广东省汕头市金山中学2012届高三上学期期中考试数学（理）试题

广东省汕头市金山中学2012届高三上学期期中考试

数学（理）试题

本试卷满分150分，考试时间120分钟．

一、选择题：（本大题共8个小题；每小题5分，共40分）

21、若集合A?xx?1,x?R，B?yy?2x,x?R，则A?B?（ ）

????A．x?1?x?1

??B．xx?0 C．x0?x?1

????D．?

2、下列有关命题的说法正确的是（ ）

A．命题“若x=1,则x=1”的否命题为 若“x=1,则x?1 ” B．“x=-1”是“x-5x-6=0”的必要不充分条件

22C．命题“?x?R,使得x+x+1?0”的否定是：“?x?R均有 x+x+1?0”

222D．命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题

3、已知函数y?f(x)的图像关于x?1对称，且在（1，+∞）上单调递增，设a?f(?)，b?f(2)，

12c?f(3)，则a，b，c，的大小关系为（ ）

A.c?b?a B.b?a?c C.b?c?a D. a?b?c 4、为了得到函数y?sin(2x?A.向左平移

2??)的图像，只需把函数y?sin(2x?)的图像（ ） 36??个单位长度 B.向右平移个单位长度 22??C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度

44110????，??(,)，则sin(2??)的值为（ ） 5、若tan??tan?3424223272A.? B. C. D.

10101010?x?(x?0)6、已知f(x)??2，则f[f(x)]?1的解集是( )

?x2(x?0)?A.(??,?2] B. [42,??) C.(??,?1]?[42,??) D.(??,?2]?[4,??)

x7、若a?1，设函数f(x)?a?x?4的零点为m，g(x)?logax?x?4的零点为n，

12、规定符号

“?”表示一种两个正实数之间的运算，即a*b=ab?a?b, a,b是正实数，已知1?k=3,则函数

f(x)?k?x的值域是 13、设曲线y?xn?1(n?N*)在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an?lgxn，则

a1?a2???a99的值为 14、已知函数f(x)?4（a,b为整数），值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a,b)?1的定义域是[a,b]

x?2共有___________个.

三、解答题：（本大题共6小题，满分80分） 15、（本小题满分12分）

已知AB?(6,1),BC?(x,y),CD?(?2,?3)， (1)若BC//DA，求x与y之间的关系式；

(2)在(1)的前提下，若AC?BD，求向量BC的模的大小。 16、（本小题满分12分）

?????xxxx?xxxxaab已知向量a?·?(sin(sin,cos,cos),),b??(cos(cos,,33cos))，函数f(x)?a?bcosbb，

33333333

19、（本小题满分14分）

某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f?x?与时间x(小时)的关系为f?x??x1??a?2a,x??0,24?，其中a是与气象有关的参数，且2x?13?3?a??0,?，若用每天f?x?的最大值为当天的综合污染指数，并记作M?a?.

?4?(1)令t?x,x??0,24?，求t的取值范围； x2?1(2)求函数M?a?；

(3)市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合污染是否超标？请说明理由。

20、（本小题满分14分）

已知函数f(x)?2lnx?x(x?0)。 (1)求函数f(x)的单调区间与最值；

2(2)若方程f(x)?m?0在区间?,e?内有两个不相等的实根，求实数m的取值范围； （其中e为自然

e对数的底数）

(3)如果函数g(x)?f(x)?ax的图像与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)，且0?x1?x2，求证：

?1???g?(px1?qx2)?0（其中，g?(x)是g(x)的导函数，正常数p?、q满足p?q?1,q?p）

理科数学参考答案

一．选择题：（本大题共8个小题；每小题5分，共40分） 题号 1 答案 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 A

二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9、23 10、

?5 11、? 12、(1,+∞) 13、-2 14、5 6516、（本小题满

分12分）

??xxxx12x32x(Ⅰ)f(x)?a?b?sincos?3coscos?sin?(1?cos)33332323??3分 12x32x32x?3?sin?cos??sin(?)?232323322x??5????2k??，解得，3k???x?3k??,(k?Z).

2332445??,3k??],(k?Z).????6分 故函数f(x)的单调递增区间为[3k??44令2k????a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac1(Ⅱ)?b?ac,cosx????.????8分

2ac2ac2ac22?1??2x?5??cosx?1，0?x?,????， 233339?3?sin(2x??)?1， ?? ??10分 33?sin?3?sin(2x?333?)??1?即f(x)的值域为(3,1?]. 33222

?3综上所述，x?(0,],f(x)的值域为(3,1?]. ????12分

3217、（本小题满分14分）

??????解：（1）∵m?n,∴m?n?0,∴acosA?bcosB?0.????2分

由正弦定理知，

ab??2R?1，∴a?sinA,b?sinB. sinAsinB∴sinAcosA?sinBcosB,∴sin2A?sin2B.????4分 ∵A,B??0,??,∴2A?2B或2A?2B??.????5分 ∴A?B（舍去）,A?B?

(2)?sinB?cosA ?y?

?2。所以三角形ABC是直角三角形????6分

sinA?cosA . ????7分

sinAcosA?sinA?cosA?2sin(A?????3?),A?(0,),A??(,). 42444?2,1]?sinA?cosA?(1,2]????9分 ?sin(A?)?(422t?1令sinA?cosA?t?1,2?,sinAcosA?，????11分 ?2? ∴x?2t2.????12分 ?21t?1t?t∵t?在1,2?单调递增，∴0?t??1t??1t2?12， ?22∴x?22，?a?b,故x的取值范围为(22,??).????14分 18、（本小题满分14分） 解：（1）当a?0时， f(x)?13x?x2?1， 32∴f(3)?1， ∵f'(x)?x?2x-----------------------------2分

曲线在点(3,1)处的切线的斜率k?f'(3)?3

∴所求的切线方程为y?1?3(x?3)，即y?3x?8----------------4分 (3) ∵f'(x)?x?2(2a?1)x?3a(a?2)?(x?3a)(x?a?2)

2

∴x1?3a,x2?a?2-----------------------------------------------6分

①当x1?x2时，3a?a?2，解得a?1，这时x1?x2?3，函数y?f'(x)在(0,4)上有唯一的零点，故a?1为所求；-------------------------------------7分

②当x1?x2时，即3a?a?2?a?1，这时x1?x2?3，

又函数y?f'(x)在(0,4)上有唯一的零点，

∴??3?x2?4,?3?a?2?4,4????a?2，-----------------------10分

3?3a?4.?x1?4.③当x1?x2时，即a?1，这时x1?x2?3 又函数y?f'(x)在(0,4)上有唯一的零点，

∴??x1?0,?3a?0,????2?a?0------------------------13分

?0?x2?3.?0?a?2?3.综上得当函数y?f'(x)在(0,4)上有唯一的零点时，

?2?a?0或

4?a?2或a?1.---------------------------------14分 319、（本小题满分14分） 解（1）∵t?x,x??0,24?,x?0时，t?0. 2x?10?x?24时，t?xx?1x,x?11?1??2，∴0?t?.∴t??0,?。---------3分

2x?2?（2）令g(t)?t?1?1??a?2a,t??0,?--------------------4分 3?2?当a?1175?1?5?，即0?a?时，?.--7分 gx?g??a?2a?a????????max3412266??117311?，即?a?时，?.-10分 gx?g0??a?2a?3a????????max3412433当a?57?a?,0?a?,??612所以M?a??? --------------------11分

173?3a?,?a?.?3124?（3）当a??0,?7?7?7?时，是增函数，Ma?MMa?????????2.------12分

?12?12?12?

当a???73??3?23,?时，M?a?是增函数，M?a??M????2. ----------13分 124412????综上所述，市中心污染没有超标. --------------------14分

20、（本小题满分14分）

解：（1）∵f?(x)?22(1?x)(1?x)?2x?，x?0， -----1分 xx∴当0?x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递增；当x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递减。 ----3分

∴当x=1时，f(x)有极大值，也是最大值，即为-1，但无最小值。 -----4分 故f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,??)；最大值为-1，但无最小值。 （2）方程化为?m?2lnx?x， -----5分

由（1）知，f(x)在区间?,e?上的最大值为-1，f()??2?2，f(e)?2?e2，f(e)?f()。

eee?e?2?1?1112故?m?2lnx?x在区间?,e?上有两个不等实根需满足?2?2??m??1，

e?e??1?1-----7分

∴1?m?2?（3）∵g?(x)?11??，∴实数m的取值范围为。 -----8分 1,2??22?ee??2?2x?a，又f(x)?ax?0有两个实根x1,x2， x2??2lnx1?x1?ax1?0,222lnx?lnx?x?x?a?x1?x2? ∴?两式相减，得????12122??2lnx2?x2?ax2?0.∴a?2?lnx1?lnx2???x1?x2?,?x1?0,x2?0? -----10分

x1?x22?lnx1?lnx2?2于是g?px1?qx2???2?px1?qx2???(x1?x2)

px1?qx2x1?x2/ =

2?lnx1?lnx2?2???2p?1??x2?x1?.

px1?qx2x1?x2∵q?p,∴2q?1,∵2p?1,∴(2p?1)?x2?x1??0。 -----11分 要证：g/?px1?qx2??0，只需证：

2?lnx1?lnx2?2??0.

px1?qx2x2?x1

只需证：

x2?x1x?ln1?0. (＊)

px1?qx2x2令

x11?t?lnt?0 ?t??0,1?，∴(＊)化为

pt?1x2只证u(t)?lnt?1?t?0即可. -----12分 pt?q

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/uhov.html