数学方法与精神 复习题

1. 叙述皮亚诺的自然数公理系统。 皮亚诺公理，是数学家皮亚诺提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

三个基本概念： 0，数，后继 五条公理： 1. 0是一个数。

2. 任何数的后继是一个数。

3. 若两个数不同，则它们的后继也不同。 4. 0不是任何数的后继。 5. 数学归纳法原理。

皮亚诺所谓的“数”是指所有自然数所构成的类，即指包括0在内的自然数全体；他没有假定我们知道这类中的所有分子，仅假定当我们说这个或那个是一个数时，我们知道我们所指的是什么。

皮亚诺以“后继”来代表从数到数的一种对应，这种对应是一对一的，是一部以数造数的机器——给一个合适的起始数，潜在地，就足以造出数的全体。这个合适的起始数只有一个，那就是“0”。 “0”、“数”、“后继”是不加以定义的原始概念，它们的性质全由皮亚诺的五条公理所界定和描述。

从皮亚诺的公理系统出发，可以建立起完整的算术理论——可以定义数的加法、乘法和大小关系，可以证明已有的所有算术结果。

2. 你认为数学可以完全规约为逻辑吗？论述你的观点。

我认为数学并不能完全规约为逻辑。逻辑主义学派认为，数学可以完全由逻辑得到。罗素和怀特相当成功的把古典数学纳入了一个统一的公理系统，使之能从几个逻辑概念和公理出发，再加上集合论的无穷公理就能推出康托集合论、一般算术和大部分数学来。这把逻辑推理发展到前所未有的高度，使人们看到，在数理逻辑演算的基础上能够推演出许多数学内容来，形成了集合论公理系统的逻辑体系。但后来数理逻辑中的一些深刻结果（如Godel不完备性定理）则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。数学确实有逻辑以外的题材，那就是表达式，而且她的最重要的简单真理是直观的——而非逻辑的——产物。 ZFC系统中存在的非逻辑公理即能说明这一点。

3. 试述ZF系统的MP规则和GEN规则。

ZF的逻辑演绎规则有两条；这些规则使我们可以把一个公式A作为某有限个公式A1,A2,??,Am的直接后承而演绎出来。这两条规则是：(1)(2)分离规则（MP规则）：从A和A?B可推演出B，其中

A和B是任意两个公式.??x??A?，其中概括规则（GEN规则）：从A可以推演出?generalisation??modusponens?A是任一公式，而x是任一变元.注释：

1?分离规则对应于日常语言中进行论证的标准方式之一：从命题“甲蕴含乙”和“甲”分离（即推演）出命题“乙”。通常称“甲蕴含乙”为大前提，“甲”为小前提，而“乙”为结论。因此，分离规则反映的正是三段论式推理的形式。2?概括规则对于涉及量词性质的推理是必要的。一个公式A总是或者含有自由变元，或者不含自由变元；前种情形出现时，称A是开命题，而后种情形出现时，称A是一个闭命题。对一个开命题A，记作A?x,y,?,z?，其中x,y,?,z表示A的所有自由变元，那么??z????y???x??A?x,y,?,z??变成了一个闭命题。我们看到，量词的作用是对变元加以约束和限制，受到量化的变元就失去了变元的作用。对于谓词公式，当它是闭命题时，在论域确定的情况下，该命题的真假值依赖于谓词的含义而定；当它是开命题时，它的真假值一般说来不能谈论，因为它含有的自由变元没有确定赋值——它不能构成可以判断真假的陈述。

4. ZFC系统的非逻辑公理有哪些条款？其中哪几条最能体现数学价值而又不能归约为

逻辑？

（ZF1）两个集合相等，当且仅当它们有相同的元素。（外延公理） （ZF2）没有元素的集合存在。（空集公理）

（ZF3）给出任何集合x和y，总存在着集合z，它的元素是x和y。（配对公理） （ZF4）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的元素的元素为元素。（并集公理） （ZF5）给出任何集合x，总存在着集合y，它以x的一切子集为元素。（幂集公理）

（ZF6）若对于任意的x，恰好存在唯一的y，使得公式A(x,y)成立，那么对于任意的集合z，存在集合u，使得

u = { v | 存在w∈z ，使得A(w,v)成立 }。 （替换公理模式）

（ZF7）存在一个集合x，它含有无穷多个元素。（无穷公理）

（ZF8）每个非空集合x含有一个元素y，y作为集合与x无公共元素。（基础公理）

（AC）对任何由两两不交的非空集合组成的集合x，总存在一个集合y，它与x的每个成员恰有一个公共元素。（选择公理）

（ZF2）空集公理和（ZF7）无穷公理（AC）选择公理

（ZF2）和（ZF7）是分别断言集合存在和无限集合存在的公理；实质上，它们断言的正是空集?和自然数集N存在。这两条公理实难作为逻辑公理看待，它们是干脆的数学公理。因此，将集合论完全划归逻辑范畴不可能得到数学界的认可。一般认为：逻辑主义自定的目标——数学化为逻辑，成为逻辑的一部分——不可能实现。除此之外，选择公理也被证明是一条数学原理，不能归约为逻辑。

5. 自然数系有哪些基本原理？详细叙述之。

定理2（ 递归原理） 设S是一个集合，?:S?S为一个映射，a是S的任一个事先给定的素元。那么，存在Ν到S的唯一的映射f:Ν?S，满足 f?0??a , 且 f?n?????f?n? ??n?Ν? . 上述定理是我们可以做出递归定义的理论依据。例如，自然数系中的加法和乘法两种运算，都是用递归方式定义的；这两种运算的定义的合理性在本质上基于上面的递归定理。这点我们将在下一讲中看清。

定理3（数学归纳原）理 设P?x?是一个含有自由变元x的谓词公式，那么 ?P?0??????n?Ν??P?n??P?n???????n????P?n?? .注：在使用数学归纳原理去证明数学命题时，必须注意有两个步骤缺一不可：?1? 证明：命题P?0?真；?2? 证明：命题“若P?n?真，则P?n??真。”也真。 数学归纳原理是最重要而基本的数学原理。它的理论意义在于帮我们超越了有限，达到了无限；而在方法上，它教会我们把问题“退”到最简单易解的情形，然后再用归纳法飞跃地“进”。 定理（4Ν 与?的统一性） 对于N与?，存在唯一的双射h:Ν??，适合? h?0???， 且 h?n????h?n??. 基于上述定理，数学上Ν与?常不予区分。尊重数学家们的习惯，我们就将定义3?作为自然数系的标准定义。在此我们强调一点：自然数系是存在的集合，无限公理的引入无非就是为了肯定它在集宇宙中的合法存在性。 既然自然数系具有上述的统一性，那么对于自然数系N，引入其元素的抽象记号就是自然的。自然数最常用的抽象记号系统就是它们的阿拉伯数字表示系统： 1?0?, 2?1?, 3?2?, ? , 9?8?, 10?9?, ??这一表示法的合理性由递归原理所保证。

6. 什么是有限集、无限集和可数集？ 设S是一个集合，我们规定

（1）如果存在n∈N使得S与｛0，1，?，n｝相似，或S与?相似，则称S是有限集；否则，称S是无限集。

（2）如果S与N相似，则称它是可列集。

（3）如果S是有限集或可列集，则称S是可数集或至多可列集。

7. 谈谈你对零的看法。 数学表述着事物复杂的本质，而把庞大的数学体系连成了一个整体的是零。从简单的计数到复杂的运算，从估计事物发生的几率到精确知道与我们相关的事件何时达到最大值，这些有力的数学工具都让我们使用这样的思考方法：一个事件的发生与其他的事件相关，并且所有这些都离不开零这个中心。如：eiπ+1=0（数学中最重要的常数都集中于此）

8. 谈谈你对无限的看法。？ 无限即无穷，在数学上，从哲学上讲,从公元前400多年前开始对无穷的观念就产生了分歧,潜无穷与实无穷的无穷观一直争论至今.潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程;实无穷的无穷观认为无穷是实际存在的,无穷是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象.现代数学的主流是以经典数学为基础的，经典数学以ZFC公理集合论系统为基础，承认无穷集合的存在，故经典数学接受实无穷观，同时也不排斥无穷作为一个过程存在，可以认为经典数学中的无穷观是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。大学数学学习的是经典数学，故而大学数学中的无穷观应是潜无穷与实无穷辩证统一的无穷观。

9. 谈谈你对算术运算的看法（将同一运算在不同数系中的功能作一比较）。你觉得算

术运算的威力表现在哪里？？

算术运算就是数的加、减、乘、除以及乘方开方等数学运算，区别于几何运算。对于算术来说，它是数学中最古老,最基础和最初等的部分.它研究数的性质及其运算.把数和数的性质,数和数之间的四则运算在应用过程中的经验积累起来,并加以整理,就形成了最古老的一门数学—算术。其威力表现在无穷、逻辑、结构、迭代和心灵信条。通过算术运算，数系从自然数系逐步拓展到实数系，而这整个过程的推导是内在统一的，算术运算的威力就体现在这个地方。

10. 从自然数到整数，再到有理数，这样，数系被扩充得与直线几近一样。这在毕达哥

拉斯看来，数与形达成了统一。你认为有理数系与直线达成统一了吗？为什么？

并未完全统一。通过引入无理数系，与有理数系共同构成的完备有序数系——实数系，才真正与直线达成统一。因为：毕达哥拉斯学派后来发现，并不是任意两条线段都是可共度的。例如，正方形的对角线与其一边就构成了不可公度的一对线段，从而引发了数学史上第一次数学危机。

11. 谈谈你对实数的认识？ 实数是数学中最基本的概念之一。实数与数轴上的点可以一一对应。实数包括有理数与无理数，而从欧几里得以来，人们都把它们理解为单位长线段可公度与不可公度的线段的长度。从实数发展得历史来看，虽然从毕达哥拉斯学派那时起就有人意识到了无理数得存在，到17世纪，人们对实数的使用已经习以为常，并开始脱离其几何原型抽象地认识实数。但到19世纪中叶，在分析严格化的进程中，由于一些事实无法证明（例如，柯西无法证明自己提出的收敛准则的充分性），一些证明出了错（如波尔查诺对连续函数介值性的证明），人们才发现对实数特别是无理数的认识任然模糊不清，这才促使一批数学家关注于处理无理数的问题。通过他们的努力，终于在将近半个世纪的时间里，建立了多种形式上不同，而实质上等价的严格的实数理论。各种形式的构造性实数理论，都是首先从有理数出发去定义无理数，也就是说，数轴上有理点之间的所有空隙（无理点），都可以由有理数经过一定的方式来确

定。然后证明这样定义的实数（原有的有理数和新定义的无理数）具有人们原来熟知的实数所应有的一切性质，特别是连续性。这些形式上不同的实数理论也就因确定空隙的方法不同而互相区分，它们主要有：戴德金用有理数的分割的方法，康托尔用有理数的基本列的方法，魏尔斯特拉斯用无穷（非循环）十进小数的方法，以及用端点为有理点的闭区间套和有界单调有理数列的方法。站在现代数学的立场来看，上述各种方法都是从假定实数具有某种特性出发的（如戴德金的方法假定了实数的连续性，康托尔假定的是完备性，而用闭区间套的方法反映了实轴上有界闭集的紧性），而这些特性在实数范围内都是等价的，因而用这些方法定义出的实数都是完全相同的。

12. 证明或说明√2、√3、√5 是无理数。

证法一：(1)假设√2是有理数，即可写成两个不能约分的整数之比，设√2=p/q,两边平方得p2/q2=2，p2=2q2∴p是偶数，设p=2m (2m)2=2q24m2=2q2q2=2m2∴q也是偶数，显然这与p,q不能约分矛盾，故√2不是有理数，是无理数。

（2）假设√3是有理数。1^2< (√3)^2<2^2 1<√3<2,所以√3不是整数，设√3=p/q ，p和q互质。把 √3=p/q 两边平方 3=(p^2)/(q^2) 3(q^2)=p^2 3q^2是3的倍数数，p 必定3的倍数，设p=3k 3(q^2)=9(k^2) q^2=3k^2 同理q也是3的倍数数，这与前面假设p，q互质矛盾，故√3是无理数。 （3）假设√5是有理数，则设√5=p/q(p,q是正整数，且互为质数。两边平方得，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)，p^2含有因数5，设p=5m代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5，则p,q有公约数5，这与原假设p,q互质矛盾，故√5是无理数。 证法二：由于无理数可以用无限连分数表示， （1）已知√2的连分数表示法如下：

2是二次方程x2?2?0的正根，因此 ?x?1??x?1??1,于是，x?1?11??x?12?x?1112?x?1?2?2?111x?1故√2是无理数。

即x?1?1.x?1???1111111?.2?2???2?x?12?2???2??（2）同理可证，√3、√5 是无理数。

13. 通过实数的连分数表示谈谈你对“万物皆数”的认识。

（1）实数分为有理数和无理数，而它们均可以通过有限或无限次连分数来表示。 （2）“万物皆数”里的“数”指的是自然数，而任何有理数和无理数均可以用有限或无限个自然数通过四则运算得到。

14. 混沌动力系统有哪些特性？

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