(x)?，故?0F(x)?xxx2由a?b，有f(a)?f(b)，即 af(b)?bf(a)。故选A。 ab

变式1.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)、g'(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足

f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则当a?x?b时，有（ C ） A.f(x)g(b)?f(b)g(x) B.f(x)g(a?)C.f(x)g(x)?f(b)g(b) D.f(x)g(x?)f(a)g (xf(b)g (a变式2. 设函数f(x),g(x)在[a,b]上均可导,且f?(x)?g?(x),则当a?x?b 时，有（ C ） A．f(x)?g(x)

B．f(x)?g(x)

C．f(x)?g(a)?g(x)?f(a) D．f(x)?g(b)?g(x)?f(b)

2例3．设函数f(x)在R上的导函数为f?(x)，且2f(x)?xf?(x)?x，下面不等式恒成立的是（ ）

A．f(x)?0 B．f(x)?0 C．f(x)?x D．f(x)?x 【解析】由已知，首先令x?0得f(x)?0，排除B，D．

令g(x)?xf(x)，则g?(x)?x?2f(x)?xf?(x)?，

2 3

① 当x?0时，有2f(x)?xf?(x)?g?(x)?x2?g?(x)?0， x所以函数g(x)单调递增，所以当x?0时， g(x)?g(0)?0，从而f(x)?0． ② 当x?0时，有2f(x)?xf?(x)?g?(x)?x2?g?(x)?0， x所以函数g(x)单调递减，所以当x?0时， g(x)?g(0)?0，从而f(x)?0． 综上f(x)?0．故选A． 例4． 如果(x?x2?1)(y?y2?1)?1，那么下面的不等式恒成立的是（ ）

A． x?y?0 B．x?y?0 C．xy?0 D．x?y?0 【解析】构造函数f(x)?lg(x? ?(x?x2?1) (x?R)，易证f(x)在R上是奇函数且单调递增

x2?1)(y?y2?1)?1

2 ?f(x)?f(y)?lgx(? =lg[(x?lg(x?+1)y?y2?1)

x2?1)?(y?y2?1)]=lg1 = 0

?f(x)??f(y )即：?f(x)?f(?y)

又?f(x)是增函数 ?x??y 即x?y?0。故选B．

练习1. 已知x?(log10.5)?(?y)?(log10.5)?y，则实数x,y的关系是（ D ）

3313x13A.x?y?0 B. x?y?0 C. x?y?0 D.x?y?0

【解析】构造函数f(x)?x?(log32)x，f(x)是增函数，又f(x)?f(?y)，x?y?0，故选D． 练习2. 已知函数y?f(x)是R上的可导函数，当x?0时，有f?(x)?零点个数是( B )

A.0 B.1 C. 2 D.3 【解析】由F(x)?xf(x)?13f(x)1?0,则函数F(x)?xf(x)?的xx11，得xf(x)??，构造函数g(x)?xf(x)， xxxf?(x)?f(x)f(x)?0 ?0,∴当x?0时，xx则g?(x)?f(x)?x?f(x) ，∵当x?0时，有f?(x)?即当x?0时，g?(x)?f(x)?x?f(x)?0，此时函数g(x)单调递增，此时g(x)?g(0)?0， 当x?0时，g?(x)?f(x)?x?f(x)?0，此时函数g(x)单调递减，此时g(x)?g(0)?0， 作出函数g(x)和函数y??1的图象，（直线只代表单调性和取值范围），x1的零点个数为1个．故选B． x4

由图象可知函数F(x)?xf(x)?

三、构造函数法解不等式

例1.函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f?(x)?2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )

A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)

【解析】构造函数G(x)＝f(x)－2x－4，所以G?(x)?f?(x)?2，由于对任意x∈R，f?(x)?2，

所以G?(x)?f?(x)?2>0恒成立，所以G(x)＝f(x)－2x－4是R上的增函数， 又由于G(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，所以G(x)＝f(x)－2x－4>0， 即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)，故选B.

变式1. 已知函数f(x)(x?R)满足f(1)?1，且f'(x)?1x1，则f(x)??的解集为（ ） 222A. x?1?x?1 B. xx??1 C. xx??1或x?1 D. xx?1

【解析】构造新函数F(x)?f(x)?(?), 则F(1)?f(1)?(?)?1?1?0，

????????112211F'(x)?f'(x)?，对任意x?R，有F'(x)?f'(x)??0，即函数F(x)在R上单调递减，

22x1所以F(x)?0的解集为(1,??)，即f(x)??的解集为(1,??)，选D.

22x212变式2.定义在R上的函数f(x)，其导函数f?(x)满足f?(x)?1，且f?2??3，则关于x的不等式

f?x??x?1的解集为 (??,2) 变式3.已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)?f'(x)对于任意x?R恒成立，且f(1)?e，则

f(x)<1的解集为 (??,1) xexx变式4.函数f(x)的定义域是R，f(0)?2，对任意x?R，f(x)?f?(x)?1，则不等式e?f(x)?e?1的解集为（ A ）

A. {xx?0} B. {xx?0} C. {xx?-1 或x?1} D. {xx??1或0?x?1} 例2 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)?0，当x?0时，有

xf?(x)?f(x)?0恒成立，则不等式2xx2f(x)?0的解集是

解：因为当x＞0时，有所以

xf?(x)?f(x)f(x)?0恒成立，即[]′＜0恒成立，

x2xf(x)在(0,??)内单调递减． x因为f(2)?0，所以在（0，2）内恒有f(x)?0；在(2,??)内恒有f(x)?0． 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以在(??,?2)内恒有f(x)?0；在(?2,0)内恒有f(x)?0．

5

又不等式x2f(x)?0的解集，即不等式f(x)?0的解集．所以答案为(??,?2)∪（0，2）．

变式1. 已知定义在(??,0)上的可导函数，其导函数为f?(x)，且有2f(x)?xf?(x)?x2，则不等式 (x?2014)2f(x?2014)?4f(?2)?0的解集为（ C ）

A(??,?2012) B. (?2012，0) C. (??,?2016) D. (?2016，0) 变式2.函数f(x)的定义域为R，f(?2)?2016，对任意x∈R，都有f?(x)?2x成立，则不等式

f(x)?x2?2012的解集为（ C ）

A. (?2,2) B. (?2,??) C. (??,?2) D. (??,??)

变式3. 设y?f(x)是定义在R上的函数，其导函数为f?(x)，若f(x)?f?(x)?1，f(0)?2017,则不等式f(x)ex?2016?ex的解集为（ D ）

A. (2016,??) B. (??,0)?(2016,??) C. (??,0)?(0,??) D. (0,??)

变式4.函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(?2)?0,且x?0时,f(x)?xf?(x)?0,则不等式

xf(x)?0的解集是___[?2,0]?[2,??)_______（提示：构造的g(x)?xf(x)为奇函数，f(0)?0） g(?3)?0，例4设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集为 (?3,??)

变式1．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，当x?0时，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，

g(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集为 (??,?3)?(0 , 3 . 变式2．已知R上的函数f(x)、g(x)满足

f(x)'x)g(x)?f(x)g('x)?ax，且f(g(x)，若

f(1)(f1)?5??g(1)(g1)?2，

1(0，)则关于x的不等式logax?1的解集为 2 .

变式3. 设奇函数f(x)定义在(??,0)?(0,?)上，其导函数为f?(x)，且f??????0，当0?x??时，?2??????f??x?sinx?f?x?cosx?0，则关于x的不等式f?x??2f??sinx的解集为_(?,0)?(,?).

66?6?（提示：构造的g(x)?f(x)为偶函数） sinx

四、构造函数法求值

6

例1．设f(x)是R上的可导函数，且f'(x)??f(x)，f(0)?1，f(2)?1.则f(1)的值为 . e2提示：由f'(x)??f(x)得f'(x)?f(x)?0，所以exf'(x)?exf(x)?0，即[exf(x)]'?0， 设函数F(x)?exf(x)，则此时有1?F(2)?F(0)?1， 故F(x)?exf(x)?1，f(1)?1 e?变式．已知f(x)的导函数为f'(x)，当x?0时，2f(x)?xf'(x)，且f(1)?1，若存在x?R，使

f(x)?x2，则x的值为 1 .（提示：构造g(x)?例2．已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足

f(x)） 2xf(x)?ax，且f'(x)g(x)?f(x)g'(x)， g(x)?f(n)?31f(1)f(?1)5*??，若有穷数列??(n?N)的前n项和等于，则n等于 5 .

32g(1)g(?1)2?g(n)?解：∵ f'(x)g(x)?f(x)g'(x)，∴[f(x)f?(x)g(x)?f(x)g?(x)]???0， g(x)g2(x)即函数

f(x)f(1)f(?1)5?ax单调递减，∴0＜a＜1．又??， g(x)g(1)g(?1)2即a?151? ∴解得a?或a=2（舍去）． a22∴

f(x)1f(n)1n?()x，即?()， g(x)2g(n)212n11，公比q?的等比数列， 221n1n31∴Sn?1?()，由Sn?1?()?，解得n=5。

2232数列{()}是首项为a1?xg(x)?0，f?(x)?g(x)?f(x)g?(x)，变式1． 已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，且f(x)?ag(x)

（a?0，且a?1）。

?f(n)?f(1)f(?1)5??，若数列??的前n项和大于62，则n的最小值为（ A ） g(1)g(?1)2?g(n)? A 8 B 7 C 6 D 5

x变式2．已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，f(x)g(x)?a，

f(1)g(1)?f(?1)g(?1)?是（ ） A．

5．在区间[?3,0]上随机取一个数x， f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率2C．

1 3B．

3 81 2D．

2 37

解：由题意，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，∴[f(x)g(x) ]'＜0， ∴函数f(x)g(x)在R上是减函数，∵f(x)g(x)?ax，∴0＜a＜1 ∵f(1)g(1)?f(?1)g(?1)?5． ∴a?1?5∴a?1

a222∵f(x)g(x)的值介于4到8，∴x?[?3,?2]

∴在区间[?3,0]上随机取一个数x，f(x)g(x)的值介于4到8之间的概率是P?

1

，故选A． 3

【模型总结】

关系式为“加”型

（1）f'(x)?f(x)?0 构造[exf(x)]'?ex[f'(x)?f(x)] （2）xf'(x)?f(x)?0 构造[xf(x)]'?xf'(x)?f(x)

（3）xf'(x)?nf(x)?0 构造[xnf(x)]'?xnf'(x)?nxn?1f(x)?xn?1[xf'(x)?nf(x)]

（注意对x的符号进行讨论）

关系式为“减”型

f(x)f'(x)ex?f(x)exf'(x)?f(x)（1）f'(x)?f(x)?0 构造[x]'? ?e(ex)2ex（2）xf'(x)?f(x)?0 构造[f(x)xf'(x)?f(x)]'? 2xxf(x)xnf'(x)?nxn?1f(x)xf'(x)?nf(x)（3）xf'(x)?nf(x)?0 构造[n]'? ?x(xn)2xn?1（注意对x的符号进行讨论）

构造函数法是在求解某些数学问题时，根据问题的条件或目标，构想组合一种新的函数

关系，使问题在新函数下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数法解题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uik3.html