高中数学第一章导数及其应用1.1.1平均变化率教案

§1.1.1平均变化率

教学目标：

1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． (一)、探究新知，揭示概念 教学过程设计 一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题

现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图：

（注： 3月18日

为第一天）

1、你从图中获得了哪些信息？

2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这

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样的感觉，这是什么原因呢?

3、 怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？ 师生讨论，教师板书总结：

分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”，

18.6?3.5当时间从1到32，气温从3.5C增加到18.6C，气温平均变化 ?0.5o

o

32?1当时间从32到34，气温从18.6C增加到33.4C，气温平均变化 33.4?18.6o

o

34?32因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。

【教师过渡】:“

?7.418.6?3.5?0.5 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。

32?1提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。

【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。

假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考：

1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？

2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。

学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。

【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

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（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel演示）

3、当空气容量从V1增到加V2时，气球的平均膨胀率是多少？ 讨论得出： r(v2)?r(v1)

v2?v1实例三：高台跳水运动

【学生思考】： 在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度是h(t)= -4.9t+6.5t+10。 1、运动员在每段时间内的速度是匀速的吗？

2、分别计算运动员在0≤t≤0.5，1≤t≤2这两段时间里的平均速度。 3、当时间从t1到t2时，运动员的平均速度是多少？ （三）、分析归纳，抽象概括

【教学活动】：针对下面三个实例，教师引出问题：“我们通过观察图象得出了气温的平均变化率、通过分析表格，得出气球的平均膨胀率、通过分析解析式，得到了运动员的平均速度”。（幻灯出示） 1、 实例一:在气温的变化问题中，当时间从t1到t2时,气温的平均变化率=

2

f(t2)?f(t1)

t2?t1r(v2)?r(v1)

v2?v12、实例二: 在气球的半径变化问题中，当体积从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率=

2、 实例三：在高台跳水问题中，当时间从t1到t2时，运动员的平均速度=

h(t2)?h(t1)

t2?t1【学生思考】 ：

1. 上述三个问题，有什么共同特征? 2. 你能归纳出分析此类问题的一般方法吗？ 3. 下图中函数从x1到x2的平均变化率怎样计算？

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4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？

5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：

1．上述问题中的变化率可用式子

f(x2)?f(x1)表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率

x2?x12．若设?x?x2?x1, ?f?f(x2)?f(x1) (这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1+?x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1)) 3．则平均变化率为

f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f?? ??x?xx2?x1?x（四）、知识应用，深化理解

例1．已知函数f(x)=?x?x的图象上的一点A(?1,?2)及临近一点B(?1??x,?2??y),则

2?y? ． ?x解：?2??y??(?1??x)2?(?1??x)，

?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x ∴?x?x例2．求y?x2在x?x0附近的平均变化率。

22x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x02?解：?y?(x0??x)?x0，所以??2x0??x ?x?x?x22所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x 四．课堂练习

1．质点运动规律为s?t?3，则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

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3.过曲线y=f(x)=x上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结 1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业

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