高三数学极限与探索性问题的解题技巧

专题九 极限与探索性问题的解题技巧

【命题趋向】

综观历届全国各套高考数学试题，我们发现对极限的考查有以下一些知识类型与特点： 1．数学归纳法

①客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)．

②解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目

③数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧，这一点要高度注意． 2. 数列的极限

①客观性试题主要考查极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，直接运用四则运算法则求极限．

②解答题大多结合数列的计算求极限等，涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目. ③数列与几何：由同样的方法得到非常有规律的同一类几何图形，通常相关几何量构成等比数列，这是一类新题型． 3．函数的极限

①此部分为新增内容，本章内容在高考中以填空题和解答题为主．应着重在概念的理解，通过考查函数在自变量的某一变化过程中，函数值的变化趋势，说出函数的极限． ②利用极限的运算法则求函数的极限进行简单的运算． ③利用两个重要极限求函数的极限．

④函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点. 4.在一套高考试题中，极限一般分别有1个客观题或1个解答题，分值在5分—12分之间． 5.在高考试题中，极限题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，

因而极限题是高考中的得分点． 6.注意掌握以下思想方法

①极限思想：在变化中求不变，在运动中求静止的思想；

②数形结合思想，如用导数的几何意义及用导数求单调性、极值等.

此类题大多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高． 【考点透视】

1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．了解数列极限和函数极限的概念．

3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． 【例题解析】 考点1 数列的极限

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列{an}以a为极限. 注意：a不一定是｛an｝中的项.

2.几个常用的极限：①limC=C（C为常数）;②lim1=0;③limqn=0（|q|＜1）.

n??n??nn??3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝， 当liman=a, limbn=b时，lim （an±bn）=a±b;

n??n??n??例1. ( 2006年湖南卷）数列{an}满足:a1?1,且对于任意的正整数m,n都有am?n?am?an,则

3lim(a1?a2???an)? ( )

n??A.1 B.2 C.3 D.2

232[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn?0(q?1) 的应用.

n??[解答过程]由a1?1和am?n?am?an得a2?1,a3?1,?an?1n.

3927311(1?n)3?1.?lim(a1?a2?????an)?lim3x??x??12 1?3故选A.

例2．（2006年安徽卷）设常数a?0，?ax2?1?展开式中x3的系数为3，则

??2x??nlima(?a2?????a?)_____. n??4[考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数, 再求极限的能力.

r4?r8?2r[解答过程] Tr?1?C4axx1?r22，由x8?rx2?x,3得?r2,由C4ra4?r=3知a=1，所以

1?r2211. 2lima(?a?????na?)2?，所以为1n??11?2例3. （2007年福建卷理）把1?(1?x)?(1?x)2???(1?x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则lim2an?1等于( )

n→?

an?1

（ ） A．1

4B．1

2C．1 D．2

[考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式limqn?0(q?1) 的应用.

n??[解答过程] 当x?1时,an?1?(1?x)?(1?x)2???(1?x)n?1?2?22???2n?1?2?2n?1,

1?22an?12(2n?1)?12n?1?11∴lim?limn?lim?lim(2?n)?2. nn→?a?1n→?(2?1)?1n→?n→?22nn故选D

例4. (2007年天津卷理)设等差数列?an?的公差d是2，前

2an?n2 ． lim?n??Snn项的和为Sn，则

思路启迪：由等差数列?an?的公差d是2，先求出前n项的和为Sn和通项an． [解答过程] an?a?(n?1)2?2n?2?a,Sn?na?2n(n?1)?n2?(a?1)n,

22a(2??)2?12a?n(2n?2?a)?nnn∴lim?lim?lim?3. 2n??n??n??a?1Snn?(a?1)n1?n2n222故填3 小结:

1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：

（1）各数列的极限必须存在；

（2）四则运算只限于有限个数列极限的运算. 2.熟练掌握如下几个常用极限： （1） limC=C（C为常数）;

n??（2） lim（1）p=0（p＞0）;

n??nk（3） liman?b=a（k∈N *,a、b、c、d∈R且c≠0）;

n??cnk?dc（4） limqn=0（|q|＜1）.

n??例5. (2007年重庆卷理)设正数a, b满足 解

（A）0

（B）1

4:

an?1?abn?1（ ） 则

lim(x?ax?b)?4limn?1n?2x?2n??a?2b（C）1

2（D）1

a1∵lim(x2?ax?b)?4,∴4?2a?b?4,∴?.x?2b2则lima?abx??an?1?2bnn?1n?1a1a[()n?1?1]a[()n?1?1]a1 b2?lim?lim??.x??x??an?11n?12b4()?2b()?2bb2故选B

小结:重视在日常学习过程中运用化归思想. 考点2 函数的极限 1.函数极限的概念：

（1）如果limf（x）=a且limf（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极

x???x???限是a,记作limf（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.

x??（2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作limf（x）=a,也可记作

x?x0

当x→x0时，f（x）→a.

（3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作lim?f （x）=a.如果从点x=x0右侧

x?x0（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数 f （x）在点x0处的右极限，记作lim?f（x）=a.

x?x02.极限的四则运算法则：

如果limf （x）=a, limg（x）=b,那么

x?x0

x?x0x?x0

lim[f（x）±g（x）]=a±b; lim[f（x）2g（x）]=a2b; limf(x)=a（b≠0）.

x?x0

x?x0

g(x)b32例6．(2007年江西卷理) limx?x=( )

x?1x?1 A．等于0 B．等于l C．等于3 在

[考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力.

322[解答过程] limx?x?limx(x?1)?limx2?1.故选B

x?1D．不存

x?1x?1x?1x?1例7．(2007年四川卷理) lim

（A）0

x2?1?( )

n?12x2?x?1（B）1

（C）1

2（D）2

3[考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力. [解答过程] lim故选D

例8.若f （x）=x?1?1在点x=0处连续，则f （0）=__________________.

3x2?1(x?1)(x?1)x?12

?lim?lim?.n?12x2?x?1n?1(2x?1)(x?1)n?12x?13x?1?1思路启迪：利用逆向思维球解.

解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=limf （x）,

x?0limf （x）= limx?0x?0x?1?1 =

3limx?03x?1?1(x?1)2?3x?1?1=3.

2x?1?1答案: 3

2例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,且limf （x）=0,limf （x）=－3,求这一函

x?1x??2数最大值..

思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数,利用f （－x）=f （x）构造方程,求出b的值.

解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数, ∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c. ∴b=0.∴f （x）=ax2+c.

由an?2bn?1可知,若liman存在,则limbn存在,于是可得0?|t|?1,

n??n??2 所以?2?t?2且t?0. liman?2limbn?2.

n??n??2?t

解法三：由题设知tbn?1?2bn?1，即 bn?1?tbn?1，

22①

于是有

bn?2?tbn?1?1,

22②

②－①得bn?2?bn?1?t(bn?1?bn),令cn?bn?1?bn，得

2 cn?1?tcn. 222

由f(b)?g(b),t?2,t?0可知c1?b2?b1?(t?2)b?1?0,t?0, 所以{cn}是首项为b2?b,公比为t的等比数列，于是

2t1?()n2(b?b)?b,bn?1?(c1?c2???cn)?b1?21t 1?2t4[1?()n]2(b?b)?2b.an?2bn?1?212?t 又liman存在,可得0?|t|?1,所以?2?t?2且t?0.

n??2 liman?4(b2?b1)?2b?2.

n??2?t2?t

说明：数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以上评分标准.

（Ⅱ）证明：因为g(x)?f?(x),所以an?g(bn?1)?f?1(bn?1),即bn?1?f(an). 下面用数学归纳法证明an?1?an(n?N*). （1）当n?1时,由f(x)为增函数,且f(1)?1，得 b?f(a)?f(1)?1,

21a2?f(b2)?f(1)?a1,a1?f(b1)?f(1)?1, 即a2?a1，结论成立.

（2）假设n = k时结论成立，即ak?1?ak.由f(x)为增函数，得 f(ak?1)?f(ak),即bk?2?bk?1， 进而得

f(bk?2)?f(bk?1),即ak?2?ak?1. 这就是说当n = k +1时，结论也成立.

根据（1）和（2）可知，对任意的n?N*,an?1?an.

例20.(2006年广东卷）已知公比为q(0?q?1)的无穷等比数列{an}各项的和为9，无穷等比数列{a2n}各项的和为81.

5(Ⅰ)求数列{an}的首项a1和公比q；

(Ⅱ)对给定的k(k?1,2,3,???,n),设T(k)是首项为ak，公差为2ak?1的等差数列.求数列T(k)的前10项之和；

(Ⅲ)设bi为数列T(i)的第i项，Sn?b1?b2?????bn，求Sn，并求正整数m(m?1)，使得limSnn??m存在且不等于零.

(注：无穷等比数列各项的和即当n??时该无穷数列前n项和的极限)

[考查目的]本题考查运用等比数列的前n项和公式，从已知的条件入手列方程组求出等比数列的公比和首项.

?a1?9?a1?3,1?q[解答过程] (Ⅰ)依题意可知,? ????2?2?a1?81??q?3.2?5?1?q2?(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an?3?????3?d?2a2?1?3,S10?10?2?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差

(2)1?10?9?3?155,即数列T的前10项之和为155. 2i?12?(Ⅲ) bi=ai??i?1??2ai?1?=?2i?1?ai??i?1?=3?2i?1?????3??2?n?n?1?，limSn=limSn?45??18n?27????n??n??nm2?3?n??i?1?，

?4518n?27?2?nn?n?1??

?.?????mm?nm?n32n????当m=2时，limSn=－1，当m>2时，limSn=0，所以m=2.

n??nm2n??nm

【专题训练与高考预测】 一.选择题

1.下列极限正确的个数是

nn①lim1=0（α＞0）;②limqn=0;③lim2?3=－1 ; ④limC=C（C为常数）

n??n?n??n??2n?3nn??A.2 B.3会 C.4 D.都不正确

2.下列四个命题中正确的是

A.若liman2＝A2，则liman＝A B.若an＞0，liman＝A，则A＞0

n??n??n??C.若liman＝A，则liman2＝A2 D.若lim（an－b）＝0，则liman＝limbn

n??n??n??n??n??3.lim?f（x）=lim?f（x）=a是f（x）在x0处存在极限的( )

x?x0x?x0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2xx?1,下列结论正确的是( ) 4.f（x）=???0x?1,A.limf(x)=limf（x） B.limf(x)=2，limf(x)不存在 ???x?1?

x?1x?1x?1C.limf （x）=0, limf(x)不存在 D.limf （x）≠limf （x）

x?1?x?1?x?1?

x?1?5.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是( )

yyOx0xOx0x①yy②Ox0xOx0x③④

A.① B.②③ C.①④ D.③④ 6.若f（x）在定义域［a,b］上有定义,则在该区间上( )

A.一定连续 B.一定不连续 C.可能连续也可能不连续 D.以上均不正确 7.已知Limann??2?cnbn2?c?5,Limn??bn?c1，如果?cn?a3bc≠0，那么Limann??2cn2?an?b?bn?c=( )

A、 15 B、

1 C、3515 D、5

3,r?R}

8.若r为实常数，则集合{x|x?Limn??|r|n1?|r|nA、恰有一个元素B、恰有两个元素 C、恰有三个元素 D、无数多个元素 9.若limf(x?1)?1,则limx?1?（C）

x?1f(2?2x) x?1x?1

A．－1 B．1 C．－1 D．1

222x?3,x?1，下面结论正确的是（ ） 10. 已知f?x?????2,x?1A.f?x?在x?1处连续 B.f?x??5 C.limf?x??2 D.limf?x??5

x?1?x?1?二.填空题

11.四个函数:①f（x）=1;②g（x）=sinx;③f（x）=|x|;④f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0

x处连续的函数是____________.（把你认为正确的代号都填上） 12.下四个命题:

①f（x）=1在［0,1］上连续;

x②若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值; ③lim2sin2x=4;

x?π2cosx?x④若f（x）=????x?1(x?0),则limf（x）=0.

x?0(x?0).其中正确命题的序号是____________.（请把你认为正确命题的序号都填上） 13.则a=______，b=______.

14.函数f(x)在（0，+∞）内满足f’(x)>0，f(0)>0，则Lim2[f(3)]n??nn?3[f(??)]nn=_________.

4[f(3)]?5[f(??)]15. limn?2=__________.

n??1?2???nn??216. limn?2n=____________.

2n2?3三.解答题

17.求下列函数极限:

4①limx?1; ②lim1?x?3; ③limx?a?x?a(a?0). x?1x??83x?2x?ax?1x2?a2?18. .数列{an}的首项为a1=1,且对任意n∈N*,an与an+1恰为方程x2－bnx+cn=0的两根,其中0＜|c|＜1,当lim（b1+b2+…+bn）≤3,求c的取值范围.

n??

【参考答案】

一. B 1.提示:①③④正确.

2. C 提示:排除法，取an＝（－１）n，排除A； 取an＝1，排除Ｂ；取an＝bn＝n，排除D．

n3. C 4. D 5. A

6. C 提示：有定义不一定连续. 7. D 8. C 9.C 提示：

limx?1x?111

?lim??.f(2?2x)x?1?2limf(x?1)2x?1x?110.D 提示: limf?x??f(1)?2?1?3?5.

x?1?故选D.

二. 11.②③④; 12.③; 13. a=22b=4 ; 14. ?3 ;

512?215. 提示：原式=limn?2=limnn=0.

n??n(n?1)n??1n?22216. 提示：:原式=limn??2n=32?2n1?1. 24三.17. 解:①limx?1?limx?1x?111x?1?lim4?. x?1x?1(4x?1)(4x?1)x?124323 ②lim1?x?3?lim(1?x?3)(1?x?3)(x?2x?4) 332x??8x?2x??8(3x?2)(x?23x?4)(1?x?3)323 ?lim?(x?8)(x?2x?x??84 )(x?8)(?1x?3)?x2?23x?4??limx??81?x?33??2.

③ limx?a?x?a?lim(x?a?x?a)

x?ax?ax2?a2x2?a2x2?a2? ?lim(x?a)(x?a)x?a?limx?a?x?ax?ax?a(x?a)x?a?1 x?a ?limx?a?x?a12a

?.?2ax?a(x?a)2a (3)当x??时，求有理(无理)分式的极限只需比较分子分母最高项的系数.即当a0?0,b0?0,m和n为非负整数时,有

?a0?b,0mm?1? lima0x?a1x???am???0,x??bxn?bxn?1???b01n?????,n?m,n?m, n?m.18. 解：首先,由题意对任意n∈N*,an2an+1=cn恒成立. ∴an?1?an?2=an?2=can?an?1n?1nanc=c.又a12a2=a2=c.

∴a1,a3,a5,?,a2n－1,?是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,?,a2n,?是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立. ∴bn?2=an?2?an?3=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,

bnan?an?1∴b1,b3,b5,?,b2n－1,?是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,?,b2n,?是首项为2c,公比为c的等比数列,

∴lim （b1+b2+b3+?+bn）= lim（b1+b3+b5+?）+ lim（b2+b4+?）

n??n??n??=1?c+2c≤3.

1?c1?c

?a0?b,0mm?1? lima0x?a1x???am???0,x??bxn?bxn?1???b01n?????,n?m,n?m, n?m.18. 解：首先,由题意对任意n∈N*,an2an+1=cn恒成立. ∴an?1?an?2=an?2=can?an?1n?1nanc=c.又a12a2=a2=c.

∴a1,a3,a5,?,a2n－1,?是首项为1,公比为c的等比数列,a2,a4,a6,?,a2n,?是首项为c,公比为c的等比数列.其次,由于对任意n∈N*,an+an+1=bn恒成立. ∴bn?2=an?2?an?3=c.又b1=a1+a2=1+c,b2=a2+a3=2c,

bnan?an?1∴b1,b3,b5,?,b2n－1,?是首项为1+c,公比为c的等比数列,b2,b4,b6,?,b2n,?是首项为2c,公比为c的等比数列,

∴lim （b1+b2+b3+?+bn）= lim（b1+b3+b5+?）+ lim（b2+b4+?）

n??n??n??=1?c+2c≤3.

1?c1?c

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