23887《数字图像处理（第3版）》习题解答（上传）(1)

第 2 章 图像处理基本知识 ·················································································4

胡学龙编著

《数字图像处理（第 3 版）》 思考题与习题参考答案

目 录

第 1 章 概述 ···································································································1

第 3 章 图像的数字化与显示 ··············································································7

第 4 章 图像变换与二维数字滤波 ······································································10

第 5 章 图像编码与压缩 ··················································································16

第 6 章 图像增强 ···························································································20

第 7 章 图像复原 ···························································································25

第 8 章 图像分割 ···························································································27

第 9 章 数学形态学及其应用 ············································································31

第 10 章 彩色图像处理 ···················································································32

第1章 概述

1.1 连续图像和数字图像如何相互转换？

答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。这样，数字图像可以 用二维矩阵表示。将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。图像的数字 化包括离散和量化两个主要步骤。在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅 度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。

1.2 采用数字图像处理有何优点？

答：数字图像处理与光学等模拟方式相比具有以下鲜明的特点：

1．具有数字信号处理技术共有的特点。（1）处理精度高。（2）重现性能好。（3）灵活性 高。

2．数字图像处理后的图像是供人观察和评价的，也可能作为机器视觉的预处理结果。 3．数字图像处理技术适用面宽。 4．数字图像处理技术综合性强。

1.3 数字图像处理主要包括哪些研究内容？

答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、 编码、恢复、重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的 图像。

1.4 说出图像、视频（video）、图形（drawing）及动画（animation）等视觉信息之间 的联系和区别。

答：图像是用成像技术形成的静态画面；视频用摄像技术获取动态连续画面，每一帧可 以看成是静态的图像。图形是人工或计算机生成的图案，而动画则是通过把人物的表情、动 作、变化等分解后画成许多动作瞬间的画幅，再用摄影机连续拍摄成一系列画面，给视觉造 成连续变化的图画。视频和动画都利用了视觉暂留原理。

1.5 如何在你的显示器上观测图像的像素？1 台笔记本的屏幕分辨率为 1366×768，长宽 比例是 4:3、16:9 还是 16:10？屏幕分辨率（以像素每英寸（DPI）为单位）是多少？选择一 个高分辨率图像、一个低分辨率图像，比较分别观察到像素时图像的放大倍数的差异。

答：可先拷屏，按照图 1.2 放大局部图像的方法观测图像。屏幕分辨率为 1366×768，表 示宽高比为 1.7786:1，而 4:3 = 1.3333:1，16:9 = 1.7778:1，16:10 = 1.6:1。可见，此屏幕的宽高 比最接近 16:9。

1.6 如何在你的计算机上查看图像文件的各种属性？

答：在 Windows 操作系统下，鼠标指针指向文件名，可看到图像文件的“项目类型”、 标 记”、“分级”、“尺寸”、“大小”和“标题”属性（图 1.6a）。右击图像文件名，单击弹出菜单 的“属性”命令，可以看到“常规”和“详细信息”两个标签，其中“常规”标签指出文件

名、存放“位置”、“时间”、文件“属性”等信息。“详细信息”指出“说明”、“来源”、“图 像”、“照相机”、“高级照片”、“文件”等信息。

1

（a）鼠标指针指向文件名

（b）常规

题 1.6 图 图像属性

（c）详细信息

1.7 讨论在你的智能手机中哪些功能应用了图像处理技术。

答：根据手机功能和智能程度的不同，有彩信、视频、相机、游戏、二维码扫描、名片

识别等。

1.8 设图 1.17 的文件名为“microscopic.jp2”或“microscopic.jpg”，尺寸为 4140×3096。 针对本图像，讨论可以进行哪些图像处理和图像分析操作？

答：处理方面：（1）对图像进行二维变换，观察图像的频谱；（2）图像增强：由于光照 不均匀，可以通过增强手段，图像暗处得到照度补偿； 3（ ）图像编码：可以用 DCT 编码的 JPEG 格式存放 JPEG 图像，也可用 DWT 编码存放 JPEG2000 图像；（4）图像分割：将感兴趣的目 标从背景中分割出来，以便做进一步分析处理。

图像分析：（1）对观测对象进行形状分析；（2）对不同大小的颗粒做分布分析。

1.9 讨论数字图像处理的主要应用。进一步查找资料，写一篇关于你感兴趣的应用方面 的短文。

答：图像处理的应用几乎渗透科学研究、工程技术和人类社会生活的各个领域。教师可 以分组对学生布置以下 6 个方面的课题，通过阅读参考文献、网络资源等手段写数字图像处

2

理的主要应用的短文，并安排交流机会。

1．航天和航空技术方面的应用 2．生物医学工程方面的应用 3．通信工程方面的应用

4．工业自动化和机器人视觉方面的应用 5．军事和公安方面的应用 6．生活和娱乐方面的应用

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第 2 章 图像处理基本知识

2.1 如何表示图像中一点的彩色值？颜色模型起什么作用？

答：图像中一点的彩色值颜色三维空间中的一个点来表示，每个点有三个分量，不同的 颜色空间各分量的含义不同。

颜色模型规定了颜色的建立、描述和观察方式。颜色模型都是建立在三维空间中的，所 以与颜色空间密不可分。

2.2 色调、色饱和度和亮度的定义是什么？在表征图像中一点的颜色时，各起什么作用？ 答：HSV 模型由色度（H），饱和度（S），亮度（V）三个分量组成的，与人的视觉特 性比较接近。HSV 颜色模型用 Munsell 三维空间坐标系统表示。

色调（H）表示颜色的种类，用角度来标定，用-1800～1800 或 00～3600 度量。 色饱和度（S）表示颜色的深浅，在径向方向上的用离开中心线的距离表示。用百分比 来度量，从 0%到完全饱和的 100%。

亮度（V）表示颜色的明亮程度，用垂直轴表示。也通常用百分比度量，从 0%（黑） 到 100%（白）。

2.3 按照波段的成像图像讨论图像的分类。

答：人们常见的是可见光成像，但在科学研究等领域，其他一些不同波段的电磁波成像 技术会起到可见光成像无法替代的作用。下面是电磁波谱分布情况：

1、 不可见光线：伽马射线、X 射线、紫外线； 2、 可见光线：紫、蓝、青、绿、黄、橙、红；

3、不可见光线：近红外线、中间红外线、远红外线、微波、工业电波。

按波长从短到长有：（1）伽马射线图像：伽马射线是由原子核受激产生的波长极短、能 量极高的射线。天文学上利用伽马射线获取伽马射线暴图像。 2）（ X 射线图像：X 射线是由原 子受激产生的，具有很强的穿透能力，其图像在医疗、探伤、物质结构分析等方面具有重要 作用。（3）紫外线（UV）图像：红外线波长短于可见光。230-400 nm 的 UV 传感器可用于天 文学、火灾检测、细胞的医学成像等。（4）红外线图像：红外线波长长于可见光。红外遥感 器接收地物反射或自身发射的红外线而形成的图像，可以解决在夜间观察目标光强不足及对 比度差的困难。由于高于绝对零度的物体都会发出红外线，所以红外图像可以描述某个区域 的温度分布，这在遥感技术中广泛使用，在医学成像和火灾监测等方面也有实际应用。（5） 无线电波图像：波长范围很宽，从 mm 到 km。常用射频成像法。由高频发射机发射的高频电 磁波在传播过程中遇到具有不同电学性质的物体时,电磁波的传播规律将大大改变。根据无线 电波测量的结果可以绘出物体内的结构图像，

如毫米波人体安检成像技术。另一个获得重要应用的是 SAR（合成孔径雷达）成像技术。SAR 传感器波长通常在厘米级。SAR 图像则只记录了一个波段的回波信息，以二进制复数形式记 录下来。振幅信息通常对应于地面目标对雷达波的后向散射强度，与目标介质、含水量以及

粗糙程度密切相关，而相位信息则对应于传感器平台与地面目标的往返传播距离。

2.4 设有大小为 32×32 的图标，图标的每个像素有 8 种颜色，共有多少种不同的图标？ 如果每 100 万个可能的图标中有一个有意义，识别一个有意义的图标需要 0.1 s，则选出所有 有意义的图标需要多长时间？ 解：图标数为

832×32 = 10925 种

4

有意义的图标数 10925/106 = 10919 种 选择有意义图标的时间 10919×0.1 = 10918 s

可见随机图像的复杂度是非常高的。

2.5 讨论数字图像处理系 统的组成。列举你熟悉的图像处 理系统并分析它们的组成和功能。

答：如教材图 2.6，数字图像 处理系统是应用计算机或专用数 字设备对图像信息进行处理的信 息系统。图像处理系统包括图像 处理硬件和图像处理软件。图像 处理硬件主要由图像输入设备、 图像运算处理设备（微计算机）、 图像存储器、图像输出设备等组 成。软件系统包括操作系统、控 制软件及应用软件等。

教材图 2.6 数字图像处理系统结构图

2.6 常见的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？

答．目前图像处理系统开发的主流工具为 Visual C++（面向对象可视化集成工具）和 MATLAB 的图像处理工具箱（Image Processing Tool box）。两种开发工具各有所长且有相互 间的软件接口。

Microsoft 公司的 VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发 出来的 Win 32 程序有着运行速度快、可移植能力强等优点。VC++所提供的 Microsoft 基础 类库 MFC 对大部分与用户设计有关的 Win 32 应用程序接口 API 进行了封装，提高了代码 的可重用性，大大缩短了应用程序开发周期，降低了开发成本。由于图像格式多且复杂，为 了减轻程序员将主要精力放在特定问题的图像处理算法上，VC++ 6.0 提供的动态链接库 ImageLoad.dll 支持 BMP、JPG、TIF 等常用 6 种格式的读写功能。

MATLAB 的图像处理工具箱 MATLAB 是由 MathWorks 公司推出的用于数值计算的有 力工具，是一种第四代计算机语言，它具有相当强大的矩阵运算和操作功能，力求使人们摆 脱繁杂的程序代码。MATLAB 图像处理工具箱提供了丰富的图像处理函数，灵活运用这些 函数可以完成大部分图像处理工作，从而大大节省编写低层算法代码的时间，避免程序设计 中的重复劳动。MATLAB 图像处理工具箱涵盖了在工程实践中经常遇到的图像处理手段和 算法，如图形句柄、图像的表示、图像变换、二维滤波器、图像增强、四叉树分解域边缘检 测、二值图像处理、小波分析、分形几何、图形用户界面等。但是，MATLAB 也存在不足 之处限制了其在图像处理软件中实际应用。首先，强大的功能只能在安装有 MATLAB 系统 的机器上使用图像处理工具箱中的函数或自编的 m 文件来实现。其次，MATLAB 使用行解 释方式执行代码，执行速度很慢。第三，MATLAB 擅长矩阵运算，但对于循环处理和图形 界面的处理不及 C++等语言。为此，通应用程序接口 API 和编译器与其他高级语言（如 C、 C++、Java 等）混合编程将会发挥各种程序设计语言之长协同完成图像处理任务。API 支持 MATLAB 与外部数据与程序的交互。编译器产生独立于 MATLAB 环境的程序，从而使其他 语言的应用程序使用 MATLAB。

2.7 常见的数字图像应用软件有哪些？各有什么特点？

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答：图像应用软件是可直接供用户使用的商品化软件。用户从使用功能出发，只要了解 软件的操作方法就可以完成图像处理的任务。对大部分用户来说，商品化的图像应用软件无 需用户进行编程，操作方便，功能齐全，已经能满足一般需求，因而得到广泛应用。常用图 像处理应用软件有以下几种：

1．PHOTOSHOP：当今世界上一流的图像设计与制作工具，其优越性能令其产品望尘 莫及。PHOTOSHOP 已成为出版界中图像处理的专业标准。高版本的 PHOTOSHOP 支持多 达 20 多种图像格式和 TWAIN 接口，接受一般扫描仪、数码相机等图像输入设备采集的图 像。PHOTOSHOP 支持多图层的工作方式，只是 PHOTOSHOP 的最大特色。使用图层功能 可以很方便地编辑和修改图像，使平面设计充满创意。利用 PHOTOSHOP 还可以方便地对 图像进行各种平面处理、绘制简单的几何图形、对文字进行艺术加工、进行图像格式和颜色 模式的转换、改变图像的尺寸和分辨率、制作网页图像等。

2．CorelDRAW：一种基于矢量绘图、功能强大的图形图像制作与设计软件。位图式图像 是由象素组成的，与其相对，矢量式图像以几何、色彩参数描述图像，其内容以线条和色块 为主。可见，采用不同的技术手段可以满足用户的设计要求。位图式图像善于表现连续、丰 富色调的自然景物，数据量较大；而矢量式图像强于表现线条、色块的图案，数据量较小。 合理的利用两种不同类型的图像表现方式，往往会收到意想不到的艺术效果。CorelDraw 是 当今流行的图像处理软件中为数不多的特点明显、功能强大的基于矢量绘图的软件包。利用 它，可以方便地制作精美的名片、贺卡、书签、图书封面、广告、宣传画等作品。

3．ACDSee：快速、高性能的看图程序，是目前最享盛名的图片浏览器。它能广泛应 用于图片的获取、管理、浏览和优化，支持 BMP、GIF、JPG、TGA、TIF 等超过 50 种常见 的图形文件格式，图片打开速度极快，可以直接查看动画 GIF，处理如 Mpeg 之类常用的视 频文件，还可以为每一个目录建立一个相册。ACDSee 可以从数码相机和扫描仪高效获取图 片，并进行便捷的查找、组织和预览。ACDSee 还是得心应手的图片编辑工具，轻松处理数 码影像，拥有去红眼、剪切图像、锐化、浮雕特效、曝光调整、旋转、镜像等功能，还能进 行批量处理。

2.8 调用函数 Cfg = cov(f, g)计算出图像 f 和图像 g 的协方差矩阵是一个 2×2 的矩阵。说 明该矩阵各个元素的含义，数值大小对图像特性的影响。

答：设 f (x,y)和 g(x,y)是大小为 M×N 的两幅图像，则两幅图像之间的协方差矩阵为 Cfg：

1 C fg???MN M??1 N??1

??[ f (x, y)?? f )][g(x, y)?? g ]

x?0 y?0

协方差矩阵 Cfg 是两幅图像之间的相关程度的一种度量。协方差矩阵为零时表明两图像之间相 互独立，反之表示两幅图像之间相互依赖。Cfg 越大，相关程度越强。Cfg 是 2×2 矩阵：

??? 2 f cov( f , g )??C fg???????????????????????????

?cov( g , f )????????????? ????????????????????????

式中，?? 2f 和?? g2 分别是图像 f 和 g 的方差，cov(f,g)和 cov(g,f) 是图像 f 和 g 的协方差。 6

第 3 章 图像的数字化与显示

3.1 光圈越大，摄取的画面是否越亮？光圈的数字越小是否代表光圈越小？2.8 的光圈与 5.6 的光圈，哪个画面更亮？光圈越小，画面是否越有立体感？

答：光圈越大，光学镜头进光量越大，摄取的画面也越亮。光圈系数（F）反映镜头的通 光量，以焦距 f 和通光孔径 D 表示。通光量与 F 值的平方成反比。所以光圈的数字越小代表 光圈越大。2.8 的光圈比 5.6 的光圈更亮。景深（depth of field）是对某景物调焦，以形成前后 清晰区域。景深与三个因素有关：光圈、焦距和物距。光圈越小，景深越深。

3.2 换一幅图像，重新演算图 3.6 中实际图像量化的运行结果。 解：以将灰度为 256 降低为 8（图 d）为例编程并运行程序。 level1 = 256; level2 = 8;

ratio = level1/level2; I1 = imread('cameraman.tif'); subplot(121);imshow(I1); S = size(I1); for m = 1: S(1)

for n = 1: S(2)

I2(m,n) = uint8(round(double(I1(m,n))/ratio)); I2(m,n) = uint8(ratio*double(I2(m,n))); end end

subplot(122);imshow(I2); imwrite(I2,'cameraman_d.tif') 程序运行结果如下：

教材图 3.6 不同量化级别对图像质量的影响

（a）原始图像（灰度级为 256）

（d）灰度级为 8

3.3 如何合理选取采样率和量化等级数？

答：一般，当限定数字图像的大小时，为了得到质量较好的图像，可采用如下原则： （1）对缓变的图像，应该细量化，粗采样，以避免出现假轮廓。

（2）对细节丰富的图像，应细采样，粗量化，以避免模糊。

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3.4 讨论基于二维采样定理，根据图像采集设备的分辨率计算最大像素数。

答：采集设备的分辨率反映了其采集图像时的细节效果。高分辨率才采集是保证图像高 分辨率的基础。应该根据二维采样定理选择合适分辨率的采集设备，这样既能保证所需的图 像质量，又能做到物尽其用。

Nyquist 定理表明，为了正确判定信号频率，信号在一个周期内至少被采样两次。二维采 样定理应用在实际图像的采集中，意味着如果要达到一个采集设备（如数码相机或扫描仪） 最小的空间分辨率，至少需要采两个点。

3.5 验证图 3.8 一维向量量化的误差 d(X, Ci)的正确性。 解： d(X, C0) = [ (4-3)2+(2-1)2+(3-2)2+(1-3)2]/4= [1+1+1+4]/4= 7/4

d(X, C1) = (4-1)2+(2-3)2+(3-1)2+(1-4)2 = [9+1+4+9]/4 = 23/4 d(X, C2) = (4-4)2+(2-3)2+(3-4)2+(1-1)2 = [0+1+1+0]/4 = 2/4 d(X, C3) = (4-2)2+(2-1)2+(3-2)2+(1-3)2 = [4+1+1+4]/4 = 10/4

3.6 计算图 3.9 图像 X 与图 3.10 码书 C 码字的误差，验证选择码字 Y1 作为 X 的二维向 量量化编码的合理性。

解：原始图像块 X 是一个 4 灰度级的 16 维向量[1 0 0 0 1 1 0 0 2 2 1 0 3 2 1 1]，如教材图 3.9 所示。码书：

Y0 = [0 2 0 0 1 2 1 1 0 3 2 0 0 3 2 1] Y2 = [1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 1 0 1 1 0 0]

Y1 = [1 1 0 0 1 1 1 0 2 2 1 0 3 3 1 1] Y3 = [0 2 3 3 0 1 3 2 1 1 3 1 1 1 1 0]

均方误差为：d(X, Y0) = 25/16；d(X, Y1) = 3/16；d(X, Y2) = 25/16；d(X, Y3) = 47/16。

X

教材图 3.9 原始图像和灰度级

Y0

Y1

Y2

Y3

教材图 3.10 码书 C＝{ Y0, Y1, Y2, Y3}

如图 3.10 所示。经均方误差准则计算可以发现码字 Y1 离 X 最近，故用索引 01 进行编码。

3.7 根据“电视行（TV line）”或扫描线的概念，摄像机的清晰度常用扫描线的线数表 示。如果画面是 4:3 的，540 线的像素分辨率多少？720p 是 720 线（p 代表逐行扫描，i 是隔 行扫描），帧型为 16:9，像素分辨率为 1280×720。

解：如果画面是 4:3 的，540 线的像素分辨率是[540×4/3]×540 = 720×540

3.8 摄像机和数码相机分辨率受到哪些因素限制？是否越高越好？如何进一步提高分辨 率？

答：分辨率往往是用户最关心的指标，但其上限受到像素极限尺寸、CCD 制造工艺、设 备性价比等因素限制，并不能无限提高。人们正在研究采用信号处理的超分辨率技术力求解 决这些问题。

3.9 扫描仪的光学分辨率是 600×1200 线，一个具有 5000 个感光单元的 CCD 器件，用 于 A4 幅面扫描仪，A4 幅面的纸张宽度是 21 cm，该扫描仪的光学分辨率是多少 dpi？ 解：（1）600×1200 线，其中前一个数字代表扫描仪的横向分辨率，后一数字则代表纵 向分辨率。

8

（2）dpi 是指单位面积内像素的多少，也就是扫描精度 ，目前国际上都是计算一英寸 面积内像素的多少。光学分辨率是扫描仪的光学部件在每平方英寸面积内所能捕捉到的实际 的光点数,是指扫描仪 CCD 的物理分辨率，也是扫描仪的真实分辨率，它的数值是由 CCD 的像素点除以扫描仪水平最大可扫尺寸得到的数值。

每一个感光单元对应一个像素。由于 CCD 感光单元个数为 5000，21 cm = 8.3 英寸，所 以该扫描仪的光学分辨率是 5000/8.3 ＝ 602 dpi，规格化为 600 dpi。

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第 4 章 图像变换与二维数字滤波

4.1 二维傅里叶变换的分离性有什么实际意义？

解：该性质表明，一个二维傅里叶变换可由连续两次一维傅里叶变换（先行变换后列变

换或反之）来实现。实现的方法如下图所示：

教材图 3.3 用两次一维 DFT 计算二维 DFT

4.2 图像处理中正交变换的目的是什么？图像变换主要用于哪些方面？

解：正交变换可以使得图像能量主要集中分布在低频率成分上，边缘和线信息反映在高 频率成分上。因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像编码压缩和形 状分析等方面。

?1 1 0

?0????????????????????????????????????????????????? 2 2

0 ???1 1 0 ?0 0 ??? ，按 x 方向进行 FFT，得到列变换 F (u, y)=??1?? j 1?? j 4.3 已知 f ( x ,y ) =

0 0??????????????????????????????????????????????????? 0 0 ?0 0 0

??????????????????????????????????????????????????????

?1?? j 1?? j 0 ?0 0 0 0??

，

??

为什么 f(x,y)的前 2 行数值一样，但 F(u,y)的前 2 行却不一样？

4.4 证明：f (x, y)的直流成分为 F (0,0)???

M??1 N??1

1 N??1 N??1

?? ? f ( x, y) ，并说明其物理意义。 N 2 x?0 y?0

1 证明：根据 F (u, v)???MN 1 得 F (0,0)???MN

????x 0?y 0 f (x, y)e? j2π(ux / M??vy / N ) ，取（u,v）=（0,0）

M??1 N??1

????x 0?y 0 f (x, y) 。 得证。其物理意义为 f (x, y)的直流成分为图像灰度的平均值。

4.5 由 DFT 的定义直接证明 DFT 的共轭对称性。 1 证明：由于 F (u, v)???MN

M??1 N??1

????x 0?y 0 f (x, y)e? j2π(ux / M??vy / N ) ， 所以

f *(x, y)???1 MN M??1 N??1 x?0 y?0

??? f *(x, y)e? j2π(ux/M??vy/ N )

10

??? 1 M??1 N??1 ??? f (x, y)e =F?? *(?u,??v) =???? MN

得证。

4.6 本章的例 2 中，在求解图像频谱的程序中为了增强显示效果，用对数对 DFT 的幅度 进行压缩，然后将频谱幅度的对数值用在 0～10 之间的值进行显示。研究：（1）对上述结果 与不进行上述处理的直接显示效果进行比较。（2）对将频谱幅度的对数值用不同范围的值进 行显示的结果进行比较。对研究的结果做出结论。

解：（1）适当修改例 2 的程序，即可得到进行对数处理（显示范围[0 10]）和未进行处理 （显示范围[0 255]）的显示效果：

（a）对数处理

（b）直接显示

2 π

?

（2）可见整体显示效果相差很大，特别在频谱的中心区域视觉效果有较大差别，而中心 区域集中了图像的绝大部分能量，对图像分析和处理至关重要。

4.7 对 0 到 2N – 1 的 2N 个点的离散周期序列 fc (n)做 DFT，设 W2 N?? e j 2 N ，证明 Fc (k ) =

2 N??1

??f (n)W = W2 N2 ? f (n)cos??? c

2nkN

n?0

k ??N??1

???(2n?? 1)k???? 。 n?0????????? 2N?????

-27

证明：这里是一维 DCT 问题，可参考一般的数字信号处理教材中的推导。

4.8 利用 MATLAB 函数 dct2 对一幅 8×8 的图像进行 DCT 变换和反变换，进行原始图 像和重建图像的误差比较分析。变换的参考图像为：

??63 52 55 ???62 I????????

??63 67 ??85 79

??

59 59 58 61 65 71

61 66 70 61 64 73??65 90 109 85 69 72???

68 113 144 104 66 73??68 104 126 88 68 70??71 122 154 106 70 69??64 70 59 77 55 58 65 83????60 68 58 7569 68 65 65 78 94???

??

????

。

??87 79 采用 Z 扫描方式（参见第 5 章 5.15）保留 20 个 DCT 变换系数进行重构图像，即将第 21 个以 后的变换系数置为 0。计算重建图像 J 与原始图像 I 的均方误差，比较两者的差异。如果保留 横向与纵向的坐标之和小于 8 的系数，比较上述结果。如果保留所有变换系数，再比较上述 结果。这时有误差存在吗？如果有误差，出现在何处?

11

?52 55

61 66 70 61 64 73?????

63 59 65 90 109 85 69 72??????

62 59 68 113 144 104 66 73????解：参考图像为：???

63 58 71 122 154 106 70 69??

???

67 61 68 104 126 88 68 70???79 65 60 70 77 68 58 75??

?????

85 71 64 59 55 58 65 83????

??87 79 69 68 65 65 78 94???

参考图 5.15，采用 Z 扫描，取前 20 个系数，其余系数为 0 重构图像。设原图像为 f，重建图像为

f) ，则均方误差计算公式：

?? 1 N??1 M??1 ) 1/2

2???ERR EMS =????? MN

?f (i, j)????? ?j 0???i 0??????????????)j,(f i????????MATLAB 程序如下： I = [52

55 61 66 70 61 64 73; 63 59 65 90 109 85 69 72; 62 59 68 113 144 104 66 73; 63 58 71 122 154 106 70 69; 67 61 68 104 126 88 68 70; 79 65 60 70 77 68 58 75; 85 71 64 59 55 61 65 83; 87

79 69 68 65 76 78 94 ]

J = dct2(I)

J(1,6) = 0; %第 21 个变换系数置于 0 for i = 1:8

for j = 1:8

if i+j>=7 J(i,j) = 0; end end end

K = round(idct2(J)) ERR = 0; for i = 1:8

for j = 1:8

ERR = ERR + pow2((K(i,j)-I(i,j))); end end

ERR = sqrt(ERR/64) 程序运行结果如下：

变换系数为 J，复原图像为 K，均方误差为 ERR： J=

609.8750 -29.2036 -61.8736 25.5055 54.8750 -19.7503 -0.7544 5.9354 -20.7026 -61.5535

8.2149

11.6753 -6.6819

-6.6150

12

1.9317 6.6052

-46.1580 -48.8798 10.8750 -9.4685 -2.6639 -1.1475

7.9021 11.7974 -7.5356 1.5432 -1.1001 -0.6300

76.7633 34.2864 -12.5196 3.3181 1.3007 -0.5400

-25.5003 -14.2811 -2.2176 -3.5345 -0.1502 -2.8307

-29.5882 -9.8957 -0.6250 -0.6440 0.7554 -0.1882

10.1202 6.2008 1.4004 0.4630 -3.4699 -0.3687

6.3007 1.3806 -4.4204 2.0384 1.9867 -0.7819

-4.8535 1.5404 1.6654 -0.1900 -2.5824 0.5206

K=

63 48 51 74 83 70 60 64 62 52 62 91 102 85 70 70 62 59 78

113 124 102 81 76

62 62 85 122 131 106 80 73 62 59 77 108 114 90 68 64 69 58 62 83 87 69 59 64 87 66 56 66 69 61 66 82 105 77 58 61 64 ERR = 74.0502

当忽略 i + j ≥ 8 的系数，这时有 29 个非 0 系数，均方误差明显减少， K=

62 51 49 68 78 60 56 79 61 57 65 95 108 83 64 74 57 58 78 118 137 107 72 68 59 60 78 119 141 113

69 64 69 98 117 97 70 68 78 66 58 70 82 70 60 70 83 71 58 60 65 58 62 83 89 80 68 67 70 65 76 102 ERR = 8.5746

对取舍的系数不加限制，由于变换、反变换、重新量化产生的误差是很小的。运算结果 如下：

J=

609.8750 -29.2036 -61.8736 5.9354 -20.7026 -61.5535 -46.1580 -48.8798 10.8750 -9.4685 -2.6639 -1.1475 K=

52 55 61 66 70 61 64 73 63 59 65 90 109 85 69 72 62 59 68 113 144 104 66 73 63 58 71 122 154 106 70 69 67 61 68 104 126 88 68 70

25.5055 54.8750 8.2149 11.6753

-9.8957 -0.6250 -0.6440 0.7554 -0.1882

-19.7503 -6.6819

-0.7544 -6.6150

1.9317 6.6052 -4.8535 1.6654 -0.1900 -2.5824 0.5206

75 66 64 79 102

7.9021 76.7633 -25.5003 -29.5882 11.7974 34.2864 -14.2811 -7.5356 -12.5196 1.5432 3.3181 -1.1001 -0.6300

1.3007 -0.5400

-2.2176 -3.5345 -0.1502 -2.8307

10.1202 6.3007 1.4004 -3.4699 -0.3687

-4.4204 1.9867 -0.7819

6.2008 1.3806 1.5404 0.4630 2.0384

13

79 65 60 70 77 68 58 85 71 64 59 55 61 87 79

69 68 65

76

65 78

75 83 94

ERR =1，可见只有 2 个加黑的高频系数有误差。

3.9 在沃尔什变换中，当 N = 8 时，如果 z = 6，求 bi(z)。 解：bi(z)代表 z 的二进制表示的第 i 位值。N = 2n，故 n = 3。

z = 6 用二进制表示为 0110，则 b0(z ) = 0，b1(z ) = 1，b2(z ) = 1，b3(z ) = 0。

4.10 离散的沃尔什变换与哈达玛变换之间有那些异同？

解：哈达玛(Hadamard)变换和沃尔什（Walsh）变换的变换核都是由 1，－1 组成的正交 方阵。它们不同的地方在于变换矩阵的行列排列次序不同。哈达玛变换每行的列率排列是没

有规则的，沃尔什变换的列率是由小到大。

4.11 求 N = 8 对应的沃尔什变换核矩阵。 解：N = 8 偏大，以 N = 4 试验之。 一维沃尔什变换的正变换核为 g(x, u)???W (u)???1 N??1 n?1

1 n?1

?(?1)bi nb)x( (i?1，则一维沃尔什变换为??N i??0

1 3 1

N ??x 0 f (x)??(?1)bi ( x)bn??1?i (u ) 。当 N = 4 时 W (u)??? 3

1 1 1 W (0)???4 i??0

N ??x 0 f (x) i??0(?1)bi ( x)b1?i (u )

? f (1)???1 4 ?1 1 1 1?g????????f (2)

??????? f (3)???

3

1 1 1

W (1)???? f (x)??(?1)bi ( x)b1?i (1)???? f (0)?? f (1)?? f (2)?? f (3)??i??0 4 4 x?0

=

??x 0 f (x) i??0(?1)bi ( x)b1?i (0)?? 4?? f (0)?? f (1)?? f (2)?? f (3)??? f (0)??

? f (0)??? f (1)???

? f (2)????????? f (3)??

3

1 1 1

W (2)???? f (x)??(?1)bi ( x)b1?i (2)???? f (0)?? f (1)?? f (2)?? f (3)??i??0 4 4 x?0

= 1 4

? f (0)??? f (1)???f (2) ??????? f (3)??

= 1 4 ?1??1??1 1?g????????1

3

1

1

W (3)???? f (x)??(?1)bi ( x)b1?i (3)???? f (0)?? f (1)?? f (2)?? f (3)??i??0 4 4 x?0

? f (0)??? f (1)???f (2) ??????? f (3)??

= 1 4 ?1??1 1??1?g????????

14

第 6 章 图像增强

6.1 图像增强的目的是什么？它包含哪些研究内容？与图像复原有何区别？

解：图像增强是指对图像的某些特征，如边缘、轮廓、对比度等进行强调或锐化，以便 于显示、观察或进一步分析与处理。图像增强所包含的主要内容有：

1、空间域增强法：包括点操作（如灰度变换、直方图变换等）、区域操作（平滑、锐化等）。 2、频率域增强法：采用二维数字滤波器实现低通滤波（平滑）、高通滤波（锐化）等。 3、同态滤波法：结合上述方法，实现空间域非线性运算并在频域高频增强。 图像增强偏重于处理后主观效果，而图像复原偏重于成像前的客观现实。

6.2 试分别给出将灰度范围（10,100）拉伸到（0,150）和（10,200）、压缩到（50,100） 和（10,125）、平移到（110,225）的线性变换。

解：设原始图像像素灰度 f 的范围为[a, b]，线性变换后图像 像素灰度 g 的范围为 [a?, b?] 。灰度 g 与灰度 f 之间的关系为 g?? a????b??? a??b?? a

[ f?? a]

这里，a = 10, b = 100。题目给出四组 a’, b’值，分别代入上述 公式即可得出 g 和 f 的线性函数关系。

教材图 4.4 线性变换

6.3 如图 4.34 所示，已知灰度图像 f (x, y)表示为如下矩阵，求经过反转变换后的图像 g(x, y)。反转变换 g = G (f )。

?200 100 160????180 185 128??????????????????????155 10 230???

（a）灰度图像矩阵

（ b）反转变换曲线

图 4.34 灰度图像的反转

?0 127 0???0 0 0???????????????0 127 0??解：?????????????

6.4 试求灰度变换方程 g = G(f )，使其在范围 10 ≤ f ≤ 150 内为 ln( f )的线性函数。 解：依题意，设 g = a ln(f ) + b, 当 10 ≤ f ≤ 150 时，g1 ≤ f ≤ g2

则 g1 = a ln(10 ) + b g2 = a ln(150 ) + b 所以 a = (g2- g1)/ln(15)

b = g1 - a ln(10)

6.5 设有一幅 64×64 的离散图像，其灰度分成 8 层，灰度 nk 的值和分布情况如表 4.3 所

20

示。试绘制该图像的直方图，并求经过直方图均衡后的图像的直方图。说明为什么对数字图 像进行直方图均衡化后，通常并不能产生完全平坦的直方图。

表 4.3 一幅图像的灰度分布

K rk nk

0 0 560

1 1/7 920

2 2/7 1046

3 3/7 705

4 4/7 356

5 5/7 267

6 6/7 170

7 1 72

解：列表如下： K 0

0 rk

560 nk Pr(rk) S

k

‘

1

1/7 920 0.22 0.36 3/7 3/7 920 0.22

2 2/7 1046 0.26 0.62 4/7 4/7 1046 0.26

3 3/7 705 0.17 0.79 6/7

4 4/7 356 0.09 0.88 6/7 6/7 1061 0.26

5 5/7 267 0.07 0.95 1

6 6/7 170 0.04 0.99 1

7 1 72 0.02 1 1 1 509 0.13

0.14 0.14 1/7 1/7 560 0.14

Sk″ Sk nks

pr(sk)

6.6 试述图像平滑的目的、采用空间域和频率域滤波的原理。 解：（1）图像平滑是主要为了消除或减轻图像噪声。

（2）空间域滤波主要通过邻域平均、中值滤波和边界保持滤波等方法达到图像平滑的目 的。

（3）空间域滤波是通过将图像变换成相应的频谱，在频域进行低通滤波，再进行反变换 实现的。

6.7 试述中值滤波的特点。为什么对一些细节多，特别是点、线、尖点细节多的图像不适 宜用这种方法？

答：中值滤波便属于这一类的非线性增强方法，在去噪的同时可以兼顾到边界信息的保留。 对消除孤立点和线段脉冲等干扰及图像扫描噪声最为有效，但对于消除高斯噪声的影响效果 不佳。

中值滤波首先选一个含有奇数点的窗口 W，将这个窗口在图像上扫描，把该窗口中所含 的像素点按灰度级的升（或降）序排列，取位于中间的灰度值，来代替该点的灰度值。

二维中值滤波的窗口形状和尺寸对滤波性能的影响较大，以适应不同的图像内容和应用 要求。由于采用窗口中灰度值排序的方法决定中值，对于一些细节较多的复杂图像排序后将 会影响正常图像的内容，所以不宜采用这种方法。

10 的点阵，求边界点保持不变、经过 3×3 窗口中值 6.8 如图 6.35 所示，设原图像为 10×

滤波的图像。

21

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 5 5 8 8 5 5 1 1

1 1 5 5 8 8 5 5 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 图 6.35 受干扰的二维图像

解：（1）采用 3×3 窗口在图像上进行扫描，窗口中心值为窗口灰度值排序的中值。

（2）采用中值滤波的程序验证结果：

I = [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1; 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1; 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1; 1 1 5 5 8 8 5 5 1 1; 1 1 5 5 8 8 5 5 1 1; 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1; 1 1 5 5 5 5 5 5 1 1; 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1];

imshow(I);

J = medfilt2(I) figure, imshow(J); 运行结果为 J =

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 5 5 5 5 1 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 5 5 5 5 5 5 1 1

1 1 1 5 5 5 5 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0

%二维中值滤波

0

22

6.9 设图像如图 6.36 所示，分别求经过邻域平滑和高通算子锐化的结果。其中边缘点保

?1 1 1??1??????????1 0 1 持不变，邻域平滑掩码取 3×3 矩阵，即 H??????????? ；邻域高通算子取 3×3 矩阵，即 8

1 1 1 ???????????

??1??1??1????1 8???1 H???????????????? 。

???1??1??1???

1 2 2 3 4 1 1 3 2 5 3 4 5 3 4 4 5 4 3 1 5 5 5 2 1 图 6.36 一幅 5×

5 的灰度图像矩阵

解：邻域平滑的结果：

1 2 2 3 4 1 2 2 3 4

度范围。

1 21/8 22/8 29/8 5 1 -13 2 -13 5

3 26/8 25/8 27/8 4 3 6 15 -4 4

4 35/8 32/8 25/8 1 4 5 0 -1 1

5 5 5 2 1 5 5 5 2 1

邻域高通算子滤波的结果：

对于出现的负值区间，可以通过图像增强的方法，即适当的变换映射为可观测的图像灰

6.10 为什么待锐化的图像需要有足够的信噪比？选择不同信噪比（SNR = 40 dB 和 20 dB） 的图像用 Roberts 梯度法实验说明。

解：待锐化的图像要有足够的信噪比，否则会使噪声得到比原图像更强的增强，信噪比 更加恶化。

用程序验证上述结论：（1）选择一幅图像；（2）可以对图像加椒盐噪声试验；（3）信噪 比可调节噪声强度得到；（4）用 Roberts 梯度法观测锐化后的边缘。

6.11 已知一幅如图 6.37 所示的图像。可见原图中左边暗，右边亮，中间存在着一条明显 的边界。

0 1 0 1

0 1 255 1 1 254 0 0 255 1 0 254

254 253 255 254

254 254 253 254

254 254 253 254

图 6.37 有垂直边界的一幅图像

23

试用 Sobel 算子对给定的图像进行模板操作并分析得到的结果图像。

解：程序如下：

I = [0 0 1

1 1 1 0 0 0 1 1 0

255 254 254 254; 254 253 254 254; 255 255 253 253; 254 254 254 254]

J = edge(I,'sobel',0.1);

subplot(121); imshow(I,[0 255]); subplot(122); imshow(J); 运行结果如下： J=

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

可见，有一条一个像素的边缘线。在图像的边界处，由于算子只能确定模板的中心值， 未能检测边缘。对于实际图像来说，目标一般在图像的内部，所以无碍于实际应用。

0

24

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