高考数学专题冲刺：集合与函数课时提升训练(13)(含答案)

集合与函数课时提升训练（13）

1、已知集合任意的

，存在

），则称集合

否为集合①

为集合

，若集合

，使得的一个

（其中

是，且对

元基底.（Ⅰ）分别判断下列集合

的一个二元基底，并说明理由； ，

是集合为集合

的一个基底

.

，

；②若

，则

，且

时，

；②的一个

，

；

元基底，求出

的最小可能值，并写出.

（Ⅱ）若集合（Ⅲ）若集合当

元基底，证明：

的一个

取最小值时

2、若集合具有以下性质：①

.

则称集合

是“好集”.（Ⅰ）分别判断集合

，有理数集

是否是“好集”，

并说明理由； （Ⅱ）设集合

是“好集”，求证：若

，则

：若

；（Ⅲ）对任意的一个“好集”，则必有

；命题：

，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题

若3、若①

，且，则必有为集合

；

且

的子集，且满足两个条件：

，使

；②对任意的

或

? ? .

，至少存在一个

? ? ? ? ? 具有性质

.如图，作行

列数表，定义数表中的第行第列的

则称集合组

数为（Ⅰ）当

.

时，判断下列两个集合组是否具有性质

，如果是请画出所对应的表格，如果

不是请说明理由； 集合组1：（Ⅱ）当

时，若集合组

；集合组2：具有性质；（Ⅲ）当

.

，请先画出所对应的行3列的一个数表，

时，集合组

是具有性质

表示集

再依此表格分别写出集合

且所含集合个数最小的集合组，求的值及合

所含元素的个数）

的最小值.（其中

4、已知函数（1）当

时，求

在区间的值；（2）当

是

上为增函数，且。

最小时，①求的值； ②若

图象上的两点，且存在实数

使得

，证明：

5、（本小题满分14分）对于函数式

和

。

，若存在常数

是函数

为常数）. ，试探究函数

与函数

是

，对于任意

，不等

都成立，则称直线为自然对数的底，

的分界线. 已知函数

(Ⅰ)讨论函数的单调性；(Ⅱ)设

否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.

6、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）S=

则下列结论不可能的是 A．7、设g(x)=2

︱x-1︱

．记集合

若

，

分别为集合元素S，T的元素个数，

=1且=0 B．C．=2且=2 D．

，值域是

=2且=3

，已知函数+m+1有唯一的零点，则

的定义域是（ ）

，若函数

A．2 B．8、已知函数

±1处的切线斜率均为

的最大值为4；③

，

C．1 D．0

，在定义域

．有以下命题：①

的最大值为

[-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝是奇函数；②若，最小值为

，则

在

内递减，则； ④若对

恒成立，则的最大值为2．其中正确命题的个数为

A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个

11、设函数么

.

的最大值为，最小值为，那

12、（本小题满分14分）已知函数在定义域上是奇函数；

（Ⅰ）求函数的定义域，并证明

（Ⅱ）若（Ⅲ）当

时，试比较

恒成立，求实数

与

的取值范围； 的大小关系．

13、对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即

满足

是不超过的最大整数.例如：

，则

的取值范

.直角坐标平面内，若

围

1、解：（Ⅰ）①不是

；

的一个二元基底.理由是

②理由是

是的一个二元基底.

，

. （Ⅱ）不

妨设形如多有形如

不同的正整数，

个；

，则形如

的正整数共有

个；形如

的正整数共有个；

的正整数至

的正整数至多有

为集合

的一个

元基底.故

.当

个.又集合

，即

时，为

含个

.

，即用基的一个4

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以

底中元素表示出的数最多重复一个. *假设元基底，不妨设当

时，有

，这时

，则

.

或.如果

，则由

，则

或.易

，与结论*矛盾.如果

知

时，有

的4元基底，矛盾.当是

不是

，易知，

当

，时，有

不是，易知，时，

，

不是，易知

的4元基底.当

不是

和，这时

都不是，时，有

，易知，这时

，时，有

的4元基底，矛盾.当不是，易知，时，有

，

，

不，易知

，时，有

的4元基底，矛盾.当

的4元基底，矛盾.当

的4元基底，矛盾.当

的4元基底，矛盾.

的

时，

的一个基底

4元基底，矛盾.当均不可能是

；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要写出一个即可.综上，

小可能值为5. 2、解：（Ⅰ）集合所以

不是“好集”. 理由是：假设集合. 这与

矛盾. 有理数集

是“好集”. 因为是“好集”. 因为

，，

的最

，,

对任意的所以有理数集（Ⅱ）因为集合

，有是“好集”.

，且时，.

是“好集”，所以

.

.若，则，即.所以

，即

（Ⅲ）命题

均为真命题. 理由如下： 对任意一个“好集”，任取，

若中有0或1时，显然.下设均不为0，1. 由定义可知：.

所以 即且

，即

. 同理可得，则

.若.

.所以

或

. 由（Ⅱ）可得：，则显然

.若

，

所以 所以

.

.所以 由（Ⅱ）可得：.

综上可知，，即命题为真命题.若，且，则.所以

，即命题为真命题.

3、（Ⅰ）解：集合组1具有性质质

. 因为存在

. ，有

所对应的数表为：集合组2不具有性

，与对任意的

在一个

，有

或

矛盾，所以集合组

，都至少存

不具有性质. （Ⅱ 注：表格中的

7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设合组， 所以集合组可得对任意

满足条件①和②，由条件①：，都存在

有

，所以

，

，即第行不全为0，

，都至少

所对应的数表为数表

，因为集合组

为具有性质

的集

所以由条件①可知数表存在一个第行与第

中任意一行不全为0. 由条件②知，对任意的，使

或

，所以

一定是一个1一个0，即

行的第列的两个数一定不同.

中任意两行不完全相同. 因为由

个，又因数表

所构成的元有序数组共有中任意两行都不完全相同，所以

所以由条件②可得数表

个，去掉全是的元有序数组，共有

，所以

又中的所以

.

个，去掉全是的数组，共

个，选择其

.

时，由所构成的元有序数组共有

个数组构造. 因为

行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质

等于表格中数字1的个数，

所以，要使在数表

中，

取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，

的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；

的个数为的行最多

行；因为上述共有

行；的个数为的行最多

行，所以还有行各有个，所

个.所以

以此时表格中最少有

的最小值为

.

4、解：。（1）当时，由

，得或，

所以在上为增函数，在，上为减函数，由题意知

，且。因为，

所以，

可知。 （2）① 因为

，

当且仅当时等号成立。由，有，

得；由，有，得；故取得

最小值时，

，。②此时，，，

由知，，欲证，先比较

与的大小。

因为

，

，所以，有

于是，即，另一方面，

，因为

，从而

。

5、（本小题满分14分）解：（1）

， 当

，即

。?14分同理可证

，所以

，因此

时，

，即，

函数在区间，函数

是区间

上是增函数，在区间

上的增函数 当

时，

上是减函数；当时，

即，

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.

（2）若存在，则

， 因此：到：

，

是否恒成立，设

，

当所以

时，

，即

，

，当

恒成立，令

恒成立，即

，则，所以

得

恒成立，由

现在只要判断，因为：

时，

恒成立，所以函数

，，

与函数

存在“分界线”. 6、D 7、C 8、B 11、 4021

12、解：（Ⅰ）由，解得或，∴ 函数的定义域为 当

时，

∴ 在定义域上是奇函数。 （Ⅱ）由时，

恒成立，

∴ ∴ ，

在

，由二次函数的性质可知时，

∴

成立 令

时函数单 （Ⅲ）

调递增，时函数单调递减，

=

证法一：设函数即立，

,

上递减，所以

，故

则时，

在

，成

在

则当时,成立.证法二：构造函数

， 当时，，

∴

当

在（

单调递减， ）时，

13、（1,5）∪[10,20）

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