08 三角形三内角和 - 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较
更新时间:2023-11-15 08:23:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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三角形三内角和
——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较
1840年,俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学.尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学,但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果,所以,今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”.
罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理,几年的努力都失败了,失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的.1826年,身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设,提出了与欧几里得几何(简称欧氏几何)完全相反的公设:“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行.”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”.由罗氏公理很容易推出以下结论:“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行.”
罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理.如果不涉及与平行有关的内容,罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同.但是只要与平行有关,那么结果就相差甚远.下表对罗巴切夫斯基几何(简称罗氏几何)、欧氏几何不同的定理作了说明.
图7-11
欧氏几何 三角形的三内角和等于180 o. 罗氏几何 三角形的三内角和小于180 o;并且不同的三角形有不同的内角和. 存在矩形和相似形. 两个三角形的三个对应角相等则两个三角形相似. 两平行线之间的距离处处相等. 不存在矩形和相似形. 两个三角形的三个对应角相等,则两个三角形全等. 两平行线之间的距离,沿平行线的方向越来越小. 凤凰初中数学配套教学软件_知识拓展
欧氏几何说:“三角形的三内角和等于180 o.”现实生活中有没有这种几何模型呢?有!平面上的三角形的内角和就等于180 o,如图7-12左图.
罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”.难道现实生活中也会有这样的几何模型吗?有!1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面,人们给它起名叫“伪球面”.在“伪球面”上可以证明:“三角形内角和小于180 o”,如图7-12中间的图.
图7-12
现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学?有!这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的,如图7-12右图.
黎曼生于德国汉诺威,父亲是牧师,他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学.可是进哥廷根大学后,他很快被数学所吸引.于是就放弃神学专攻数学,并成为大数学家高斯的学生.1851年他获得数学博士学位,博士论文受到高斯极高的评价.1859年他成为哥廷根大学的教授,1866年因患肺结核死于意大利,年仅40岁.
黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何,叫做“黎曼几何”.黎曼几何的模型是球面,在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.”
后来,人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”.非欧几何在现代物理中,特别是相对论提出之后找到了具体用处,使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”,而成了有着重要现实意义的几何学.
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