初中数学专题训练--整式--因式分解

初中数学

因 式 分 解

一、因式分解的意义：

因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积形式

例01．下列四个从左到右的变形，是因式分解的是（ ）

A．(x?1)(x?1)?x2?1 B．(a?b)(m?n)?(b?a)(n?m)

2C．ab?a?b?1?(a?1)(b?1) D．m?2m?3?m(m?2?3) m说明 对因式分解理解应注意：①分解因式与因式分解是同义词；②结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式.

例02．在下面多项式中，能通过因式分解变形为?(3x?1)(x?2y)的是（ ）

A．3x2?6xy?x?2y B．3x2?6xy?x?2y C．x?2y?3x2?6xy D．x?2y?3x2?6xy

二、因式分解的方法 类型一、提公因式法

例01．在下面因式分解中，正确的是（ ）

A．x2y?5xy?y?y(x2?5x)

B．a(a?b?c)?b(c?a?b)?c(b?a?c)??(a?b?c)2 C．x(2?a)?x(a?2)?x(2?a)(x?1) D．2ab?4ab?ab?2ab(b?2b?1)

说明 A式左边是3项，而右边展开后是两项；D式左边无公因式2，只能提取出ab，而不能提取出2ab；若将B式右端展开，含a2的项的系数为－1，而将其左边展开，该项的符号为正。

例02．把?8xy?6xy?2xy分解因式的结果为 。 说明 要明确提公因式时应注意的事项：⑴如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正；⑵系数和字母应分别考虑. 公因式的系数应取各项系数的最大公约数；⑶字母应取各项共有的字母，并且各字母的指数取次数最低的。

32例03．分解因式：?3m?6m?12m

223224323例04．分解因式：?6(x?y)?18(y?x)?24(y?x). 说明 ⑴观察题目结构特征

⑵对于(x?y)与(y?x)的符号有下面的关系：

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?x?y??(y?x),?22?(x?y)?(y?x), ?

33?(x?y)??(y?x)??????例05．解方程：(12x?6)(23x?18)?6(1?2x)(13?23x)?0

例06．不解方程组??2m?n?3,求：5n(2m?n)2?2(n?2m)3的值.

?4m?3n?1,说明 本题巧妙地运用了转化思想，用提公因式法分解因式作为桥梁，把题给方程组和所求多项式结合起来，体现了思维的广阔性.

针对练习：

1、判断下列几个变形是否为因式分解的结果？

（1）2a2xy?2a2?xy； （2）x4?3x2?1?x2(x2?3)?1； （3）3mn2?6m2n?mn(3n?6m)； （4）ab?ac?a?a(b?c) 2、确定下列各题中的公因式：

（1）?4a2bc3,12ac2,8ab3； （2）?2a3(m?n),4a2(m?n)

3、 把下列各式分解因式：

322322 ⑴4ax?6ay?8az； ⑵?12mn?8mn?2mn

⑶mn(a?b)?2mn(b?a)； ⑷(x?y)?3a(y?x)

⑸3m(a?b)?2n(a?b)； ⑹4a(2p?q)?3a(2p?q)?2a(2p?q)

4、计算：

（1）0.23?3.15?0.91?3.15?0.14?3.15； （2） ?66?176?33?(?68)?22?126

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作业：

一、选择题

(1) 多项式x2?x6提取公因式x2后的另一个因式是（ ）

（A）x4 （B）x3 （C）x4?1 （D）x3?1 (2) 下列各式分解正确切是（ ）

（A）x5y3?6x3y2?x2y?x2y(x3y2?6xy) （B）4xyz?8x2y2?4xyz(1?2xy)

（C）?8a2b3?12a3b2?10abc??2ab(4ab2?6a2b?5c) （D）?3a3b5?6a2b3?12a4b2??3a2b2(ab3?2b?4a2) (3) 多项式6(a?b)4?10(a?b)3的公因式是（ ）

（A）(a?b)3 （B）(a?b)4 （C）2(a?b)3 （D）2(a?b)4 (4) 将m2(n?2)?m(2?n)分解因式等于（ ）

（A）m(n?2)(m?1) （B）m(n?2)(m?1)（C）(n?2)(m2?m)（D）以上都不对 (5) 下列因式分解的变形中，正确的是（ ）

（A）ab(a?b)?a(b?a)?a(a?b)(b?1) （B）6(p?q)?2(p?1)?2(p?q)(3p?q?1) （C）3(y?x)?2(x?y)?(y?x)(3y?3x?2) （D）3x(x?y)?(x?y)?(x?y)(2x?y) (6) 多项式x2n222?x3n分解因式为（ ）

nn?1（A）a （B）a （C）a(7) 多项式xn2n （D）an?1

?x3n分解因式为（ ）

32nn2nn2n3n?2（A）x(x?x) （B）x(?x) （C）x(1?x) （D）x(1?x二、将下列多项式分解因式：

（1）ab(x?y)?6ab(y?x) （2）(x?y)?y(y?x)

222)

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（3）（4）(3a?b)(3a?b)?(a?2b)(b?3a) (2m?n)(m?n)?(m?2n)(n?m)

三、解答题

1．求满足下列等式的x的值

（1）3x?6x?0 （2）5x(x?2)?4(2?x)?0

2．计算题

（1）72.5?65?53?65?65?30.5?65?21

（2）29?20.02?72?20.02?13?20.02?20.02?14

3．求值

2xyz2?xy2z?x2yz，其中x?

4．解答题

271，y?，z?. 520422已知x，y为不相等的正数，比较x(x?y)与y(x?y)的大小.

5．求值

22已知a?0.5，求多项式(a?1)(2a?3)?(a?1)(2a?3)?(a?1)(3?2a)的值.

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类型二、公式法

1、利用平方差公式因式分解：a2?b2??a?b??a?b?

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成a?b的形式，并弄清a、b分别表示什么。 例如：分解因式：

（1）1?9x； （2）4a?169b； （3）(m?n)2?4(m?n)2

2、利用完全平方公式因式分解：a2?2ab?b2??a?b?

222222注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成

a2?2ab?b2?(a?b)2公式原型，弄清a、b分别表示的量。

例如：分解因式：

（1）1?6x?9x； ⑵ (m?n)2?12(m?n)?36 x?8x?16

典型例题：

例1 用平方差公式分解因式：

22（1）?9x?(x?y)； （2）m?3n

221322说明 因式分解中，多项式的第一项的符号一般不能为负；分数系数一般化为整系数。

例2 分解因式：

44（1）ab?ab；（2）a(m?n)?b(m?n).

5说明 将公式法与提公因式法有机结合起来，先提公因式，再运用公式.

例3 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？ （1）a?6a?9； （2）x?8x?9；

22（3）4x?12x?9； （4）?12xy?x?36y.

222说明 可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.

例4 把下列各式分解因式：

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2⑴ ?x?4x?4； ⑵ 42xy?49x?212y ⑶ ?m2?4n2?4mn 9说明：在使用完全平方公式时，要保证平方项前的符号为正，当平方项前的符号是负号 时，先提出负号.

例5 分解因式：

⑴ 3ax2?6axy?3ay2. ⑵ 24a2b2?6(a2?b2)2

说明 ⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提再分解. ⑵分解因式必须进行彻底，直至每个因式都不能再分解为止.

例6 分解因式：

⑴ (m?2n)2?6(2n?m)(m?n)?9(m?n)2； ⑵ a?8ab?16b；

⑶ (m2?2m)2?2(m2?2m)?1.

⑷ a?14ab?49b

42364224 ⑸ 9(2a?b)2?6(2a?b)?1

说明 在运用完全平方公式的过程中，再次体现换元思想的应用，可见换元思想是重 要而且常用思想方法，要真正理解，学会运用. 例7 若x?2(a?4)x?25是完全平方式，求a的值.

说明 根据完全平方公式特点求待定系数a，熟练公式中的“a、b”便可自如求解.

2

121a?ab?b2的值. 22说明 将所求的代数式变形，使之成为a?b的表达式，然后整体代入求值.

例8 已知a?b?2，求

例9 已知x?y?1，xy?2，求xy?2xy?xy的值.

3223说明 这类问题一般不适合通过解出x、y的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy与x?y的式子，再整体代入求值.

例10 证明：四个连续自然数的积加1，一定是一个完全平方数.

说明 可用字母表示出四个连续自然数，通过因式分解说明结果是完全平方数.

例11 已知x和y满足方程组?

?3x?2y?422，求代数式9x?4y的值。

?6x?4y?3因 式 分 解

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分组分解法：当所给多项式有四项或四项以上时，应釆用分组分解法。

分组分解法应用较为灵活，通常一个多项式分组方法不只一种，但分组时要有预见性，可按以下步骤来完成：

1、按有公因式或可运用公式的原则合理分组； 2、组内提公因式或运用公式； 3、组间提公因式或运用公式。

例1 选择题：对2m?mp?np?2n运用分组分解法分解因式，分组正确的是（ ） （A）(2m?2n?np)?mp （C）(2m?2n)?(mp?np)

（B）(2m?np)?(2n?mp) （D）(2m?2n?mp)?np

说明 本组题目用来判断分组是否适当.

例2 因式分解：

（1）a2x?a2y?b2x?b2y； （2）mx?mx?n?nx

说明：（1）把有公因式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一； （2）分组的方法不唯一，而合理的选择分组方案，会使分解过程简单；

（3）分组时要用到添括号法则，注意在添加带“－”的括号时，括号内每项要变号； （4）实际上，分组只是为实际分解创造了条件，并没有直接达到分解的目的。

例3 分解因式：

22（1）1?x?4xy?4y； （2）x?a?2ab?b； ⑶ a?4b?a?2b

222222说明 把能应用公式的各项归为一组，这是正确分组的方法之一；。

例4 分解因式：ax?ax?ax?a

说明：有公因式时，“首先考虑提取公因式”是因式分解中始终不变的原则。

例5 分解因式：

2⑴ 5x?15x?x?3 ⑵ 7x?3y?xy?21x

3222说明 根据“对应系数成比例”的原则合理分组，可提高分解的速度。

例6 把下列各式分解因式： （1）xy?xz?y?2yz?z；

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（2）a?b?c?2bc?2a?1； （3）x2?4xy?4y2?2x?4y?1.

说明 对于项数较多的多项式，以“交叉项”为突破口，寻找“相应的平方项”进 行分组，这使分组有了一定的针对性，省时提速.

例7 分解因式：

（1）x(x?1)(x?2)?6； （2）ab(x2?1)?x(a2?b2)

说明 本组两题原题本身给出的分组形式无法继续进行，为达到分解的目的，对此 类型题，可采用先去括号，再重新分组来进行因式分解。即“先破后立，不破不立”。

例8 分解因式：

⑴ p2?5pq?6q2?p?3q； ⑵ a?4b?a?2b?4bc?c?c. 说明 项数多时，要仔细观察项与项之间有着内在联系，通过巧妙分组以求突破.

例9 分解因式：

⑴ a?5a?6； ⑵ m?3m?10. ⑶ x?x?2； ⑷ x?2x?15. 说明 本题属于x?(p?q)x?pq型的二次三项式，可用规律公式来加以分解.

例10 分解因式：

（1）(a?b)?5(a?b)?4； （2）p?7pq?12q. 例11

求证：对于任意自然数n，3n?222222222222222?2n?3?3n?2n?1一定是10的倍数.

说明 欲证是10的倍数，看原式可否化成含10的因式的积的形式.

※例12 分解因式：a?7a?6 说明： 添项拆项法

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