3-2 有限长杆上的热传导

这是数学物理方程的课件,我觉得老师做的挺好的,供大家学习吧。

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设有一均匀细杆,长为 l,两端点的坐标为 x= 0与 x= l,杆的侧面是绝热的,且在端点 x= 0处温度是零摄氏度,而在另一端 x= l处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去,已知初始温度分布为 ( x ) .求杆上的温度变化规律.即考虑下列定解问题: (1) 0< x< l, t> 0 ut= a 2 uxx (2) t>0 u(0, t )= 0, ux ( l, t )+ hu( l, t )= 0 (3) u( x, 0)= ( x ) 0≤ x≤ l

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设定解问题的特解为:

u( x, t )= X ( x )T ( t )代入(1)中,则有

T′( t ) X′′( x )== β 2 a 2T ( t ) X ( x )即

T′+β 2 a 2T= 0 X′′+β 2 X= 0

(4)

这是数学物理方程的课件,我觉得老师做的挺好的,供大家学习吧。

解方程(4)得

X ( x )= A cosβ x+ B sinβ x(5)

由边界条件可知

X (0)= 0, X′( l )+ hX ( l )= 0A=0

β cosβ l+ h sinβ l= 0tanγ=αγ1γ=β l,α= hl

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方程 tanγ=αγ的根可以看作是曲线 y= aγ y2=αγ与直线 y1= tanγ交点的横坐标,显然它们的交点有无穷多个, γ 2于是方程有无穷多个根,有这些根可以确定出特征值β 2 .

y y= tanγ

γ1 γ 1

γ2

γ3

γ

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得特征值:

β 12=特征函数:

γ 12l2

,β 22=

γ 22l2

2,…,β n=

2γn

l

2

,…

X n ( x )= Bn sinβ n x

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解方程 T′+β 2 a 2T= 0得由上两式得特解:

Tn ( t )= Ane

2 β n a2t

un ( x, t )= X n ( x )Tn ( t )

= C ne其中 C n= An Bn .

2 β n a2t

sinβ n x( n= 1, 2, 3,…)

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由于方程(1)与边界条件(2)都是齐次的,所以

u( x, t )=∑ un ( x, t )=∑ C nen=1∞

∞

∞

3 β n a2t

n=1

sinβ n x

(6)

u( x, 0)=∑ C n sinβ n xn=1

现在要考察函数系{sinβ n x}在[0, l]上的正交性:

∵∫ sinβl 0

m

x sinβ n xdx= 0, m≠ n.l 0

令 Ln=∫ sin 2β n xdx

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由于初始条件(3),所以∞ ( x )=∑ C n sinβ n xsinβ k xn=1

sinβ k x∞

( x )sinβ k x= sinβ k x∑ C n sinβ n x在[0, l]上积分得l 0 kl

n=1

∫ ( x )sinβ xdx= L C 1 C=∫ ( x )sinβ xdx Lk kk k 0 k

将上代入(6)中,即得原定解问题的解.

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1 Ck= Lk得原定解问题的解.

∫ ( x )sinβl 0

k

xdx

u( x, t )=∑ un ( x, t )=∑ C nen=1 n=1

∞

∞

3 β n a 2t

sinβ n x

这样求出的函数 u( x, t )仍是形式解,要想它确实是(1)—(3)的解,还必须对 ( x )加上一定的光滑性.

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解定解问题 u 2u= a2 2, x t u| x= 0= ux| x= l= 0, q0 u|t= 0= x . k

0< x< l, t> 0

t>0 0≤ x≤ l

分离变量后得 X (0)= X′( l )= 0 X′′( x )+λ X ( x )= 0相应的特征值为求 的非零解. X (0)= X′( l )= 0数学物理方程与特殊函数主页上一页下一页退出

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通解为 X ( x )= A cosβ x+ B sinβ x代入(6)′得

A= 0 B cosβ l= 0

由于 B≠ 0,故 cosβ l= 0,即2n+ 1β=π 2l

( n= 0,1, 2,…

)

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从而求得一系列特征值与特征函数: 2 2 (2n+ 1)πλn= 4l 2 (2n+ 1)π ( n= 0,1, 2,…) X n ( x )= Bn sin x 2l则对应T(t)的方程的通解为:

Tn ( t )= C n e

2 a 2λn t

( n= 0,1, 2,…)

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所求定解问题的解可表示为u( x, t )=∑ C n en= 0∞ a 2 ( 2 n+ 1)π 2

2l

t

(2n+ 1)π sin x 2l

利用初始条件可确定其中的任意常数:q0 x (2n+ 1)π∫0 ( k )sin 2l xdx 8q0 l Cn== l (2n+ 1)πx k (2n+ 1)2π 2 sin 2 dx∫0 2ll

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故所求的解为:

8q0 u( x, t )= 2 kπ

( 1)∑ (2n+ 1)2 e n= 0∞

n+1

( 2 n+ 1)πa t 2l

2

(2n+ 1)π sin x 2l

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矩形域上的边值问题散热片的横截面为一矩形[0,a]×[0,b],它的一边 y=b处于较高的温度，其它三边保持零度。求横截面上的稳恒的温度分布. 2v 2v ( x, y )∈ (0, a )× (0, b ) 2+ 2= 0, y x v ( x, 0)= 0, v ( x, b )= U, x∈[0, a] v (0, y )= v (a, y )= 0, y∈[0, b] 数学物理方程与特殊函数主页上一页下一页退出

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分离变量： v( x, t )= X ( x)Y ( y )得到方程：

X '' Y+ XY ''= 0

Y ''( y ) X ''( x) == λ Y ( y) X ( x)边界条件：X (0)Y ( y )= 0

X ( x)Y (0)= 0

X (a)Y ( y )= 0

X ( x)Y (b)= U退出

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Y ''( y ) X ''( x) == λ Y ( y) X ( x)

X ''+λ X= 0;n 2π 2λn= 2 a

X (0)= 0

X (a )= 0.

nπ x X ( x)= C2 sin a

n= 1,2,

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n 2π 2 Y '' 2 Y= 0; a

nπ y nπ y Y ( y )= A exp[]+ B exp[ ] a a v( x, t )= X ( x)Y ( y )nπ y nπ y nπ x]+ Bn exp[ ]}sin vn ( x, y )={ An exp[ a a a数学物理方程与特殊函数主页上一页下一页退出

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