全国数学建模获奖作品（创意折叠桌） - 图文

创意平板桌

摘 要

本题 目中提供了若干折叠桌的图片 ，需要利用数学软件进行创意设计。对本文中的 三个问题，利用 MATLAB 软件（由美国 MathWorks 公司出品的商业数学软件，用于算法 开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境 ，主要包 括 MATLAB 和 Simulink 两大部分 ，详细介绍请见附录 ，对图片进行灰度分析，转化 为数据分析，并通过对 matlab 编程，在 matlab 中选出最优解 ，最后利用 3dm缸 绘图， 实现平板桌的设计。本文根据题目所给知识，利用运筹学基础理论、相关的数学建模知 识以及相应的计算机软件 ，解决了如下 问题：

问题 1：由对每根木条长度的精确计算，建立折叠桌的动态模型，并计算出桌腿木 条开槽的长度和桌脚边缘线等折叠桌的设计参数。

针对图中创意折叠桌：利用 MATLAB 对图片进行处理，转变为具体的空间直角坐 标系，其中蓝色代表木条，棕色代表桌面，红色代表桌角边缘线 （详细介绍请见附录2), 空间直角坐标系中由最后数字的确立，即为视频中最后一张图片的演示结果 。利用勾股 定理法 ，使用 CAD 语言程序统计出剩下第一张图片和最后一张图片的所有木条个数 ， 使其折叠桌的设计原理更加鲜明。建立由MATLAB 进行编辑的的数学模型 ，木条分别 为 LL L2, ......, L20，再重复利用上述算法，找出折叠桌的各项参数。

问题 2：先对桌子进行与问题 1相同的参数计算。但由于要在 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。在计算的时候应考虑更多的稳固性、加工方面、用材 的信息。这里除了计算参数外，另外引用折叠结构设计基本儿何参数这个概念进行再次 验证 ，以减小误差。最后再对得到的桌子参数进行人工验证（人工干预），最大程度减小 误差。

问题 3：在问题二的理论分析验证 的基础上 ，已经建立起最优化的数学模型，为了 满足客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，应 用 MATLAB 进行不断更新换算程序 ，得出八个时刻八张动态折叠桌折叠过程，（详细介 绍请见附录 3），使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。〈详细介绍请见参考 文献 11)

关键词：MATLAB 、CAD 、运筹学、稳定性能、边缘线、归纳分析法

、

问题分析和基础知识介绍

折叠式家具作为结束中国跪坐时代的代表作，从普通百姓到高贵的 皇室无不出现它 的影子。在现代，折叠式家具随时代的变化不断完善和更新 人们对于家具的要求不只是 仅限于其原始的功能，逐步向多元化的方向发展，更注重家具的精神价值和时代精神本文 以折叠式多功能创意平板桌为研究对象。然而，目前的结果很少给出具体的数学模型， 针对性比较强，没有统一的算法，如何建立数学模型方法利用在稳固性好、加工方便、 用材最少，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状是本文的主要工作。针对本 题目给出的问题，给出了如下分析：

问题 1：要求对给定的创意折叠桌的各项数据 ，建立相应的算法进行描述此折叠桌 的动态数学模型。分析：

a、若要建立动态 的数学模型，首先要对图片进行获取，所以要用相应的软件进行 图片导入，我们这里利用 MATLAB 语言实现这一操作，并将图片数字化语言编辑成图 形模式。之所以选择MATLAB 语言进行，是因为 MATLAB 有特殊的统计技术、绘图功 能，以及编程介面和数据输出／输入功能 （详细介绍请见参考文献 7）。它是一套完整的 数据处理、计算和制图软件系统。其功能包括 ：数据存储和处理系统 ：数组运算工具 （其 向量、矩阵运算方面功能尤其强大〉：而且还具有优秀的统计制图功能，编程语言简单 而又强大 。MATLAB 还有强大的绘图功能，制图具有印刷的素质，也可加入数学符号 。 （详细介绍请见参考文献的

b、木条和木槽数据差别：

木条差别：首先找出第一张图片最右边木条的长度 ，即为折叠桌最长长度。再用剩 下图片依次变化分别对每一根木条进行比较分析，分别统计每根木条之间的相 同点与不 同点，即中间木条最短，与第一张图片相似度较大大，但相邻的每根木条差异很小，并 能计算出角度。

木槽差别：由于钢筋与外侧木条的交点距离外侧木条的转动圆 心相对靠外 ，所以这 个长度差值应为 60cm 与最外侧木条长度的差值，就是在支撑态下，其他木条与钢筋的 交点，而支撑态下，个木条与钢筋的交点和 长方形态时，各不相同，针对这种情况 ，转 动各根木条圆心，知道支撑态下与钢筋的交点，两点确定一条直线，并以此进行比较， 可知槽的理论长度。

c、因为需要比较的数据比较多 ，利用比较分析法和归纳法求需要的最优解 。 本文利用的 CAD 图：

图 1：木条长度汇总图

问题 2：要求对折叠桌的设计做到产品稳 固性好、加工方便、用材最少。对于任意 给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设 计加工参数，例如 ，平板尺寸、钢筋位置 、开槽长度等。对于桌高 70 cm，桌面直径 80 cm 的情形，确定最优设计加工参数。

a、我们先运用与 问题 1 同样的方法，将桌子进行参数计算，得出基本设计加工参 数。

b、问题2在问题1基础上又增加了最优设计加工参数的问题。所以角度并不唯一， 进行基本参数计算后 ，由于误差较大，得出的参数不精确。我们引入平板折叠网架折展 过程参数设计的结果 ，得出最优设计加工参数。

c、为了增加桌子的使用舒适度，我们对桌子的槽长进行了计算，并用 matlab 进行 了仿真，得到最后的最优设计加工参数。

d、为了减小误差，需要在得出最优设计加工参数后，进行适当的人工干预。 问题 3：椅子的折叠设计是以功能的实现为主导思想的，是构筑椅子的用户界面 的一部分。将以折叠的动因来分析其成因。

a、折叠设计作为椅子设计的一部分也有它自身的定位，有形态定位和场所精神。

b、折叠椅包含了三层意思 ： ①“折”意味着可活动的构造： ②“叠”是叠放的空间关系：

③“折叠”是通过折和叠的动作完成叠放，分为水平和纵向垒放及叠放。

c、辅助性垒放主要指用专 门的垒放车或垒放设备垒加放置，工具性叠放主要是使 用垒放车或垒放架垒放 。垒放架和叠放车的形式是多样的，主要根据椅子的特征而设计， 放置架可能是叠放架也可能是悬挂架。在垒放时椅子通常会改变常态 下的放置方式 ，采 用这种叠放方式可以提高叠放空间效率，便于运输。

d、其次是对用户使用空间的视觉环境产生影响 ，形成有序整洁的空间。

二、模型假设

1、折叠桌的木条之间没有间隙，并且是光滑的。 2、折叠桌桌面构造三角形满足勾股定理 。

3、问题 2 中，所求得最长木条与桌高构成三角形。 4、折叠桌槽间距近似相等。 5、横向左右木条完全相同。 6、桌子是正长方体。

7、只考虑折叠桌的四分之一部分进行讨论与分析 （折叠桌为完全对称图形〉 。 8、折叠桌的厚度保值不变。

三、符号说明

1、L ：木条中轴到到桌子边缘底距 离：

2、m ：钢筋与外侧木条的交点距离外侧木条的转动圆心的长度： 3、M ：钢筋到桌 面圆心的距离： 4、α ：人的大腿长度：

5、b ：人的小腿长度：

6、c ：人坐在椅子上，腹部到桌面的距离 ：

7、D ：最外侧木条的长度；

8、s ：木条横向间距 ；

四、模型建立与求解

问题1的建模和求解：

这个问题中的桌面宽 50cm，每根木条宽 2.5cm，那么桌子两侧分别有二十根木条并 排排列。

图2：钢筋与桌面的平面图

假设其中一根木条的 中轴到桌子边缘底距离为 L （木条的宽度为 2,5cm，所以木条 两侧距离桌子边缘分别是 L +1.25cm 和 L -1.25cm），那么这个木条的长度 （设为 R） 就 是：

m ÷ 2-)(25 325) -(25 -￡)2

即：

R -= 6仕m-.Js仕m3L- L2

其中 25cm 是桌面半径，60cm 是长方形状态下，桌面圆心到桌腿的距离 〈长方形平 板长度的一半）

而从左算起，前十根木条的 L值依次 1.25cm, 3.75cm, 6.25cm······23.75cm ；从右侧 算起的前十根木条的中轴到桌子边缘底距 离也是这些数据。

而知道了各根木条的长度，又知道了它们的水平位置 ，那么各根木条与桌面的交点 就是它们在支撑起来的时候的转动圆心。当然，由于木条是有宽度 的，所以实际数据与 理论数据略有差异 （本来桌面边缘就是阶梯状，不是圆形的〉：

图 3：桌面的边缘轮廓图

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