2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第4课时函数的奇偶性与周期性练习理

第4课时函数的奇偶性与周期性

1．函数f(x)＝x ＋9x

(x≠0)是() A ．奇函数，且在(0，3)上是增函数B ．奇函数，且在(0，3)上是减函数

C ．偶函数，且在(0，3)上是增函数

D ．偶函数，且在(0，3)上是减函数

答案 B

解析 因为f(－x)＝－x ＋9－x ＝－(x ＋9x )＝－f(x)，所以函数f(x)＝x ＋9x

为奇函数．当x 1，x 2∈(0，3)(x 10，x 1x 2<9，所以(x 1－x 2)x1x2－9x1x2

>0，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在(0，3)上是减函数，故选B.

2．(2018·黑龙江大庆模拟)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是()

A ．y ＝x 2

B ．y ＝－x 3

C ．y ＝－ln|x|

D ．y ＝2x

答案 C

解析 A 项，y ＝x 2是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；B 项，y ＝－x 3是奇函数，不合题意；C 项，y ＝－ln|x|是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；D 项，y ＝2x 不是偶函数，不合题意．故选C.

3．若函数f(x)＝ax 2＋bx ＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax 3＋bx 2＋9x 是()

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

答案 A

解析 由于f(x)＝ax 2＋bx ＋8(a≠0)是偶函数，所以b ＝0，所以g(x)＝2ax 3＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)3＋9(－x)＝－(2ax 3＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax 3＋9x 是奇函数．故选A.

4．(2015·陕西)设f(x)＝x －sinx ，则f(x)()

A ．既是奇函数又是减函数

B ．既是奇函数又是增函数

C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

答案 B

解析 易得f(x)是奇函数，由f ′(x)＝1－cosx ≥0恒成立，可知f(x)是增函数，故选B.

5．函数f(x)是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是减函数，则f(x)在[2，3]上是()

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减的函数

D ．先减后增的函数

答案 A

6．(2018·山东临沭一中月考)已知定义在R 上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝()

A ．－3

B ．0

C ．1

D ．3

答案 B

解析 用－x 换x ，可将f(x ＋3)＝f(－x)＝－f(x)，

∴T ＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)．

∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.

7．(2017·课标全国Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x －2)≤1的x 的取值范围是()

A ．[－2，2]

B ．[－1，1]

C ．[0，4]

D ．[1，3]

答案 D

解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝1.于是－1≤f(x－2)≤1等价于f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x ≤3.故选D.

8．若定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)的大小关系是()

A ．f(2 015)

B ．f(2 015)>f(2 016)>f(2 017)

C ．f(2 016)>f(2 015)>f(2 017)

D ．f(2 016)

答案 A

解析 因为定义在R 上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R ，都有f(x ＋2)＝－f(x)成立，所以f(x ＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2 015)

9．已知定义在R 上的函数f(x)满足：y ＝f(x －1)的图像关于(1，0)点对称，且当x≥0时恒有f(x －32

)＝f(x ＋12

)，当x∈[0，2)时，f(x)＝e x －1，则f(2 016)＋f(－2 015)等于() A ．1－e B ．e －1

C ．－1－e

D ．e ＋1

答案 A

解析 y ＝f(x －1)的图像关于(1，0)点对称，则f(x)关于原点对称．当x≥0时恒有f(x －32)＝f(x ＋12

)，即函数f(x)的周期为2.所以f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.

10．设函数y ＝f (x)(x∈R )为偶函数，且?x ∈R ，满足f(x －32)＝f(x ＋12

)，当x∈[2，3]时，f(x)＝x ，则当x∈[－2，0]时，f(x)等于()

A ．|x ＋4|

B ．|2－x|

C ．2＋|x ＋1|

D ．3－|x ＋1|

答案 D

解析 因为?x ∈R ，满足f(x －32)＝f(x ＋12)，

所以?x ∈R ，满足f(x ＋32－32)＝f(x ＋32＋12

)， 即f(x)＝f(x ＋2)．

若x∈[0，1]时，则x ＋2∈[2，3]，f(x)＝f(x ＋2)＝x ＋2，

若x∈[－1，0]，则－x∈[0，1]．

因为函数y ＝f (x)(x∈R )为偶函数，所以f(－x)＝－x ＋2＝f(x)，即f(x)＝－x ＋2.

若x∈[－2，－1]，则x ＋2∈[0，1]，则f(x)＝f(x ＋2)＝x ＋2＋2＝x ＋4.

综上f(x)＝?

????x ＋4，－2≤x<－1，－x ＋2，－1≤x≤0，故选D. 11．(2018·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝(x 2

－2x)·sin(x －1)＋x ＋1在[－1，3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝()

A ．4

B ．2

C ．1

D ．0

答案 A

解析 设t ＝x －1，则f(x)＝(x 2－2x)sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sint ＋t ＋2，t ∈[－2，2]．记g(t)＝(t 2－

1)sint ＋t ＋2，则函数y ＝g(t)－2＝(t 2－1)sint ＋t 是奇函数．由已知得y ＝g(t)－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4.故选A.

12．如果函数g(x)＝?????2x －3，x>0，f （x ），x<0是奇函数，那么f(x)＝________． 答案 2x ＋3

解析 令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x －3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x ＋3， 所以f(x)＝2x ＋3.

13．已知y ＝f(x)＋x 2

是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．

答案 －1

解析 令H(x)＝f(x)＋x 2，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

14．已知函数f(x)＝x 3＋x ，对任意的m∈[－2，2]，f(mx －2)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围为________．

答案 (－2，23

) 解析 易知原函数在R 上单调递增，且为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0?f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，此时应有mx －2<－x ?mx ＋x －2<0对所有m∈[－2，2]恒成立．

令g(m)＝xm ＋x －2，此时只需?????g （－2）<0，g （2）<0即可， 解得－2

. 15．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________． 答案 {x|－1

解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)

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