第八章时间数列

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第八章光结局和夜结局推荐度：
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第五章时间数列

第一节时间数列的基本问题一、时间数列的概念和构成

1.概念

? 将反映社会经济现象数量特征的统计指标值按时间先后顺序加以排列所形成的统计

数列。 2.构成

? 社会经济现象所属的时间；

? 反映各个时间社会经济现象数量特征的统计指标数值。例：

我国近几年经济发展几项指标统计表 GNP（亿元） GDP（亿元）分配数列与时间数列的区别：

? 分配数列静态的，时间数列是动态的；

? 分配数列根据分组标志来排列的，时间数列是根据时间次序来排列的；

? 构成的要素是不一样的，时间数列由时间和各个时间的标志表现构成，分配数列是

由各组的标志表现与各组的单位数的构成的；

? 分析方法不同，分配数列是通过计算平均数、成数、方差、相关回归、统计指数等，

时间数列是通过计算水平指标、速度指标、统计指数等来分析的。

1980 4518 4518 1985 105851 8989 8964 1990 114333 18598 18548 1994 119850 46533 46622 1995 121121 57277 58261 年底总人口数（万人） 98705 二、时间数列的种类

表现形式不同，分为绝对数时间数列、相对数时间数列、平均数时间数列。㈠绝对数时间数列

把一系列的总量指标按时间顺序排列而成的时间数列，叫绝对数时间数列 1.时期数列特点：

⑴各个时期的指标数值可以相加；

⑵数列中每一个指标数值的大小与其所包括的时期长短有直接关系； ⑶数列具有连续统计的特点。 2.时点数列特点：

⑴各个时期的指标数值不可以相加；

⑵数列中每一个指标数值的大小与其所包括的时期长短没有直接关系； ⑶数列不具有连续统计的特点。我国近几年经济发展几项指标统计表人） GNP（亿元） GDP（亿元） 4518 4518 8989 8964 18598 18548 46533 46622 57277 58261 1980 1985 105851 1990 114333 1994 119850 1995 121121 年底总人口数（万98705 ㈡相对指标时间数列㈢平均指标时间数列

三、时间数列的编制原则

1. 时间的长度前后应一致； 2. 总体范围应是一致的； 3．指标的经济内容应一致；

4．指标的计算口径、计算价格和计量单位应一致。

第二节时间数列的水平指标

三个层次分析：静态分析、比较静态分析、动态分析

进行动态分析的指标有：水平分析指标和速度分析指标。

水平分析指标包括发展水平指标、平均发展水平指标、增长量和平均增长量；速度分析指标主要包括发展速度、平均发展速度、增长速度、平均增长速度和增长１％的绝对数值等。

一、发展水平和平均发展水平

㈠发展水平

是指时间数列中的每项具体的指标数值。它反映社会经济现象在各个时期所达到的规模水平和取得的成果，一般用符号ai?i?0,1,2?,n?。

由前面时间数列的种类可以看出，发展水平既可以是绝对数，如国民生产总值、年末职工人数等；也可以是相对数或平均数，如计划完成程度、流动资金周转次数等。

根据时间数列中发展水平所处的不同，发展水平有最初水平、最末水平和中间水平之分。通常把时间数列的第一项发展水平称为最初水平，一般用a0来表示；时间数列最后一项称为最末水平，一般用an表示；中间各项叫中间水平。

发展水平按其在时间数列中的作用不同可分为报告期水平和基期水平。通常将所要反映与研究的那一期的发展水平叫做报告期水平或计算期水平，把用来作为对比的基础时期的水平叫做基期水平。㈡平均发展水平

是对不同时期的发展水平求得的平均数，又称做序时平均数。 ⒈根据绝对数时间数列计算平均发展水平 ⑴由时期数列计算平均发展水平

a?a2???ana?1?n??ani

例：某公司1997年１～６月产值资料如下，现要求计算该公司1997年上半年平均月产值。

某公司1997年1～6月总产值时间 1 2 3 4 5 总产值（百万元） 2 2.5 3 3.2 3.4 某公司1997年1～12月总产值（注：曲解）时间 1~2 3~5 6 7~10 总产值（百万元） 2 3 3.2 3.4

⑵由时点数列计算平均发展水平

根据资料掌握情况与排列的不同，时点数列可分为连续时点数列与间断时点数列。连续时点数列是指以天为最小单位将指标按顺序排列所形成的时点数列。间断时点数列是指间隔一定时间进行登记，通常是期初或期末登记的时点指标按顺序排列而形成的时点数列。

6 3.6 11~12 3.6 3

①由连续时点数列计算平均发展水平

对于连续时点数列又可分为两种情况：未分组资料与分组资料。

a?未分组资料，可采用简单算术平均数法计算。a??in

例：某企业3月上旬每天职工人数资料如下：时间职工人数（人） 1 120 2 120 3 125 4 126 5 126 6 126 7 130 8 132 9 132 10 136 ? 资料已分组的情况，即资料每隔一段时间才有变动时，以时间间隔长度为权数

采用加权算术平均数。计算公式为：

af?a??f?iii 7 130 8 132 10 136 时间（人） 1 3 125 4 126 职工人数120 ②由间断时点数列求平均发展水平又分为间隔相等与间隔不等两种情况。

? 间隔相等，用“首末折半法”

ana1?a?a???a?23n?1?22 a?n?1推导：

an?1?ana1?a2a2?a3a3?a4??????2222a?n?1

ana1?a2?a3???2?2n?1例：某农场第三季度生猪存栏头数时间生猪存栏头数（头） 7.1 2040 8.1 2035 9.1 2045 10月1日猪存栏头数2058头。求：第三季度的月平均生猪存栏头数

a1an?a?a???a??23n?122a?n?120402058?2035?2045? 22?4?1?2043(头? 间隔不等的情况下，先求各间隔内的平均数，然后再以时点间隔长度为权数进

行加权算术平均，其计算公式为：

a2?a3a3?a4an?1?ana1?a2f?f?f???fn?1123?2222 a?f1?f2??fn?1例：某大学1997年在册学生人数资料如下表：试计算该年平均在册学生人数。某大学在册学生统计时间在册学生人数（人） 1.1 3408 3.1 3258 7.1 3250 9.1 3590 12.31 3575 1~2月平均在册人数=(3408+3258)/2=3333 3~6月平均在册人数=(3258+3250)/2=3254 7~8月平均在册人数=（3250+3590）/2=3420 9~12月平均在册人数=（3590+3575）/2=3582.5

a1?a2a2?a3a3?a4an?1?anf?f?f???fn?1?123222a?2f1?f2??fn?13333?2?3254?4?3420?2?3582.5?42?4?2?4?3404?人??判断是时期还时点数列；时期——算术平均法

时点——判断是连续的还是间断的连续——算术平均法

间断——判断是间隔相等的还不等的间隔相等的——首末折半法间隔不等——

a2?a3a3?a4an?1?ana1?a2f?f?f???fn?1123?2222a?

f1?f2??fn?1

2.相对数与平均数时间数列平均发展水平

分别计算分子分母的时间数列的平均发展水平，再进行对比得到相对数或平均数的时间数列的平均发展水平。

?c??ab?

某企业1997年第2季度流动资金周围次数资料如下，试计算该企业第2季度平均每月流动资金周转次数。

某企业1997年第2季度流动资金周转次数时间产品销售收入（万元）a 月末流动资金占用额（万元）b 流动资金周转次数（次）c （3月末流动资金占用额为300万元）

4月 600 200 2.4 5月 720 180 3.79 6月 900 300 3.75 二、增长量与平均增长量

（一）增长量

增长量是时间数列中报告期水平与基期水平之差，它反映报告期比基期增长变化的绝对数量，其计算公式这：

增长量＝报告期水平—基期水平?a1?a0

正增长、负增长

根据所选择基期不同，增长量又可分逐期增长量和累计增长量两种。

逐期增长量＝报告期水平—前一期水平

累计增长量＝报告期水平—固定期水平

用符号表示，对于时间数列a0,a1,a2,??,an 逐期增长量为：a1?a0,a2?a1,a3?a2,??,an?an?1 累计增长量为：a1?a0,a2?a0,a3?a0,??,an?a0 逐期增长量与累计增长量存在如下关系：（1）逐期增长量之和等于累计增长量。即：

(a1?a0)?(a2?a1)?(a3?a2)????(an?an?1)?an?a0

（2）相邻两个累计增长量之差，等于相应时期的逐期增长量。即：

(an?an?1)?(an?a0)?(an?1?a0)

举例：

某地区1991～1996年消费品零售额资料

时间零售额增长量逐期 1991 1992 1993 1994 1995 1996 2899.2 3801.4 4374.0 5115.0 6534.6 7074.2 （a0）（a1）（a2）（a3）（a4）（a5） - - 902.2 902.2 572.6 741.0 1419.6 539 1474.8 2215.8 3635.4 4175.0 （万元）累计在实际工作中，为了消除季节变动的影响，经常计算本期发展水平与上年同期发展水平的增长绝对量，即年距增长量。计算公式为：

年距增长量＝本期发展水平—上年同期发展水平

（二）平均增长量

平均增长量是各个逐期增长量的序时平均数，用以说明所研究现象在一定时期内平均每期增长的绝对数量。一般用简单算术平均法计算。其计算公式为：

逐期增长量之和平均增长量＝逐期增长量个数

(a?a)累计增长量?ii?1＝?时间数列基数—1n根据上表计算1991～1996年消费零售额平均增长量为：

逐期增长量之和平均增长量＝逐期增长量个数902.2＋572.6＋741.0＋1419.6＋539.6 ＝＝835（万元）54175.0或＝＝8356?1第三节时间数列的速度指标

时间数列的速度分析指标主要有发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度和增长1%的绝对数值。

一、发展速度和增长速度

（一）发展速度

发展速度是以相对数形式表示的两个不同时期发展水平的比率，用以说明报告期水平已发展到基期水平的百分之几或者若干倍。用公式表示：

报告期水平发展速度＝

基期水平根据计算发展速度时采用的基期不同，发展速度有定基和环比之分。

环比发展速度是报告期水平与前一期水平之比，说明报告期水平相对前一期水平来说，已发展到若干（或百分之几）。计算公式为：

报告期水平环比发展速度＝

前一期水平用符号表示：

a1a2a3a,,,??,n a0a1a2an?1定基发展速度是报告期水平与某一固定时期水平（通常为时间数列最初水平）之比，说明报告期水平发展到最初水平的若干倍（或百分之几），是现象在较长时期内总的发展速度。其计算公式为：

报告期水平定基发展速度＝

某一固定期水平用符号表示：

a1a2a3a,,,??,n a0a0a0a0环比发展速度与定基发展速度存在如下换算关系：

（1）各环比发展速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度。即：

a1a2a3aa??????n?n a0a1a2an?1a0两个相邻时期的定基发展速度之商等于相应时期的环比发展速度。即：

?an??an?1?an??a?????a???a

n?1?0??0?此外，在实际工作中，为了消除季节变动的影响，也经常计算年距发展速度，用以说明本期发展水平与上年同期发展水平对比而达到的相对发展速度。其计算公式为：

本期发展水平年距发展速度＝

上年同期发展水平（二）增长速度

增长速度是增长量与基期水平的比率，用以说明报告期水平比基期水平增加了若干倍（百分之几）。其计算公式为：

增长量报告期水平—基期水平＝基期水平基期水平报告期水平＝—1?发展速度—1

基期水平a?aa用符号表示：10?1?1a0a0增长速度＝正、负值说明？

由于采用基期不同，增长速度可分为定基增长速度与环比增长速度。环比增长速度是用逐期增长量与前一期水平对比，表明所研究现象逐期增长或下降的相对程度。其计算公式为：

逐期增长量报告期水平—前一期水平环比增长速度＝＝前一期水平前一期水平＝环比发展速度—1 a?aa?aa?aa?an?1用符号表示：10,21,32,??,na0a1a2an?1定基增长速度是将累计增长量与某一固定基期水平相对比，表明所研究现象在较长时期

内总的增长程度。其计算公式为：

累计增长量报告期水平—固定基期水平定基增长速度＝＝固定基期水平固定基期水平＝定基发展速度—1 a?aa?aa?aa?a0用符号表示：10,20,30,??,na0a0a0a0定基增长速度与环比增长速度，不能直接进行换算。如果需要换算，必须将增长速度还

原为发展速度，再进行推算。年距增长速度的计算公式为：

年距增长量年距增长速度＝＝年距发展速度—1

上年同期发展水平例：

某地区1990～1995年国内生产总值资料

时间国内生产总值（万元）发展速增长速

1990 4679 a0 100.0 — — — 1991 5220 a1 111.6 111.6 11.6 11.6 1992 5628 a2 120.3 107.8 20.3 7.8 1993 5943 a3 127.0 105.6 27.0 5.6 1994 6159 a4 131.6 103.6 31.6 3.6 1995 6604 a5 141.1 107.2 41.1 7.2 定基定基度（%）环比度（%）环比二、平均发展速度与平均增长速度

（一）平均发展速度

平均发展速度是各个时期环比发展速度的平均数，它说明社会经济现象在各个时期所处的条件及影响其变化的因素不同，因而各时期的发展速度有差异，而平均发展速度通过对各个时期发展速度的平均，消除了差异，便于对不同时期社会经济现象的发展变化进行对比；同时，平均发展速度也是进行统计分析和预测的依据。计算方法：

1.水平法（几何平均法）

水平法的实质是：从最初水平a0出发，以平均发展速度（以x表示）代替各环比发展速度X1,X2,X3,?,Xn，经过n期发展，达到最末水平an。即：

?a0?X1?X2??Xn?an

a0?x?x?x?an

a0?x?an

由此可以得到平均发展速度x的计算公式：

?????nx?n?ana0

an为第n期的定基发展速度等于相应时期各环比发展速度的连乘积的关系，上式又可a0写成：

x?nX1?X2?X3?Xn?n举例：

??Xi

某地区1990～1995年国内生产总值资料

时间国内生产总值（万元）发展速增长速定基定基度（%）环比度（%）环比

1990 4679 a0 100.0 — — — 1991 5220 a1 111.6 111.6 11.6 11.6 1992 5628 a2 120.3 107.8 20.3 7.8 10

1993 5943 a3 127.0 105.6 27.0 5.6 1994 6159 a4 131.6 103.6 31.6 3.6 1995 6604 a5 141.1 107.2 41.1 7.2

30252015数列原值10五年移动平均四年移动平均50198519861987198819891990199119921993199419951996

(二)分段平均法

分段平均法是将时间数列和项数值平均分为几个部分，各求其平均数，然后将这几个平均数绘在图上，据此可确定两点、三点等，将两点联结成一直线、三点联结成抛物线即为趋势线。 1.直线型趋势

令直线趋势方程为：yt?a?bt

将时间数列分为两大部分，然后由每半个数列求出一个平均数作为直线上的两个点。代入直线方程联立确定参数a，b。即：y???yn11，t1?t??n11，y2?y??n22，t2?t??n22

将它们分别代入方程yt?a?bt形成方程组：

?y1?a?bt1

???y2?a?bt2

求解得a b 年份 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 2.抛物线型趋势产量（万吨） 11.60 13.18 12.96 16.81 19.93 18.27 21.96 23.27 28.60 31.50 时间序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 趋势值yt 令抛物线型的方程为：yi?a0?a1ti?a2ti2，将时间数列平分为三个部分，分别求平均数。

即：y1??y?n11，t1??t?n11，y2??y?n2?2，t2??t?n2?2，y3???yn33，

代入方程组，即可求得方程系数：a0,a1,a2

y1?a0?a1t1?a2t1 y2?a0?a1t2?a2t2

y3?a0?a1t3?a2t3

???2?2???2例：某企业1987年～1995年产值资料如下表所示年份 1987 1988 1989 1990 1991 产值（万元） 300 320 355 374 380 时间序号t 1 2 3 4 5 通过绘制图形，可知数列变动为抛物线形。 1992 376 6 1993 365 7 1994 362 8 1995 360 9 y1??y??n11300?320?355??325

3374?380?376??376.7

3365?362?360??362.3

3t1??t??n11?3

y2??y?n2n32t2???tn22?5

y3y??3t3t??n33?7

将上述三组数据代入方程组，即可解得

a0?260.5a1?40.24a3??3.4

抛物线方程为：yi?260.5?40.24ti?3.4ti2 （三）最小平方法

^??最小平方法的要求是：??yi?yi??最小值

??2在拟合时间数列变动趋势时，应配合怎样的趋势线，必须根据时间数列的数据特点来决

定。其方法有两种：（1）根据图形来判断。

（2）根据数据中数据变化的特点来判断

时间数列中数据一级增长量即逐期增长量大体一致——直线

时间数列中数据二级增长量即逐期增长量的逐期增长量大体一致——抛物线时间数列中各期环比发展速度大体一致——指数曲线 1.直线趋势

直线趋势方程为：yt?a?bt

^ 17

^??根据最小平方法的要求：??yi?yi??最小值

??^2??即??yi?yi????yi?a?bt??最小值

??22令：Q???yi?a?bt?

2要使Q最小，即要满足：

?Q??2??yi?a?bt??0 ?a?Q??2??yi?a?bt?(?t)?0 ?b整理后可得方程：

?y解得：

b?i?na?b?t

2?tyi?a?t?b?t

n?tyi??t?yin?t?(?t)2?2

a?y?bt

?举例：

某企业1985～1995年某产品年度销售量年度 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 合计销售量y时间序（万台）号t 21.2 24.2 25.7 27.2 25.9 28.7 29.3 29.9 32.2 34.5 35.8 314.6 ty 21.2 48.4 77.1 108.8 129.5 172.2 205.1 239.2 289.8 345 393.8 时间序号t -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 t225 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 110 ty -106 -96.8 -77.1 -54.4 -25.9 0 29.3 59.8 96.6 138 179 142.5 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64 9 81 10 100 11 121 66 506 2030.1 根据上述资料试求直线趋势方程。 b?n?tyi??t?yin?t?(?t)22?11?2030.1?66?314.611?506?662?1.2955

314.666?1.2955??20.83 1111即趋势线方程为： a?y?bt???yt?20.83?1.2955t 对于b?n?tyi??t?yin?t?(?t)2i22^，如果?t?0

ty?则可简化为：b??t?

???同样由于?t?0，t?0，a?y?bt?y

上例的计算见6,7,8列。求得趋势方程为yt?28.62?1.2955t

上例中是具有奇数项的数据可以设为-5,-4,?-1,0,1,?4,5；如果是偶数项则应设为?-9,-7,-5,?,-1,1,?,5,7,9。 2.抛物线趋势

方程式为：yi?a0?a1t?a2t2 用最小平方法可得到标准方程：

^^?yi?na0?a1?t?a2?t2 ?a0?t?a1?t2?a2?t3

2?tyi?t2yi?a0?t?a1?t3?a2?t4

解上述方程组即可得到a03.指数曲线趋势其方程式为：yt?abt

要求解上述方程，只需对上式两边取对数，即可化作直线型。即：

lgyi?lga?tlgb

^a1a2的解

令y/?lgyA?lgaB?lgb

即可将上式化为：y/?A?tB，与直线趋势方程无异。

三、季节变动分析

测定季节变动一般是计算季节比率或季节指数。其测定方法根据是否考虑长期趋势变动又可分为两种。不考虑长期趋势的，是按月（季）平均法；考虑长期趋势的为移动平均

趋势剔除法。

（一）按月（季）平均法

该方法不考虑长期趋势影响，直接用原始时间数列计算。具体计算方法如下： 1. 计算各年的月（季）平均数；

2. 计算若干年内同月（季）的平均数； 3. 计算总的月（季）平均数；

4. 计算各月（季）的季节比率。即：

同月（季）平均数各月（季）季节比率＝全期总的月（季）平均数例：某地区1991年～1995年某商品销售资料如下，试计算季节比率。某地区1991～1995年某商品销售额 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合计月平均 1991 22 25 30 35 40 50 90 100 105 45 30 80 652 54.33 1992 33 35 45 40 45 55 100 120 115 60 40 30 718 59.83 1993 43 50 55 60 65 68 115 135 120 70 50 35 866 72.17 1994 48 52 60 65 72 78 120 140 130 80 62 45 952 79.33 1995 50 58 64 71 78 82 130 190 132 88 71 48 1062 88.50

196 220 254 271 300 333 555 685 602 343 253 238 4250 354.17 合计同期平均 39.2 44 50.8 54.2 60 66.6 111 137 120.4 68.6 50.6 47.6 850 70.83 季节比率 55.34 62.12 71.72 76.52 84.71 94.03 156.7 193.4 170 96.85 71.44 67.2 1200 100.00

季节比率250200150季节比率100500123456789101112

由图中可以看出，7,8,9三个月是销售旺季，而其它季节是销售淡季。（二）移动平均趋势剔除法

当时间数列中既含有季节变动又含有长期趋势时，采用该方法。计算方法是： 1. 用移动平均法求出长期趋势值yt；

2. 用数列中各月（季）的数值y与其趋势值yt对比，

y以剔除长期趋势的影响； yt 20

3. 将

y按月（季）排列，计算各年同月（季）的平均数，求得季节比率 yt例：某企业连续16个季度的商品销售量资料如下表，试以移动平均趋势剔除法测定各季度的季节比率。

年份

季度销售量y 4项移动平均 4项移正平均 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

15 18 6 9 17 20 8 11 19 22 10 13 21 24 12 15

yyt

12.25 0.4898