第二章5线性方程组解的一般理论

线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

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线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

§5 线性方程组解的一般理论

一、线性方程组有解判定定理 二、齐次线性方程组解的结构 三、非齐次线性方程组解的结构

线性方程组有解判定,导出齐次方程组,基础解系

一、线性方程组有解判定定理

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , n aij x j bi ,1 i m. j 1 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm . a11 a12 a1n b1 a11 a12 a1n a a a22 a2 n A 21 a22 a2 n b2 . 21 A am1 am 2 amn bm am1 am 2 amn 3 系数矩阵 增广矩阵

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a11 a12 a1n b1 a a22 a2 n b2 21 A . am1 am 2 amn bm a11 a12 a1n b1 a a a b 21 , 22 , , 2 n , 2 1 2 n am 1 am 2 amn bm

x1 1 x2 2 xn n .

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定理 线性方程组有解的充要条件是系数矩阵 的秩和增广矩阵的秩相等. 证明( )设线性方程组有解x1, …,xn,则有

x1 1 x2 2 xn n .于是 { 1 , , n } ~ { 1 , , n , } ,故 r ( A) r ( A) .

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( ) 设 r ( A) r ( A) r ,不妨设

1 , , r 是

1 , , n 的一个极大线性无关向量组,由于r ( A) r ( 1 , , n , ) r

故 1 , , r 也是 1 , , n , 的一个极大线性

无关向量组,故 可以由 1 , , r 线性表示 ,当 然可以由 1 , , n 线性表示,即线性方程组有 解.

推论 如果 r ( A) r ( A) n ,则方程组有唯一解.6

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二、齐次线性方程组解的结构(重点) a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0, (*) am1 x1 am 2 x2 amn xn 0.

定义 线性方程组(*)的解 x1 k1 , , xn kn 组成的向量 k1, ,kn) ( 称为解向量,简称解.类似定义非齐次线性方 程组的解向量.

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齐次线性方程组解的性质: (1)如果 ( k1 , , kn ), ( l1 , , ln ) 是(*)的解,则 是(*)的解. (2)如果 ( k1 , , kn ) 是解,则 k 是解. 证明 (1) k1 1 kn n , l1 1 ln n , 两式相加得 ( k1 l1 ) 1 ( kn ln ) n . 即 是解. k1 1

kn n o, k (k1 1 kn n ) k , (kk1 ) 1 ( kkn ) n o. 由(1)和(2)得齐次方程组解的线性组合还是解. 8

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定理 如果r(A)=r<n,则存在齐次方程组(*)的解 1 , , n r 具有性质:(1) 1 , , n r 线性无关; (2)(*)的任意解 是 1 , , n r 的线性组合. 证明系数矩阵的列向量记为 1 , , n ,不妨 设 1 , , r 为其极大线性无关组, r 1, , n 可以用 1 , , r 线性表示.把齐次方程写成向 量形式

x1 1 xn n ,

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或其等价形式:

x1 1 xr r xr 1 r 1 xn n . kr 1 r 1 kn n

任取 xk 1 kr 1 , , xn kn,,

可以用 1 , , r线性表示,即存在唯一,k1 , , kr 使 得 k k k k .1 1 r r r 1 r 1 n n

即 ( k1 , , kn )是解.取解 1 ( , , ,1,0, ,0),

1

( , , ,0,1, ,0),10

n r ( , , ,0,0, ,1),

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(1)这n-r个解向量线性无关. 设

k1 1 kn r n r ( , , , k1 , , kn r ) ,则 k1 0, , kn r 0 ,故 1 , , n r 线性无关.(2)任一解是 1 , , n r 的线性组合. 任取解

( l1 , , lr , lr 1 , , ln ).令 lr 1 1 ln n r ( , , , lr 1 , , ln ),

是解,并且后n-r个分量与 相同, 故 . 即 是 1 , , n r 的线性组合.11

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定义 如果齐次方程组(*)的解向量 1 , , s 具有性质: (1) 1 , , s 线性无关;

(2)(*)的任意解 是 1 , , s 的线性组合. 则 1 , , s 称为(*)的一个基础解系.上述定 理说明r(A)<n时,(1)(*)具有基础解系; (2)任何基础解系都有n- r(A)个向量.12

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例 求下列齐次方程组的一个基础解系:

3 x1 x2 6 x3 4 x4 2 x5 0, 2 x1 2 x2 3 x3 5 x4 3 x5 0, x 5 x 6 x 8 x 6 x 0. 2 3 4 5 1解 r(A) ≦3<5,齐次方程组有无穷多解. 6 4 2 0 3 1 A 2 2 3 5 3 0 1 5 6 8 6 0 1 0 1 1 3 1 2 2 3 5 3 0 1 5 6 8 6 0

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1 2 1 1 0 0 1 0 0

1 3 2 5 6 1 3 4 3 4 3 1 3 1 0 3 4 0

1 8 1 7 7 1 7 4 0

3 5

1 0 3 0 6 0 1 0 5 0 5 0 1 0 5 0 4 0 0

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9 1 0 4 0 1 3 4 0 0 0 r ( A) 2,

3 4 7 4 0

1 4 5 4 0

0 . 0 0

基础解系含5-2=3个向

量.15

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1 0 0

0 1 0

9 4 3 4 0

3 4 7 4 0

1 4 5 4 0

0 0 . 0

相应齐次方程组

9 3 1 x1 x3 x4 x5 , 4 4 4 3 7 5 x x x x . 2 3 4 5 4 4 4

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9 3 1 x1 4 x3 4 x4 4 x5 , 3 7 5 x x x x . 3 4 5 2 4 4 4令 ( x3 , x4 , x5 ) (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) 得基础解系9 3 3 7 1 5 1 ( , ,1,0,0), 2 ( , ,0,1,0), 3 ( , ,0,0,1). 4 4 4 4 4 4

一般解

c1 1 c2 2 c3 3 .17

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三、非齐次线性方程组解的结构 同时考虑非齐次线性方程及其导出齐次线性方程 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , (*) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm .

a11 x1 a12 x2 a1n xn 0, a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0, (**) am1 x1 am 2 x2 amn xn 0.

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方程组(*)和(**)解的关系: (1)如果 (k1 , , kn ) 和 (l1 , , ln ) 分别是(**)和 (*)的解,则 是(*)的解. (2)如果 (l1 , , ln ) 和 ( l1 , , ln )是(*)的解,则

是(**)的解.k1 1 kn n , l1 1 ln n , 证明 (1) k1 1 kn n l1 1 ln n ( k1 l1 ) 1 ( kn ln ) n .

(2) l1 1 ln n , l1 1 ln n , (l1 l1 ) 1 ( ln ln ) n .

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定理 设 r ( A) r ( A) r n, 0 是(*)的一个特解， 1 , , n r 是(**)的一个基础解系，则(*)的任意 解 可以表示为

0 c1 1 cn r n r .例 求下列线性方程组的一般解

x1 3 x2 3 x3 2 x4 x5 3, =2, 2 x1 6 x2 x3 3 x4 x1 3 x2 2 x3 x4 x5 1, 3 x 9 x 4 x 5 x x 5. 2 3 4 5 1

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解 对于方程组的增广矩阵进行初等行变换

1 2 A 1 3 1 0 0 0

3 6 9 3 3

3 1 4

2 3

1 0 1 1 2 2 2

3 2 1 1 5 2 1 1 1

0 5 0 5 0 5

3 2 1 5 3 4 4 4

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