江苏专用2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的

第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 第1课时 导数与函数的单调

性教师用书 理 苏教版

1.函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.

2.函数的极值

(1)求函数y＝f(x)的极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤： ①求f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

第一步 求f(x)在区间(a，b)上的极值；

第二步 将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 【知识拓展】

1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件. 2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有

1

f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.

3.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件. 【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ )

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.( × ) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( √ ) (6)三次函数在R上必有极大值和极小值.( × )

1.(教材改编)f(x)＝x3

－6x2

的单调递减区间为______. 答案 (0，4)

解析 f′(x)＝3x2

－12x＝3x(x－4)， 由f′(x)<0，得0

2.(教材改编)函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为____________. 答案 (π

3

，π)

解析 令f′(x)＝1－2cos x>0，得cos x<1

2，

又x∈(0，π)，所以π

3

3.(教材改编)函数y＝3x3

－9x＋5的极大值为________. 答案 11

解析 y′＝9x2

－9.令y′＝0，得x＝±1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

x (－∞，－－1 (－1，1) 1 (1，＋∞) 1) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值，

2

3×(－1)－9×(－1)＋5＝11.

4.函数f(x)＝＋x－3x－4在[0，2]上的最小值是________.

317

答案 －

3

解析 f′(x)＝x＋2x－3，

令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)， 1710

又f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，

3317

故f(x)在[0，2]上的最小值是f(1)＝－. 3

5.设a∈R，若函数y＝e＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________. 答案 (－∞，－1)

解析 ∵y＝e＋ax，∴y′＝e＋a. ∵函数y＝e＋ax有大于零的极值点， 则方程y′＝e＋a＝0有大于零的解， ∵当x>0时，－e<－1，∴a＝－e<－1.

xxxxxxx2

3

x3

2

第1课时 导数与函数的单调性

题型一 不含参数的函数的单调性

12

例1 (1)函数y＝x－ln x的单调递减区间为______.

2

(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin x＋cos x，则f(x)的单调递增区间是________________.

π??π??答案 (1)(0，1) (2)?－π，－?和?0，? 2??2??121x－1

解析 (1)y＝x－ln x，y′＝x－＝

2xx＝

?x－1??x＋1?

(x>0).

2

x令y′<0，得00，

3

π??π??则其在区间(－π，π)上的解集为?－π，－?和?0，?， 2??2??π??π??即f(x)的单调递增区间为?－π，－?和?0，?.

2??2??思维升华 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f′(x)；

(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.

12

(1)函数y＝4x＋的单调增区间为____________.

x(2)已知函数f(x)＝xln x，则下面关于函数f(x)单调性的判断正确的是________. ①在(0，＋∞)上递增； 1

③在(0，)上递增；

e

②在(0，＋∞)上递减；

1

④在(0，)上递减.

e

?1?答案 (1)?，＋∞? (2)④ ?2?

112

解析 (1)由y＝4x＋，得y′＝8x－2，

xx11

令y′>0，即8x－2>0，解得x>，

x21?1?2

∴函数y＝4x＋的单调增区间为?，＋∞?.

x?2?(2)因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)， 所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)， 1

当f′(x)>0时，解得x>，

e

1

即函数的单调递增区间为(，＋∞)；

e1

当f′(x)<0时，解得0

e1

即函数的单调递减区间为(0，).

e题型二 含参数的函数的单调性

32t－132

例2 (2016·江苏新海中学月考改编)已知函数f(x)＝2x＋tx－3tx＋(t≠0)，求f(x)

22的单调区间.

解 f′(x)＝6x＋3tx－3t＝3(2x－t)(x＋t).

4

2

2

令f′(x)＝0，得x＝－t或x＝. 2∵t≠0，以下分两种情况进行讨论： ①若t<0，则<－t.

2

由f′(x)>0，得x<或x>－t；

2由f′(x)<0，得

2②若t>0，则>－t.

2

由f′(x)>0，得x<－t或x>；

2由f′(x)<0，得－t

∴当t<0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，)，(－t，＋∞)，单调递减区间为(，－t)；

22当t>0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－t)，(，＋∞)，单调递减区间为(－t，). 22思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. (3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x，f′(x)＝3x≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.

讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax＋1的单调性.

解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，

2

a－12ax＋a－1

f′(x)＝＋2ax＝.

xx2

3

2

ttttttttttt①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ③当0

1－a，则当x∈(0， 2a1－a)时，f′(x)<0；2a1－a，2a1－a，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0， 2a1－a)上单调递减，在( 2a＋∞)上单调递增.

题型三 已知函数单调性求参数

12

例3 (2016·南通模拟)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋2x(a≠0).

2

5

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 解 (1)h(x)＝ln x－12

2

ax－2x，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝1

x－ax－2，由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，

所以当x∈(0，＋∞)时，1

x－ax－2<0有解，

即a>12

x2－x有解.

设G(x)＝12

x2－x，所以只要a>G(x)min即可.

而G(x)＝(1x－1)2

－1，所以G(x)min＝－1.

所以a>－1，即a的取值范围为(－1，＋∞). (2)由h(x)在[1，4]上单调递减得，

当x∈[1，4]时，h′(x)＝1

x－ax－2≤0恒成立，

即a≥12

x2－x恒成立.

所以a≥G(x)x)＝(12

max，而G(x－1)－1，

因为x∈[1，4]，所以11

x∈[4，1]，

所以G(x)7

max＝－16

(此时x＝4)，

所以a≥－716，即a的取值范围是[－7

16，＋∞).

引申探究

1.本题(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围. 解 由h(x)在[1，4]上单调递增得， 当x∈[1，4]时，h′(x)≥0恒成立， 即当x∈[1，4]时，a≤12

x2－x恒成立，

又当x∈[1，4]时，(12

x2－x)min＝－1(此时x＝1)，

∴a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1].

2.本题(2)中，若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.

6

解 h(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则h′(x)<0在[1，4]上有解， 12

即当x∈[1，4]时，a>2－有解，

xx12

又当x∈[1，4]时，(2－)min＝－1，

xx∴a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞). 思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路

(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.

(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.

已知函数f(x)＝eln x－ae(a∈R).

1

(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；

e(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围. 11xxxx解 (1)f′(x)＝eln x＋e·－ae＝(－a＋ln x)e，

xxxxf′(1)＝(1－a)e，由(1－a)e·＝－1，得a＝2.

1x(2)由(1)知f′(x)＝(－a＋ln x)e，

1e

x若f(x)为单调递减函数，则f′(x)≤0在x>0时恒成立. 1

即－a＋ln x≤0在x>0时恒成立.

x1

所以a≥＋ln x在x>0时恒成立.

x1

令g(x)＝＋ln x(x>0)，

x11x－1

则g′(x)＝－2＋＝2(x>0)，

xxx由g′(x)>0，得x>1； 由g′(x)<0，得0

故g(x)在(0，1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为

g(1)＝1，但g(x)无最大值(且无趋近值).

故f(x)不可能是单调递减函数.

7

若f(x)为单调递增函数，

1

则f′(x)≥0在x>0时恒成立，即－a＋ln x≥0在x>0时恒成立，

x1

所以a≤＋ln x在x>0时恒成立，由上述推理可知此时a≤1.

x故实数a的取值范围是(－∞，1].

5.用分类讨论思想研究函数的单调性

典例 (16分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋ax＋bx，其中函数g(x)的图象在点(1，

2

g(1))处的切线平行于x轴.

(1)确定a与b的关系；

(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.

思想方法指导 含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：

(1)方程f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法. 规范解答

解 (1)依题意得g(x)＝ln x＋ax＋bx， 1

则g′(x)＝＋2ax＋b.

2

x [2分]

由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴， 得g′(1)＝1＋2a＋b＝0， ∴b＝－2a－1.

2

[4分]

2ax－?2a＋1?x＋1

(2)由(1)得g′(x)＝ x＝

?2ax－1??x－1?

.

x∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)， ∴当a＝0时，g′(x)＝－

x－1

. x由g′(x)>0，得01.

[8分]

[9分]

1

当a>0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝，

2a

8

11若<1，即a>， 2a2

1由g′(x)>0，得x>1或0

2a1

由g′(x)<0，得

2a11若>1，即0

1

由g′(x)>0，得x>或0

2a1

由g′(x)<0，得1

2a11

若＝1，即a＝，在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0. 2a2综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减；

1

当0

211

在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增；

2a2a1

当a＝时，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增；

211

当a>时，函数g(x)在(0，)上单调递增，

22a1

在(，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增. 2a

[16分]

[14分]

[11分]

1.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________________. 答案 (－∞，－1)∪(0，1)

解析 因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0， 所以f(1)＝－f(－1)＝0. 当x≠0时，令g(x)＝f?x?

， x则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.

9

则当x＞0时，g′(x)＝[＝

f?x?

]′ xxf′?x?－f?x?

＜0，

x2

故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数. 所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0 ?

f?x?f?x?

＞0?f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0?＜0?f(x)xx＞0.

综上，知使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).

13

2.已知函数f(x)＝x＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的________________

2条件.

答案 充分不必要

32

解析 f′(x)＝x＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，

2故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件. 3.在区间(－1，1)内不是增函数的函数是________. ①y＝e＋x； ②y＝sin x；

③y＝x－6x＋9x＋2； ④y＝x＋x＋1. 答案 ④

解析 ①y＝e＋x，y′＝e＋1>0，在区间(－1，1)内是增函数； ②y＝sin x，y′＝cos x，在区间(－1，1)内是增函数；

③y＝x－6x＋9x＋2，y′＝3x－12x＋9＝3(x－2)－3，在区间(－1，1)内是增函数； 112

④y＝x＋x＋1，y′＝2x＋1，在区间(－，1)内y′>0，在区间(－1，－)内y′<0，在区

22间(－1，1)内不单调.

4.已知函数y＝f(x)在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为______________. 411

答案 [－，1]∪[，6]

33

4

解析 不等式f′(x)≤0的解集即函数y＝f(x)的减区间，由题图知y＝f(x)的减区间为[－，311411

1]，[，6]，故f′(x)≤0的解集为[－，1]∪[，6].

333

10

3

2

2

2

23

2

xxx

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