微分方程期末考试卷与答案

《 常微分方程 》期末考试试卷（3）

班级 学号 姓名 成绩

一、填空（每格3分，共30分） 1、方程

M(x,y)d?xN(,x?)yd有y只

含

y的积分因子的充要条件是

___________________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若

X1(t),X2(t),,Xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是

__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若

?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则

?(t)和?(t)具有的关系是

_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、 计算题(每题10分,共60分) 8、ydx?(x?9、x???y3)dy?0

x?sint?cos2t

??1??21?10、若A??，试求方程组x??Ax的解?(t),?(0)?????并求expAt。 ???14???2?11、(dy3dy)?4xy?8y2?0。 dxdxdyy ?6?xy2的通解。dxx12、求伯努利方程

13、求方程

dy?x?y2经过（0，0）的第三次近似解。 dx三、证明.（10分）

14、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。

1

《 常微分方程 》期末考试试卷（4）

班级 学号 姓名 成绩

一、填空（每格5分，共30分）

1、 形如 的方程，称为变量分离方程，这里.f(x).?(y)分别为x.y的连续函数。 2、 形如 的方程，称为伯努利方程，这里P(x).Q(x)为x的连续函

数.n?0.1是常数。引入变量变换 ,可化为线性方程。

3、 如果存在常数L?0,使得不等式 对于所有

（x,y1),(x,y2)?R都成立L，称为利普希兹函数常f(x,y)称为在R上关于y满

足利普希兹条件。

4、 形如 的方程，称为欧拉方程，这里a1,a2,是常数。

5、 设?(t)是x??Ax的基解矩阵，?(t)是x??A(t)x?f(t)的某一解，则它的任一解

?(t)可表为 。

二、 计算题(每题10分,共40分)

dyy ?6?xy2的通解。dxxdyy7、 求方程??exy的通解。

dxx6、 求方程

8、 求方程x''?6x'?5x?e的隐式解。 9、求方程

2tdy ?x?y2通过点（0、0）的第三次近似解。dx三、证明.（30分）

?0?t2t?'10、试验证??t?=??是方程组x=??2??2t1??t2间a?t?b上的基解矩阵。

1??x?2?x,x=?1? ，在任何不包含原点的区

?x2?t??11、设??t?为方程x=Ax（A为n?n常数矩阵）的标准基解矩阵（即?（0）=E），证明:

'??t???1(t0)=?(t- t0)其中t0为某一值.

2

试卷（1）答案

一、填空（每格3分，共30分） 1、方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与x有关的积分因子的充要条件

?M?N??y?x??(x)。 是

N2、若x1(t),x2(t),是w[x1(t),x2(t),3、若

,xn(t)为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件 ,xn(t)]?0。

?(t)和?(t)都是x'?A(t)x的基解矩阵，则

?(t)和?(t)具有的关系是

?(t)??(t)C，(a?t?b)C为非奇异常数矩阵。

4、函数f(x,y)称为在矩形域Ｒ上关于y满足利普希兹条件，如果 存在常数Ｌ>0，对于所有

(x1,y1),(x2,y2)?R都有使得不等式f(x1,y1)?f(x2,y2)?Ly1?y2成立。

5、当

?M?N?时，方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0称为恰当方程，或称全微分方程。 ?y?x6、若?(t)是x??A(t)x的基解矩阵，则x??A(t)x?f(t)满足x(t0)??

的解x(t)??(t)??1(t0)???(t)7、若xi(t)(i?1,2,?tt0??1(s)f(s)ds。

?an(t)x?0的n个线性无关解，

,n)为n阶齐线性方程x(n)?a1(t)x(n)?则这一齐线性方程的通解可表为x(t)??cx(t)，其中ciii?1n1,2c,?,cn是任意常数。

xdy8、求=f(x,y)满足y(x0)?y0的解等价于求积分方程y=y0+?f(x,y)dx的解。

dxx09、如果f(x,y)在R上 连续 且关于y满足李普希兹条件，则方程

dy?f(x,y)存在唯一的dx 3

解y??(x)，定义于区间x?x0?h上，连续且满足初始条件?(x0)?y0，其中

h?mina(,b)，M?maxf(x,y)。

(x,y)?RM

二、计算题(每题10分,共50分)

dy1?y2?10、求方程 的解。 dxxy?x2ydy1?y2?解：原式可化为 dxy(x?x2)

ydydx?

1?y2x(1?x)12 两边积分后 ln1?y?lnx?ln1?x?c1

2222即(1?y)(1?x)?cx

分离变量得

21x故原方程的通解为 (1?y)(?2)?cx2

11、求方程

dy?x?y2通过点(1,0)的第二次近似解。 dx解：令?0(x)?0 则

?1(x)?y0??(x?y02)dx??xdx?11xxxx121x? 22121513111x?x?x?x? 2206430?2(x)?y0??[x??12(x)]dx??[x?(x2?)2]dx?1112、求非齐线性方程x???x解：线性方程x???又

?sint的特解。

1212x?0的特征方程?2?1?0，故特征根???i。

f(t)?sint， ??i是特征单根，所以原方程有特解x?t(Acost?Bsint)，将其

代入原方程得A??211， B=0 。故原方程的特解为x??tcost。 2213、求解恰当方程(y?3x)dx?(4y?x)dy?0。

4

解：

?M?N?1，?1 . ?y?x则

?M?N? . ?y?x所以此方程为恰当方程。

凑微分，ydx?xdy?3xdx?4ydy?0

2得 x?xy?2y?C

3214、 求伯努利方程

dyy ?6?xy2的通解。dxx?1解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=y,算得

dzdy ??y?2dxdxcx2dz6代入原方程得到 ??z?x，这是线性方程，求得它的通解为z=6?8xdxxx6x8x21c??c，这就是原方程的解。 带回原来的变量y，得到=6?或者y88yx此外方程还有解y=0. 三、证明.（20分）

15、1)试验证初值问题

?21?x???x???14?3t，

??1??(0)???????2?的解为:

??1?t(??1??2)?; ?(t)?e????2?t(??1??2)?2）求该微分方程组的expAt。

1）证明：

p(?)???21?1??2?6??9?0解得?1,2?3此时 k=1n1?2

??41i??1?t3t?i???1?3t??1?t(??1??2)? ?????v ?(t)?e??(A?3E)????e????2?t(??1??2)???2??i?0i!???2?2）解：由公式expAt=

e?tti得 (A??E)?i!i?05

n?1i

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