3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案

3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域 教案

一、教学目标：

1．知识目标：能做出二元一次不等式（组）所表示平面区域；会把若干直线围成的平面区域用二元一次不等式组表示．

2．能力目标：培养学生用数形结合思想分析问题、解决问题的能力； 3．情感目标：体会数学的应用价值，激发学生的学习兴趣． 二、教学重点、难点：

重点：二元一次不等式（组）表示的平面区域 难点：用二元一次不等式（组）表示平面区域． 三、教学方法与手段

本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学． 四、教学过程 （一）自主学习

自主学习，结合课本思考给出的问题 （二）讲授新课

1．二元一次不等式（组）的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式．

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组． 注意：二元一次不等式（组）是根据未知数的个数和未知数的最高次数加以区分．

2．探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间 二元一次方程表示的是什么图形？ 直线

思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？

问题一：平面直角坐标系中不在直线上的点被直线Ax?By?C?0分为几部分？ 两部分 以x?y?1?0为例进行直观说明，引出以下概念：

每部分叫做开半平面，开半平面与直线的并集叫做闭半平面．

以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的区域或不等式的图象． 如何求二元一次不等式表示的平面区域？

我们先研究具体的二元一次不等式x?y?1?0的解集所表示的图形． 问题二：平面内所有的点被直线x?y?1?0分成几类？ 如图：在平面直角坐标系内，x?y?1?0表示一条直线． 平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x?y?1?0上的点；

O y 1 1 x 第二类：在直线x?y?1?0左下方的区域内的点； 第三类：在直线x?y?1?0右上方的区域内的点． 问题三：每部分中的点都有哪些特点？ 在直线的上方、下方取一些点： 上方：（0，2），（1，3），（0，5），（2，2） 下方：（-1，0），（0，0），（0，-2），（1，-1）

分别把点的坐标代入式子x?y?1中，会有什么结果？

直线上方的点使的x?y?1?0；直线下方的点使的x?y?1?0． 猜想：直线同侧点的坐标是否使式子的值具有相同的符号？

问题四：直线x?y?1?0右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？

x?y?1?0；x?y?1?0．

由学生自行归纳总结，不要求证明．

结论：直线Ax?By?C?0把平面直角坐标系中不在直线上的点分为两部分，同一侧点的坐标使式子Ax?By?C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使式子Ax?By?C的值符号相反，一侧都大于0，一侧都小于0．

问题五：如何判断Ax?By?C?0表示直线Ax?By?C?0哪一侧平面区域？ 根据以上结论，只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从

Ax0?By0?C的正负即可

判断不等式Ax?By?C?0表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法． 概括为： “直线定界，特殊点定域”．

特别地，当C?0时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”．

问题六： Ax?By?C?0表示的平面区域与Ax?By?C?0表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？

把直线画成实线以表示区域包含边界直线； 把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线． （三）应用新知，练习巩固

例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：

3x?2y?6?0 2x?3y?6?0

例2．画出下列不等式组所表示的平面区域 （1）

（2）

（1）

（2）

例三：画出下面不等式组所表示的平面区域

（四）课堂小结

知识上：1．二元一次不等式（组）表示平面区域 2．判定方法: “直线定界，特殊点定域”．

小诀窍：如果C≠0,可取(0,0)； 如果C＝0,可取(1,0)或(0,1)． 思想方法上：数形结合的数学思想方法． （五）布置作业

教材89页练习B组1、2．

教学反思

新的课程标准要求教师在教学过程中，注重知识的产生过程学，让学生在探索、发现、验证和总结的过程中建构知识体系，同化或顺应个体的认知结构。

本节课是在学生建构了二元一次方程表示直线的基础上，进一步研究二元一次不等式表示的平面区域，是对方程和不等式关系的进一步研究．学生对二元一次不等式表示的图形是什么这个问题比较困惑，理解起来有一定困难。所以本节课的在设计上遵循了由直观到抽象，先实验探索猜想，再进行适当的推理论证的思路，并在此过程中指导学生递进式加深理解，掌握方法。希望在这种教学设计下，学生能体会到方程与不等式的关系，能把数学符号语言顺利翻译成图形直观语言，为下一步利用图形解决线性规划问题打下基础。

一、教学目标设计。充分考虑到学生现有认知结构的情况，把知识与技能目标定为：“了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式（组）的解集的概念；了解二元一次不等式（组）的解集所表示的图形为平面区域．会根据二元一次不等式（组）作出所表示的平面区域．”。从学生情况看，这个教学目标的设定是合理的，符合学生实际，教学中达成了这个目标。在学生学习过程中注重知识的产生和形成过程，把学习方法和学科方法融汇在整个教学的过程中，即：从直观到抽象，从具体到一般，探索、发现和论证。在情感和态度上，培养学生耐心细致，认真分析，努力探索的态度和精神．

教学过程中较好地把握了从直观到抽象，先探索发现，再进行逻辑推理论证这条主线，实施的效果较好。

二、学生主体地位落实较好。为了在教学过程中充分体现学生的主体地位和教师的主导作用，调动学生积极参与，我从数学实验入手，观察直线同侧区域点的坐标的计算值，比较这个值所满足的不等式，引导学生大胆提出猜测，通过计算验证的方法进行归纳总结，进一步推广到一般的情形．在例题的讲解过程中，注重先由学生自主分析讨论，统一认识后，教师再指导学生完成作图，对关键点或难点及时进行点拨和点评，使学生感受到成功的喜悦。

三、本节课较为满意的教学环节是在问题的呈现上，从直观到抽象，从特殊到一般，先探索发现，后推理验证。这是由认知规律所决定的。学习者要理解、接纳一种新的知识或方法，必须建立在其原有的认知结构基础之上，不能凭空产生。所谓简单，指的是原有认知结构已经存在的认知。为此，在教学过程中注重从学生已经掌握的二元一次方程的基础上，通过数学演示实验的观察，发现直线的同一侧的点的坐标都满足同一个二元一次不等式，进一步猜测、推广到一般情形，使学生能接受（够得到），能理解，能掌握。

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