高考数学（文科）中档大题规范练（三角函数）（含答案）

中档大题规范练

中档大题规范练——三角函数

?sin x－cos x?sin 2x

1．已知函数f(x)＝.

sin x(1)求f(x)的定义域及最小正周期； (2)求f(x)的单调递增区间． 解 (1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)， 故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}． ?sin x－cos x?sin 2x

因为f(x)＝

sin x＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－2cos2x ＝sin 2x－(1＋cos 2x) π

2x－?－1， ＝2sin?4??

2π

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

2(2)函数y＝sin x的单调递增区间为

?2kπ－π，2kπ＋π?(k∈Z)．

22??

πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)，

242π3π

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ(k∈Z)．

88所以f(x)的单调递增区间为

?kπ－π，kπ?和?kπ，kπ＋3π?(k∈Z)． 88????

2．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b＝3，且函数f(x)＝23sin2x＋2sin xcos x－3在x＝A处取得最大值． (1)求f(x)的值域及周期；

(2)求△ABC的面积．

解 (1)因为A，B，C成等差数列， 所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π， π2π

所以B＝，即A＋C＝. 33

因为f(x)＝23sin2x＋2sin xcos x－3 ＝3(2sin2x－1)＋sin 2x＝sin 2x－3cos 2x π2x－?， ＝2sin?3??2π

所以T＝＝π.

2

π

2x－?∈[－1,1]， 又因为sin?3??所以f(x)的值域为[－2,2]． (2)因为f(x)在x＝A处取得最大值， π

2A－?＝1. 所以sin?3??

2ππ

因为0

333ππ

故当2A－＝时，f(x)取到最大值，

325π

所以A＝π，所以C＝. 124

3c

由正弦定理，知＝?c＝2.

ππsin sin

342＋6ππ??又因为sin A＝sin?4＋6?＝，

43＋31

所以S△ABC＝bcsin A＝.

24

3．已知函数f(x)＝3sin 2x＋2cos2x＋a. (1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；

π

(2)当x∈[0，]时，函数f(x)有最大值4，求实数a的值．

4解 f(x)＝3sin 2x＋2cos2x＋a

＝cos 2x＋3sin 2x＋1＋a π

＝2sin(2x＋)＋a＋1.

6(1)函数f(x)的最小正周期为

2π

＝π， 2

πππ

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

262ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

36

ππ

故函数f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．

36πππ2π

(2)∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，]，

4663π1

从而sin(2x＋)∈[，1]．

62

π

∴f(x)＝2sin(2x＋)＋a＋1∈[a＋2，a＋3]，

6∵f(x)有最大值4，∴a＋3＝4，故a＝1.

π

4．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈[0，]．

2(1)若|a|＝|b|，求x的值；

(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 解 (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x， |b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1， 由|a|＝|b|，得4sin2x＝1. π1又x∈[0，]，从而sin x＝，

22π

所以x＝. 6

(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin2x ＝

311

sin 2x－cos 2x＋ 222

π1＝sin(2x－)＋. 62

πππ

当x＝∈[0，]时，sin(2x－)取最大值1，

326

3

所以f(x)的最大值为.

2

π

5．已知函数f(x)＝4cos ωx·sin(ωx－)＋1(ω>0)的最小正周期是π.

6(1)求f(x)的单调递增区间；

π3π

(2)求f(x)在[，]上的最大值和最小值．

88π

解 (1)f(x)＝4cos ωx·sin(ωx－)＋1

6＝23sin ωxcos ωx－2cos2ωx＋1 π

＝3sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin(2ωx－)．

62π

最小正周期是＝π，所以，ω＝1，

2ωπ

从而f(x)＝2sin(2x－)．

6

πππ

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z.

262ππ

解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

63

ππ

所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．

63π3πππ7π

(2)当x∈[，]时，2x－∈[，]，

88612126－2π

f(x)＝2sin(2x－)∈[，2]，

62

6－2π3π

所以f(x)在[，]上的最大值和最小值分别为2，.

882

6.在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值． 解 在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，AB＝100 m， 所以∠ACB＝30°.

100BC100sin 15°

由正弦定理，得＝，即BC＝. sin 30°sin 15°sin 30°

100sin 15°

在△BCD中，因为CD＝50，BC＝，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，

sin 30°

100sin 15°sin 30°50

由正弦定理，得＝，

sin 45°sin?90°＋θ?解得cos θ＝3－1.

因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.

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