第四章 根轨迹方程

第四章 根轨迹法

4-1 根轨迹的基本概念

一． 根轨迹概念：

闭环系统的动态性能与闭环极点在s平面上的位置密切相关,系统的闭环极点也就是特征方程式的根.

当系统的某一个或某些参量变化时,特征方程的根在s平面上运动的轨迹称为根轨迹.

根轨迹法: 直接由开环传递函数求取闭环特征根的方法.

例： 设控制系统如图4-1所示

G?s??R(s)

K

s?0.5s?1?

K s(0.5s+1) C(s)

?2KK0? ,

s?s?2?s?s?2?图4-1 控制系统的结构图

开环极点： p1?0, p2??2 ??s??C?s?K0；式中K0?2K ?2R?s?s?2s?K0此系统的特征方程式可写为：??s??s2?2s?K1?0?s1,2??1?1?K0 讨论： K0?0时，s1?0，s2??2

K0?1时，s1??1，s2??1 K0?2时，s1??1?j，s2??1?j K0??时，s1??1?j?，s2??1?j?

令k为0?∞.可以用解析的方法求出闭环极点的全部数值，将这些数值

标住在S平面上，并连成光滑的粗实线，如图4-2所示。图上，粗实线就称为系统的根轨迹。 分析:

1.K0变化时,根轨迹均位于左半s平面,系统恒稳定. 2.根轨迹有两条,两个起点s1?0,s2??2

3.0?K0?1时,闭环特征根为负实根,呈过阻尼状态. 4.K0?1时,闭环特征根为一对重根,响应为单调上升的指数曲线.

5.K0?1时,闭环特征根为共轭复根,响应为衰减振荡.

6.开环增益K可有根轨迹上对应的K0值求得.

K0为可变参量绘制的根轨迹,称为常规根轨迹.

二、根轨迹的幅值条件和相角条件

设单闭环控制系统框图如图：

R(s)

C(s)

G(S)

通常有两种表示形式： A．时间常数形式：

K?(?js?1)G(s)H(s)?mH(S)

?(Ts?1)ii?1j?1n

图4-3 控制系统的结构图

B．零、极点形式：G(s)H(s)?K0?(s?zj)j?1m?(s?p)ii?1n

则，系统特征方程:

1+G(s)H(s)=0 ? G(s)H(s)= -1 ? 幅值条件: |G(s)H(s)|=1

相角条件: ∠G(s)H(s)=±(2k+1)π, k=0,1,2,…

K0?(s?zj)考虑开环传递函数一般形式：G(s)H(s)?j?1m?(s?p)ii?1n ,因此

K0?|s?zj|j?1m 幅值条件:

?|s?pi?1ni|n?1 或 K0??|s?p?|s?zj?1i?1mni||

j 相角条件:

??(s?zj?1mj)???(s?pj)=±(2q+1)π, q=0,1,2,…

i?1说明：幅值条件与K0有关，而相角条件与K0无关。因此，凡能满足相角条件的点必然满足幅值条件；而满足幅值条件的点不一定满足相角条件！

因此，绘制根轨迹的一般步骤是：

先找出S平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的K值。 例子：P107，例4-1。

4-2 绘制根轨迹的基本规则

闭环特征方程：

K0?(s?zj)j?1m?(s?p)ii?1n??1

上式表明了系统闭环极点和开环零、极点的关系。基于这种关系，就可以根据开环零、极点的分布确定闭环极点的位置了。

根轨迹是根据系统的开环零、极点去绘制的。

在下面的讨论中，假定所研究的变化是根轨迹增益值K0，但是当可变参数为系统的其他参数时，这些基本法则仍然适用。这些基本法则绘出的根轨迹，其相角遵循 1800+2kπ条件的称为1800 根轨迹；其相角遵循00+2kπ条件的，称为00 根轨迹。

规则1：（对称性法则）根轨迹对称于S平面的实轴。 规则2：根轨迹的分支数、根轨迹的起点和终点：

分支数等于特征方程的阶数，为n条；根轨从n个开环极点出发，其中m条终于开环零点，(n-m)条终点在无穷远处。

K0??|s?p?|s?zj?1i?1mni|, K0=0为根轨迹的起点 s = pi

j||， K0→∞为根轨迹的终点 s = zj 或s→∞

1? K0?|s?zj?1ni?1mj?|s?pi|规则3：根轨迹在实轴上分布：

实轴上某线段右边的实零点和实极点总数为奇数时, 这些线段就是根

轨迹的部分。

规则4：根轨迹的渐进线

n-m条趋向无穷远的根轨迹可由渐进线决定：

渐进线的倾角为: ?a??(2q?1)?n?mq?0,1,2,?

渐进线与实轴的交点为:

?a?

?p??zii?1j?1nmjn?m?开环极点的实部之和?开环零点的实部之和

开环极点数?开环零点数例1：设控制系统的开环传递函数为

G(s)H(s)?3K(s?2),求渐进线和与实轴的交点。 2s(s?3)(s?2s?2)解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。

（2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为

?a?(2q?1)?(2q?1)?180??

n?m4?1取式中的q=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。

渐近线与实轴的交点为

m?(0?3?1?j?1?j)?(?2)1?n?a?p?z??1 ??j?i??n?m?j?14?1i?1?

规则5：根轨迹的分离点、会合点、分离角：两条以上根轨迹的交点。

分离点和会合点必须满足方程

dK0?0 ----必要条件 ds 分离角----根轨迹离开重极点处的切线与实轴正方向的夹角

分离角=

(2q?1)? ， r为重根数，q=0,1,2… r例2：已知控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?的分离点。

K0(s?1)，确定根轨迹2s(s?1)(s?4s?16)解 ：系统的特征方程式为：s(s?1)(s?4s?16)?K0(s?1)?0

2

s(s?1)(s2?4s?16)即：K0??

s?1利用dK0/ds?0,则有

dK03s4?10s3?21s2?24s?16???0 ds(s?1)2解之可得，分离点d1=0.46 和 d2=－2.22。

规则6：根轨迹的出射角和入射角：

出射角:从复数极点出发的角度。 入射角:到达复数零点的角度。

P116， 图4-13:取靠近P4的点si,由相角条件:

??si?z1????si?p1????si?p2????si?p3????si?p4???2q?1??，q?0，1，2，? si?p4时，则：

?p4???si?p4???2q?1?????p4?p1????p4?p2????p4?p3????p4?z1?

一般情况，出射角：?pk?m?n???????pk?zj?????pk?pi??

?j?1?i?1??i?k???m?n???????zk?zj?????zk?pi??

?j?1?i?1???j?k? 同理，入射角：?zk

规则7：根轨迹与虚轴的交点

两种方法: (1).用劳斯判据求

(2).将s?j?带入特征方程求解

例3：设系统的开环传递函数为：G(s)H(s)?

2K，试绘制系统的根轨迹。

s(s?1)(s?2)解 根据绘制根轨迹的法则，先确定根轨迹上的一些特殊点，然后绘制其根轨迹图。 （1）系统的开环极点为0，?1，?2是根轨迹各分支的起点。由于系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有n?m?3条渐进线

渐进线的倾斜角为

?a?(2q?1)?(2q?1)?180??

n?m3?0取式中的q=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3。

m?(0?1?2)1?n渐进线与实轴的交点为： ?a?p?z??1 ??j?i??n?m?j?13i?1?三条渐近线如图4-13中的虚线所示。

（3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图的粗实线所示。 （4）确定分离点： 系统的特征方程式为：s?3s?2s?2K?0

3213(s?3s2?2s) 2dK1??(s3?6s2?2)?0 利用dK/ds?0，则有：ds2 即：K??解得：s1??0.423 和 s2??1.577

由于在－1到－2之间的实轴上没有根轨迹，故s2=－1.577显然不是所要求的分离点。

因此，两个极点之间的分离点应为s1=－0.423。

（5）确定根轨迹与虚轴的交点 方法一 利用劳斯判据确定

劳斯行列表为 s s

23

1 3

2 2K 0

s1

s

06?2K 32K

由劳斯判据，系统稳定时K的极限值为3。相应于K=3的频率可由辅助方程

3s2?2K?3s2?6?0 确定。

解之得根轨迹与虚轴的交点为s??j2。根轨迹与虚轴交点处的频率为

???2??1.41

方法二 令s?j?代入特征方程式，可得：(j?)3?3(j?)2?2(j?)?2K?0 即：(2K?3?2)?j(2???2)?0

令上述方程中的实部和虚部分别等于零，即：2K?3??0，2????0 22所以 ：???2 K?3 系统的根轨迹如图所示：

j ω

S平面

σ

规则8：闭环极点的和与积.

系统特征方程(n>m时)为

n闭环极点的和：和??pi?开环极点之和? i?1nm闭环极点的积：积???pi??K0??zi?

i?1j?1 可利用此性质判闭环极点si的分布情况 一些si变化后,另一些si会做相反变化.

例4：在例3中，确定根轨迹各分支上每一点的K值

根据绘制根轨迹的基本法则，当从开环极点0与－1出发的两条根轨迹分支向右运动时，从另一极点－2出发的根轨迹分支一定向左移动。当前两条根轨迹分支和虚轴在K=3处相交时，可按式

?x?(0?j1.41)?(0?j1.41)??3（开环极点0，-1，-2之和；即和为定值）

求出后一条根轨迹分支上K=3的点为οx=－3。

由（4）知，前两条根轨迹分支离开实轴时的相应根值为－0.423±j0。因此，后一条根轨迹分支的相应点为

?x?(?0.423)?(?0.423)??3

所以 ，οx=－2.154。

因本系统特征方程式的三个根之和为-3，利用

K0?(s?zj)j?1m?(s?p)ii?1n??1这一关系，可确定根

轨迹各分支上每一点的K值。

现在已知根轨迹的分离点分别为－0.423±j0和－2.154，该点的K值为

2K?|(s1)(s1?1)(s1?2)|s1= -0.423

即，K=0.192。

另：闭环极点的确定:

1. 在根轨迹上任取一点,可由K0??s?p?s?zj?1i?1mni 确定相应的K0值.

j2. 给定?值,可由??cos?1?做射线,求得一对共轭复根.

例5：设控制系统的结构图如图所示

试证明系统根轨迹的一部分是圆； 解 系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。

由根轨迹的幅角条件：

mR(s)

K(s?3)s(s?2)

C(s)

图 控制系统的结构图

??(s?z)?n??(s?p)?(2q?1)?

iji?1j?1得 ： ?(s?3)??s??(s?2)?(2q?1)?

s为复数。将s???j?代入上式，则有

?(??j??3)??(??j?)??(??j??2)?(2K?1)?

?1即： tan???3?tan?1???180??tan?1 ???2取上述方程两端的正切，并利用下列关系

tan(x?y)?tanx?tany

1?tanxtany??3???1??1????3??tantan?tan???有： ??3??1?????(??3)??2???3???

?????2??

tan?180??tan?1????2?1?0????2???2?3?? ?2??2?(??3)??即： (??3)2??2?(3)2

这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。证毕。

0??例6：设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)?3K(s?2) 2s(s?3)(s?2s?2)试绘制系统的根轨迹。

解 （1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j)和(－1－j),它们是根轨迹上各分支的起点。共有四条根轨迹分支。有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。

（2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为

?a?(2K?1)?(2K?1)?180??

n?m4?1取式中的K=0，1，2，得φa=π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。

三条渐近线如图中的虚线所示。

渐近线与实轴的交点为

m?(0?3?1?j?1?j)?(?2)1?n?a?p?z??1 ??j?i??n?m?j?14?1i?1?（3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图4-14中的

粗线所示。从复数极点(－1±j) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。

（4）在实轴上无根轨迹的分离点。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点 系统的特征方程式为

s(s?3)(s2?2s?2)?3K(s?2)?0

即

s4?5s3?8s2?(6?3K)s?6K?0

劳斯行列表 s s s

234

1 5

8 6K

6?3K

40?(6?3K) 6K

5150K 0

34?3K

6?3K?

6

若阵列中的s1行等于零，即（6+3K）－150K/（34-3K）=0，系统临界稳定。 解之可得K=2.34。相应于K=2.34的频率由辅助方程

?40?(6?3?2.34)?s2?30?2.34?0

确定。解之得根轨迹与虚轴的交点为s=±j1.614。根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。

（6）确定根轨迹的出射角

根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p1=（－1＋j）出发的根轨迹的出射角为

θ?180?(2k?1)??(p1?2)??p1??(p1?3)??(p1?1?j)

将由图中测得的各向量相角的数值代入并取k=0，则得到???26.6? 系统的根轨迹如图所示。

j ω

S平面

j2

j1

26.6° -4

-3

-2

45° -1

90°

135° 0 j3

σ

-j3

图 例6系统的根轨迹

例7： 设系统开环传函为

系统的概略根轨迹。

解： 根轨迹方程为

，试绘制闭环

（1）确定实轴上的根轨迹：实轴上[0，-3]区域必为根轨迹。

（2）确定实轴上的渐进线：由于n-m=4,故有四条根轨迹渐进线。

（3）确定分离点：

用试探法求得d≈-2.3

（4）确定起始角：用量角器量各向量相角，算得 （5）确定根轨迹与虚轴交点：本例闭环特征方程为

法一：应用劳斯判据，有

令

,得k*=8.16.根据

行的系数，得如下辅助方程。

，代入K*=8.16，令s=jw，得w=+1.1或w=-1.1 法二：将s=jw代入特征方程式，可得

4-3 参量根轨迹的绘制

一. 参量根轨迹

以非K0为参变量的根轨迹称参量根轨迹,又称广义根轨迹。 绘制方法: 将参量演化到相当于K0的位置上,适用前述规则。 例：P121

二. 几个可变参量的根轨迹的绘制

应用场合：分析几个参量同时变化时对系统性能的影响。

绘制方法：固定某些参量，改变其中一个参量进行绘制根轨迹簇。 例：P122

例1． 图中，系统I为比例控制系统，系统Ⅱ为比例-微分系统，系统Ⅲ为测速反馈控

制系统，Ta表示分数分器时间常数或测速反馈系数。试作分析，比较。

4-4 非最小相位系统的根轨迹

传递函数的极点决定了相应系统的稳定性，稳定系统的全部极点位于S的左半平面，然而系统有右半平面的零点时系统还可以稳定的。

最小相位系统：传递函数的全部零点均位于S左半平面的系统。 非最小相位系统：传递函数的部分或全部零点在S右半平面。

工程上出现非最小相位系统的三种情况：

1、系统中存在着局部正反馈回路； 2、系统中含有非最小相位元件； 3、系统中含有滞后环节；

一、正反馈回路的根轨迹

正反馈系统框图如图： 闭环传递函数:

R(s)

G(S)

C(s)

??s??C?s?G?s?? R?s?1?G?s?H?s?H(S)

??s??1?G?s?H?s??0 ?G?s?H?s??1

m?K0?s?zj??幅值条件：G?s?H?s??mj?1?1? ??s?pi?i?1?mn??相角条件：?G?s?H?s?????s?zj?????s?pi?j?1i?1?

规则作相应修改:

??2q?，q?0,1,2,? （零度根轨迹）

规则3': 实轴上存在根轨迹的条件是其右边的开环零、极点数目之和为偶数. 规则4'：渐近线的倾角. ?a?m?2q? q?0,1,2,? n?mni?1i?kn规则6': 出射角 ?pk?2?????pk?zj?????pk?pi?

j?1m 入射角 ?zk?2?????zk?zj?????zk?pi?

j?1j?ki?1例1：设正反馈系统结构图如图所示，

其中

试绘制该系统的根轨迹图。 解：根轨迹方程为

R(s)

G(S)

C(s)

H(S)

二、系统中含有非最小相位元件

P125

二、滞后系统的根轨迹

P125

4-7 用根轨迹分析控制系统

一、用根轨迹法确定系统的有关参数

P138

二、确定指定K0时的闭环传递函数

如果K已知，可以沿着特定的根轨迹分支，根据幅值条件，用试探法求相应的闭环极点。当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用此法

例1： 试用根轨迹法确定下列代数方程的根

D(s)?s4?4s3?4s2?6s?8?0

解 当代数方程的次数较高时，求根比较困难，即使利用试探法，也存在一个选择初始试探点的问题。用根轨迹法可确定根的分布情况，从而对初始试探点作出合理的选择。

把待求代数方程视为某系统的闭环特征多项式，作等效变换得

1?Kg(s2?6s?8)s?4s?3s432?0

Kg=1时，即为原代数方程式。等效开环传递函数为

G(s)H(s)?Kg(s?2)(s?4)s2(s?3)(s?1)

因为Kg>0, 先做出常规根轨迹。

系统开环有限零点z1=－2，z2=－4；开环有限极点为 p1=p2=0，p3=－1，p3=－3。

实轴上的根轨迹区间为[-4，-3]，[-2，-1]。 根轨迹有两条渐近线，且σa=1，φa=±90°。 作等效系统的根轨迹如图所示。

图知，待求代数方程根的初始试探点可在实轴区间[－4，－3]和[－2，－1]内选择。确定了实根以后，运用长除法可确定其余根。

初选s1=－1.45，检查模值

j ω

S平面

|s(s?3)(s1?1)|Kg?11?1.046

|(s1?2)(s1?4)|由于Kg>1故应增大s1，选s1=－1.442，得Kg=1.003。

初选s2=－3.08，检查模值得Kg=1.589，由于Kg>1，故应增大s2，选s2=－3.06，得

Kg=1.162。经几次试探后，得Kg=0.991时s2=－3.052。

2-4 -3 -2 -1 0 σ

例1 系统的根轨迹

设 D(s)?(s?1.442)(s?3.052)?B(s)?0 运用多项式的长除法得

B(s)?s2?0.494?1.819

解得s3,4?0.257?j1.326。解毕。

三、确定具有指定阻尼比的闭环极点和单位阶跃响应

闭环极点的确定:

1、根轨迹上任取一点,可由K0??s?p?s?zj?1i?1mni 确定相应的K0值.

j2、给定?值,可由??cos?1?做射线,求得一对共轭复根.

例2： 已知控制系统如图所示

（1） 试根据系统的根轨迹分析系统的稳定性。 （2） 估算Mp%?16.3%时的K值。 解： G(s)?R(s)

K (0.5s+1)4 C(s)

Kg16K ?44(s?2)(s?2)

例2 控制系统的结构图

（1）系统有四个开环重极点：p1=p2=p3=p4= -2。没有零点。实轴上除－2一点外，没

有根轨迹段。

根轨迹有四条渐进线，与实轴的交点及夹角分别为

?a??a??8??2 4(2K?1)??3??，?? 444下面证明根轨迹和渐近线是完全重合的。

将根轨迹上任一点s=s1代入幅角方程，有

4?(s1?2)?(2K?1)?

即

?(s1?2)?1(2K?1)? 4和渐近线方位角?a的表达式比较，两者相等，于是有

?(s1?2)??a

由于s1的任意性，因此根轨迹和渐近线完全重合。 系统的根轨迹如图所示。

图知，随着Kg的增加，有两条根轨迹将与虚轴分别交于j2和－j2处。将s=j2代入幅值方程有

j

S平面

Kg|(s?2)|4?1

解得开环根增益：Kgc=64，开环增益：Kc=Kg/16=4．

即当Ｋ＝４时，闭环系统有一对虚根±j２，系统处于临界稳定的状态。当K>4时，闭环系统将出现一对实部为正的复数根，系统不稳定。所以，使系统稳定的开环增益范围为0

（2）由超调量的计算公式及指标要求，有

???σ

Mp%?e解得，

1??2?16.3%

例2 系统的根轨迹

??0.5

即，系统闭环极点的阻尼角为

??cos?1??cos?10.5?60?。

在s平面上做等阻尼线OA，使之与负实轴夹角为β=±60°。OA与根轨迹相交于s1点，

容易求得，s1=－0.73+j1.27，代入幅值方程，有

Kg?|(?0.73?j1.27?2)4|?10.41

K?10.41/16?0.65

注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为s1、s2是主导极点，忽略s3、s4的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。

四、增加开环零、极点对根轨迹的影响.

结论:

1.增加开环零点后,根轨迹将向零点方向弯曲;若选择适当,可与极点 构成偶极子,抵消有损于系统稳定性的极点.

2.增加开环极点后,根轨迹向右弯曲,不利于系统的稳定性和动态性能.

五、闭环零、极点位置与暂态响应之间的关系:

1. 闭环极点位于左半s平面,系统稳定.

2. 若系统的闭环极点均为负实数且无零点,则响应为非振荡的. 3. 若系统有共轭复数主导极点,则系统暂态响应为振荡性质,其

?%决定于?1??2,并与其他零、极点位置有关,而ts决定于??n

4. 偶极子对系统暂态相应的影响可忽略,但接近原点时,其影响需考虑.

5. 复数主导极点之外的实数零、极点的作用:零点使响应速度加快,减小系统阻尼,超调量增加;极点会增大系统阻尼,使响应速度减慢,超调量减小.

容易求得，s1=－0.73+j1.27，代入幅值方程，有

Kg?|(?0.73?j1.27?2)4|?10.41

K?10.41/16?0.65

注意：本题应用二阶欠阻尼系统的超调量和阻尼比关系式估算四阶系统的性能指标，实际上是利用了闭环主导极点的概念。不难验证，本系统的闭环极点的分布满足主导极点的分布要求。可以认为s1、s2是主导极点，忽略s3、s4的作用，从而将一个复杂的四阶系统近似为二阶系统，大大简化了问题的处理过程。

四、增加开环零、极点对根轨迹的影响.

结论:

1.增加开环零点后,根轨迹将向零点方向弯曲;若选择适当,可与极点 构成偶极子,抵消有损于系统稳定性的极点.

2.增加开环极点后,根轨迹向右弯曲,不利于系统的稳定性和动态性能.

五、闭环零、极点位置与暂态响应之间的关系:

1. 闭环极点位于左半s平面,系统稳定.

2. 若系统的闭环极点均为负实数且无零点,则响应为非振荡的. 3. 若系统有共轭复数主导极点,则系统暂态响应为振荡性质,其

?%决定于?1??2,并与其他零、极点位置有关,而ts决定于??n

4. 偶极子对系统暂态相应的影响可忽略,但接近原点时,其影响需考虑.

5. 复数主导极点之外的实数零、极点的作用:零点使响应速度加快,减小系统阻尼,超调量增加;极点会增大系统阻尼,使响应速度减慢,超调量减小.

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