高中数学概念教学中的“再创造”教学应用研究 - 图文

学位论文独创性声明本人郑重声明：１、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。２、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。３、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。４、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。５、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。作者签名：日期：学位论文使用授权声明本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。作者签名：日期：摘要摘要数学概念是对一类数学现象的本质的反映，是学生解题时思维的核心，但在平时的教学过程中，很多教师并不重视概念的形成过程，只是把书本上的知识直接灌输给学生。这样的教学，无非是将学生当容器，不利于学生对概念的理解。长此以往，学生学习数学的兴趣会大为减少并使得学生的创新能力下降。荷兰著名教育家弗赖登塔尔提出：学习数学的唯一正确的方法就是实行“再创造”，“再创造”应贯串于数学教育的全过程。他的这一观点日益引起人们的重视，目前已被视为数学教学方法的核心。本文拟研究“再创造”教学法与高中数学概念教学相结合，即在高中数学概念教学中如何应用“再创造”教学法。文章首先在序言中阐述了数学概念的重要性以及传统的概念教学方法存在的问题，然后梳理了研究概念教学以及“再创造”教学法的相关文献，结合数学概念的基本特性，联系弗赖登塔尔的“再创造”的理论，分析了数学概念“再创造”教学法的理论基础，通过多年的一线教学经验总结归纳出“再创造”教学法实施的可能性、基本原则和策略，并给予实例分析。最后本文制定了“再创造”教学法的实施环节，并且通过实验研究法和访谈调查法检验“再创造”教学模式的教学效果，根据学生的测验成绩和调查表反馈证明并总结了“再创造’’教学法在概念教学中确实具有一定的优越性，同时也对此教学法进行了进一步的反思，以取得更加长效的经验。．关键词：数学概念，再创造Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｉｎｔｈｅｕｓｕａｌｐｒｏｃｅｓｓｏｆｔｅａｃｈｉｎｇ，ｍａｎｙｔｅａｃｈｅｒｓｄｏｎｏｔａｔｔａｃｈｉｍｐｏｒｔａｎｃｅｔｏｔｈｅｆｏｒｍａｔｉｏｎｏｆｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｏｎｌｙｔｏｉｍｐａｒｔｋｎｏｗｌｅｄｇｅｄｉｒｅｃｔｌｙｏｎｔｈｅｂｏｏｋｓｔｏｓｔｕｄｅｎｔｓ．Ｓｕｃｈｔｅａｃｈｉｎｇｉｓｎｏｔｈｉｎｇｍｏｒｅｔｈａｎｃｏｍｐａｒｉｎｇｔｈｅｓｔｕｄｅｎｔｓａｓｃｏｎｔａｉｎｅｒｓ，ｗｉｔｈｎｏｃｒｅａｔｉｖｉｔｙａｔａ１１．Ｏｖｅｒｔｉｍｅ，ｓｔｕｄｅｎｔｓｗｉｌｌｂｅｍｕｃｈｌｅｓｓｉｎｔｅｒｅｓｔｅｄｉｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄｔｈｅｉｒａｂｉｌｉｔｙｔｏｃｒｅａｔｅｗｉｌｌｇｏｄｏｗｎ．ＴｈｅｆａｍｏｕｓＤｕｔｃｈｅｄｕｃａｔｏｒＦｒｅｕｄｅｎｔｈａｌｐｏｉｎｔｓｏｕｔｔｈａｔｔｈｅｏｎｌｙｃｏｒｒｅｃｔｗａｙｏｆｌｅａｒｎｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｓｔｏｉｍｐｌｅｍｅｎｔｔｈｅ”ｒｅｃｒｅａｔｉｏｎ”ｔｅａｃｈｉｎｇ．ｗｈｉｃｈｓｈｏｕｌｄｂｅｔｈｒｏｕｇｈｏｕｔｔｈｅｗｈｏｌｅｐｒｏｃｅｓｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｅｄｕｃａｔｉｏｎ．ＲｅｃｒｅａｔｉｏｎｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｉＳｓｅｔｕｐｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｔｈａｔｔｅａｃｈｉｎｇｓｈｏｕｌｄｓｈｏｗｔｈｅｄｏｍｉｎａｎｔｐｏｓｉｔｉｏｎｏｆｓｔｕｄｅｎｔｓａｎｄｒｅｆｌｅｃｔｔｈｅ”ｐｅｏｐｌｅ．ｏｒｉｅｎｔｅｄ”ｃｏｎｃｅｐｔ，ｔｈｕｓ，ｅｃｈｏｉｎｇｔｈｅａｄｖｏｃａｔｅｄｎｅｗｔｅａｃｈｉｎｇｍｏｄｅｌｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓｏｆｔｈｅｃｏｎｔｅｍｐｏｒａｒｙｂａｓｉｃｅｄｕｃａｔｉｏｎｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍｒｅｆｏｒｍ．Ｍｏｄｅｒｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｓｈｏｕｌｄｎｏｌｏｎｇｅｒｉｍｐｏｓｅｓｉｍｐｌｅｔｅａｃｈｉｎｇｃｏｎｔｅｎｔｓａｓｒｅａｄｙ－ｍａｄｅｐｒｏｄｕｃｔｓｏｎｓｔｕｄｅｎｔｓ，ｂｕｔｔｒｙｔｏｆｉｎｄａｗａｙｔｏｇｕｉｄｅｓｔｕｄｅｎｔｓｔｏｒｅｃｒｅａｔｅ．Ｈｉｓｐｏｉｎｔｏｆｔｈｉｓｖｉｅｗｈａｓａｔｔｒａｃｔｅｄｍｕｃｈａｔｔｅｎｔｉｏｎ．ａｎｄｉＳｎｏｗｒｅｇａｒｄｅｄａｓｔｈｅＣＯｒｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｔｕｄｉｅｓｔｈｅｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｏｆｒｅｃｒｅａｔｉｏｎｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙａｎｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ，ｔｈａｔｉｓ，ａｐｐｌｙｉｎｇｒｅｃｒｅａｔｉｏｎｔｏｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ．Ｔｈｅａｒｔｉｃｌｅｆｉｒｓｔｄｅｓｃｒｉｂｅｓｉｎｔｈｅｐｒｅａｍｂｌｅｔｈｅｉｍｐｏｒｔａｎｃｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓａｎｄｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｐｒｏｂｌｅｍｓｏｆｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｃｏｎｃｅｐｔｓ，ａｎｄｔｈｅｎｃｏｍｂｓｔｈｅｒｅｌｅｖａｎｔｌｉｔｅｒａｔｕｒｅｏｎｃｏｎｃｅｐｔｔｅａｃｈｉｎｇａｎｄｒｅｃｒｅａｔｉｏｎｔｅａｃｈｉｎｇ．ＢｙｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｂａｓｉｃｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓａｎｄｃｏｎｔａｃｔｉｎｇＦｒｅｕｄｅｎｔｈａｌ’Ｓｒｅｃｒｅａｔｉｏｎ，ｔｈｉｓｐａｐｅｒｔｈｅｎａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｏｆｒｅｃｒｅａｔｉｏｎｔｅａｃｈｉｎｇｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓｔｏｇｅｔｈｅｒｗｉｔｈｔｈｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｂａｓｉｃｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓａｎｄａｓｐｅｃｔｓ，ａｎｄｇｉｖｉｎｇｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｉｎｔｅｒｖｉｅｗｓｕｒｖｅｙ，ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｒｅｓｅａｒｃｈａｎｄｔｅａｃｈｉｎｇｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｔｏｔｅｓｔｔｈｅｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓｏｆ”ｒｅｃｒｅａｔｉｏｎ”ｔｅａｃｈｉｎｇｍｏｄｅｌ．ｔｈｉｓｐａｐｅｒｓｈｏｗｓｔｈａｔ”ｒｅｃｒｅａｔｉｏｎ”ｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙｉｎｔｅａｃｈｉｎｇｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＣＯｎＣｅｐｔｓｄｏｅｓｈａｖｅｓｏｍｅｃｅｒｔａｉｎａｄｖａｎｔａｇｅｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｃｏｎｃｅｐｔｓ，ｒｅ－ｃｒｅａｔｉｏｎｔｅａｃｈｉｎｇｍｅｔｈｏｄｏｌｏｇｙ，Ⅱ目录目录摘要…………………………………………………………………………．．错误！未定义书签．Ａｂｓｔｒａｃｔ………………………………………………………………………．．错误！未定义书签。第一章绪论………………………………………………………………………………………．１１．１数学概念的重要性……………………………………………………………………。ｌ１．２以往数学概念教学法存在的弊端……………………………………………………。ｌ１．３学生学习数学概念的困难及问题………………………………………………………ｌ１．３．１思维所处阶段自然产生的困难…………………………………………………。２１．３．２深入理解概念的困难………………………………………………………………２１．３．３缺乏综合问题的解题能力…………………………………………………………２１．４研究目标………………………………………………………………………………．．２１．５研究方法………………………………………………………………………………．．２１．５．１文献分析法………………………………………………………………………２１．５．２实验研究法………………………………………………………………………。２１．５．３访谈调查法………………………………………………………………………３第二章理论基础和研究概述……………………………………………………………………。３２．１概念学的相关理论……………………………………………………………………．．４２．１．１奥苏贝尔的概念学习理论…………………………………………………………４２．１．２建构主义的概念学习理论………………………………………………………．．４２．２弗赖登塔尔的“再创造”教学理论……………………………………………………．５２．２．１“再创造”教学理论的产生…………………………………………………………５２．２．２“再创造”教学理论的阐述与研究………………………………………………．７２．２．３“再创造”法与“发现法”的联系和区别………………………………………ｌＯ２．３对“再创造”教学理论的研究概述……………………………………………………ｌｌ第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究……………………………………１３３．１高中数学概念“再创造”教学法的可行性……………………………………………．１３３．１．１“再创造”法应用在概念教学中是必要的………………………………………．１３３．Ｉ．２数学概念的特点决定应用“再创造”教学法是有优势的………………………１３３．１．３学生对未知世界的好奇心和学习的主动性是“再创造”实施的坚实基础……１４３．２高中数学概念“再创造”教学法的实施原则…………………………………………１４３．２．１弗赖登塔尔的实施原则…………………………………………………………１４３．２．２联系实际的实施原则……………………………………………………………１７３．３高中数学概念“再创造”教学法的实施策略…………………………………………１８３．３．１注重情境设计引入，激发学生“再创造”动机………………………………１８３．３．２着眼“数学现实”，在“再创造”中探究新知………………………………。１８３．３．３在“合情推理”中“再创造”，帮助学生形成概念…………………………。１８３．３．４在“数学化”过程中“再创造”，顺水推舟深化概念…………………………１９３．３．５灵活应用与拓展概念，实现从“再创造”到创造的飞跃……………………．１９３．４高中数学概念“再创造”教学法案例…………………………………………………２０第四章“再创造”法实旖环节和成效检验………………………………………………………２６４．１高中数学概念“再创造”教学法的实施环节…………………………………………２６４．１．１创造情景，激发学生学习的兴趣………………………………………………．．２６４．１．２课堂营造民主氛围，和谐师生，和谐课堂，教学相长………………………．２８

目录４．１．３重视数学思想在“再创造”过程中的重要作用…………………………………２８?４．１．４用严谨的文字符号语言描述定义概念…………………………………………２９４．２实验研究…………………………………………………………………………………２９４．２．１实验的几点说明…………………………………………………………………２９４．２．２实验的结果分析…………………………………………………………………３０４．３访谈调查…………………………………………………………………………………３ｌ第五章对“再创造”教学法的反思……………………………………………………………．３２５．１“再创造”教学模式的优点和经验……………………………………………………３２５．１．１“再创造”的教学方法可融洽教师与学生之间的关系，增进师生感情……．３２５．１．２“再创造”的教学方法可以使学生对概念的理解更加深入透彻，利于概念的Ｊ立用……………………………………………………………………………………．．３２５．１．３“再创造”的教学方法可以让教师有更多的时间去了解学生的想法………３２５．１．４“再创造”的教学方法应当在适当的环境下使用……………………………３３５．１．５“再创造”的教学方法需要教师在课前做好充分的准备……………………３３５．２“再创造”教学模式实验中需要关注的问题…………………………………………３３附录………………………………………………………………………………………………．．３５附录Ｉ定积分概念练习卷及答案…………………………………………………………．３５附录２关于“再创造”教学法的调查问卷………………………………………………．３７参考文献…………………………………………………………………………………………。３８致｛射………………………………………………………………………………………………．．４０第一章绪论第一章绪论１．１数学概念的本质和重要性数学概念是对一类数学现象的本质的反映，是对这一类数学现象的共同规律的科学抽象，是学生解题时思维的基础，要学好数学这门学科，正确地理解数学中的各类概念是关键。而教师对于数学概念教学的质量，直接影响着学生学习数学的质量。学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算作图能力、灵活解答问题能力以及探索创新能力等等都是建立在清晰、确定的概念基础之上的。学生对数学概念理解的深度，广度与其所具备的数学能力和素养具有极其紧密的联系。１．２传统数学概念教学法存在的弊端数学概念如此重要，而对其生成的过程的探索更是体现概念的重要性以及培养学生发现创造能力的一个很好的途径。但是在日常教学中，教师并不能很好地把握这一点，数学概念的教学主要存在以下问题：１．２．１重结论，轻过程，课堂死板无趣教师在概念教学中往往简单介绍一下概念，并不重视概念的形成过程，把知识看成是定论，直接把概念灌输给学生。或仅仅照本宣科的介绍概念由来，局限了学生学习概念的主动性，导致对概念印象不深，更不要提理解应用了。老师一昧枯燥的独自、死板的教学，使得学生长期处于被动接受信息的状态，最容易疲劳走神。这样的授课，收不到理想的教学效果，教学效率低下。１．２．２重教轻学，缺乏互动反馈传统的教学模式往往以教师为中心，学生参与较少，忽视了学生的主体地位及其自身的认知能力。教师只凭直觉、经验或个别抽样信息判断学生掌握知识的程度，难以了解整体的真实情况，使得学生丧失学习数学的兴趣和信心，也严重阻碍了学生的创造思维的形成。１．３学生学习数学概念的困难及问题由于高中数学概念本身的特点以及中学生的自身认知水平和学习能力，学生在学习数学概念时也存在如下困难：第一章绪论１．３．１思维所处阶段自然产生的困难高中生正处于由初中时形成的形象思维向高中需要的抽象思维过渡的阶段，抽象思维能力较差。而高中的数学概念具有符号化及高度抽象的特征，不仅概念本身抽象，用以表征的符号也抽象，从而在学生的思维与数学概念之间存在差距，造成学生难以理解数学概念的现象。１．３．２深入理解概念的困难数学概念需要深刻地理解，不是仅仅记住它的文字或符号定义。学生会出现这样的困惑：掌握了概念，但是在解题时却束手无策。原因是对概念只是简单的记忆和表面的理解，但却没有达到抓住概念的本质特征，更不能达到熟练运用的地步。１．３．３缺乏综合问题的解题能力数学概念具有迁移与发散的特征。学生虽然掌握了一些概念，但是由于知识点比较零散，他们对所学知识不能加以整合，影响了思维进一步发展，面对一些稍微复杂一些，需要知识整合与迁移的问题时，束手无策，望而生畏。这实际是由于学生长期被动接受知识灌输缺乏自主创新或者整合应用知识能力的结果。鉴于数学概念学习的重要性，以及传统概念教学和学生概念学习中存在的问题或困难，笔者将借用弗赖登塔尔的“再创造＂理论，尝试在数学概念教学中贯彻再创造的思想，对这一数学概念教学的模式进行教学法的探索研究。１．４研究目标本文拟运用文献分析法结合数学教学论的理论，结合数学概念的基本特性，联系弗赖登塔尔的“再创造”理论，探讨“再创造”的概念教学的基本环节，以及教学的基本模式，结合课堂教学实例说明理论在实践中的运用。并结合访谈法和实验研究法，探索“再创造”教学法及其能够取得的实质效果。１．５研究方法１．５．１文献分析法本文首先阐述了概念教学的相关研究，其中包括奥苏贝尔的概念学习理论和建构主义的教学理论的研究，接下来阐述了弗赖登塔尔“再创造”教学理论的产生，及其理论的发展情况的相关研究。１．５．２实验研究法并不是所有中学数学概念都适合用“再创造＂教学法，对一些能够实现“再２第一章绪论创造＂的概念，“再创造”教学法相比传统教学法有无优越性？值不值得在教学中推进和提倡呢？为此，本文选择了定积分的概念进行对比研究，被测试的对象是两平行班级，对同一个数学概念，一个班级采用“再创造”教学法教学，另一个班仍采用直接传授的教学法教学，编制有关定积分概念的测验卷（见附录１），通过课堂效果以及测验成绩对比分析出各自的优缺点。１．５．３访谈调查法为了了解“再创造”的教学效果，学生是否接受和喜欢该教学方法，在“再创造”的教学模式下，学生是否获得了进步，在哪些方面获得了进步，“再创造”教法是否存在哪些方面的弊端，希望在哪些方面有所改进。所以笔者编制了相关方的调查问卷（见附录２），并对调查结果综合分析，得出结果是学生更喜欢“再创造”的教学方法，也提出了一些改进意见。第二章基础理论与研究综述第二章基础理论与研究概述２．１概念学的相关理论：２．１．１奥苏贝尔的概念学习理论奥苏贝尔概念学习理论认为学生学习模式是通过概念的同化而获得知识的过程。他将概念的习得分作了概念的形成与概念的同化两种形式，这两种形式也较深刻的揭示出了学生知识形成的过程。所谓概念的形成，即指儿童获得最初概念的过程。它指的是学习者从大量的同类事物的不同例证中独立发现并掌握同类事物的关键特征的～种心里过程。在儿童知识图示形成过程中，概念的形成是最早发生也是持续时间最长的一个心里过程。在中学中，儿童的概念形成依然在发生着。一方面儿童通过课堂获得大量的概念，这些概念构成儿童同化其他知识的基础，另一方面儿童也通过课外其自身生活体验，不断的以归纳的方式从同类事物中抽取出其共同属性来不断的丰富与修正他的知识图示。所谓概念的同化是指学习者利用其认知结构中过去建立起来的有关概念或命题图示理解新知识的过程。奥苏贝尔认为概念同化亦即就是儿童将其习得的新知识与原有认知结构相互藕合，从而扩大原有知识的过程。这样的依据头脑已有的知识图示同化新观念的一个知识形成的过程，奥苏贝尔将其称作知识同化的过程。儿童知识同化过程是中学牛．丰要的知识列得的过程。奥苏贝尔的概念同化学习理论中的两个关键点是：一、学生学习前知识图示的准备。二、学生学习中同化知识的心向。亦即我们一直所要求与谈到的学习兴趣的问题。奥苏贝尔的概念学习理论虽然并不能完全的描述学生学习的主要形式，但是他所构建的学习理论却很好的解释了学生学习凼难、学习的迁移、保持和遗忘。并且对于我们教育者的教育工作有着及其重要的指导作用。【ｌ】２．１．２建构主义的概念学习理论概念学与教的理论中不得不提到的还有概念学习的建构主义理论。建构主义（ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｌｓｍ）也译作结构主义，其最早的提出者是瑞士心理学家皮亚杰（Ｊ．Ｐｉａｇｅｔ）。他认为人的认知发展依靠内因与外因的相瓦作用，在个人能力，与周围环境相互作用中，逐步“建构＂对于外部世界的知识，使自身认知结构得到发展。ＩＩ】郑君文．张恩华，‘数学学习论＇．广西教育出版社［Ｍ］。１９９６年版．４

创立了建构主义教学论，主张提高教学内容的学术水平和抽象理论水平，让学生学习和掌握学科的基木结构，阐明建构主义教学论的实质是：学习就是建立一种认知结构。建构主义对概念学习的积极意义在于：（１）数学概念并非主体对于客观实在的简单的、被动的反映（镜面式反映），而是一个丰动的建构过程，这也就是说，所有的数学概念都是建构出来的：（２）在建构的过程中主体己有的认知结构发挥了特别重要的作用后者并处于不断的发展之中。‘２１２．２弗赖登塔尔的“再创造刀教学理论２．２．１“再创造＂教学理论的产生‘３１基于数学学科产生发展的自身特点以及让学生主动学习的建构主义学习理念，荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔于２０世纪７０年代提出了“再创造’’的教学理念。就是要求课程设计者和教师，不是将数学当作一个现成的体系来教，而应当在教学中充分注意，让学生通过再创造的过程来学习数学。它意在改变以往学校数学教育以教师教为主，以教师传授知识体系为主的做法，提倡教学应以学生的学为主，让学生像数学家那样通过创造数学来学习数学。“再创造’’应贯串于数学教育的全过程，应将数学教育作为一个活动来加以分析。在这整个过程中，学生应该始终积极参与这个活动，感觉到创造的需要，才有可能进行“再创造”．一个人在数学上能达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和后天条件。但是，一个为多数人都能达到的层次必然存在。教师的任务就在于帮助多数人去达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指出达到这个层次的途径：就是为学生提供广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现设置任何预先的“圈套＂。弗赖登塔尔所提出的“再创造”数学教育可以用三个词加以概括——现实、数学化、再创造。（１）数学教育中的现实【２】张莫宙，李仕铸。李俊，‘数学教育学导论》．高等教育出版社【ｌ咽，２００３【３】弗赖登塔尔．陈昌平，唐瑞芬等译．‘作为教学任务的数学》，上海教育出版杜［Ｍ］。１９９９．第二章基础理论与研究综述弗赖登塔尔认为，数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实＂。数学教师的任务之一是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实。因此，在教学过程中，教师应该充分利用学生的认知规律。己有的生活经验和数学的实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。把数学概念生活化，让学生易懂易学。通过设计与生活现实密切相关的问题，帮助学生认识到数学与生活有密切联系，从而体会到学好数学对于我们的生活有很大的帮助，无形当中产生了学习数学的动力。这也就是弗赖登塔尔常常说的数学教育既是现实的数学教育。（２）数学化弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程，就叫数学化。＋一般来讲，数学化的对象有两类：一是数学本身；二是现实客观事物．对数学本身的数学化，就是深化数学知识，或者是数学知识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。数学化是一个过程，是从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程。通过一个充满探索的过程去学习数学，让已经存在于学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识，从而达到素质教育的目的。为了使概念更精确、严谨、形式更简洁，以及确定其所适用的范围，通过数学化得到一个新的数学概念之后，还需要对已经得到的概念、模型、技巧作进一步的调整和把握，即解释和说明得出的结果；讨论新模型或方法的使用范围；回顾、总结和分析已经完成的数学化过程，以达到对概念的进一步理解。（３）再创造学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程，这是目前数学教育的一个重要观点。随着新课程的不断推进。“做数学”的理念越来越为人们所接受。“做数学’’主张把注意力从传统的集中于数学内容方面转移到数学过程方面，是强调数学知识在人脑中形成过程和发展过程的教学。是把数学教学视为数学活动的教学。“做数学”强调把学习的主动权交给学生，让学生自己建构知识体系。“做数学＂并非过去的题海战术，“做数学”可以做习题，可以做与课堂学习有关的数学活动，可以像数学家一样研究数学。“做数学＂可以将新课程的要求落到实处，它应该成为数学课堂教学的主旋律。在做数学的过程中，学生发现问题，在内力的驱动下开展探究活动。教师充分发扬民主，放手让学生自主地进行研究。在这个充满体验和自主探索的过程中，６第＿二章基础理论与研究综述学生逐步学会数学的思想方法和用数学方法去解决问题。获得自我成功的体验，增进学好数学的信心，最终学会数学。它强调学生学习数学是一个经验、理解和反思的过程，强调以学生为主体的学习活动对学生理解数学的重要性，强调激发学生主动学习的重要性，并认为做数学是学生理解数学的重要条件。弗赖登塔尔说的“再创造”，其核心是数学过程再现。当然，这不是简单地“由学生本人把学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作”，也不是简单的“教师指导下的学生活动”，而是通过教师精心设计，创造问题情景，通过学生自己动手实验研究、合作商讨，探索问题的结果并进行组织的学习方式。需要特别注意的是，弗赖登塔尔的数学教育理论不是“教育学＋数学例子’’式的论述，而是抓住数学教育的特征，紧扣数学教育的特殊过程，因而有“数学现实”、“数学化”、“数学反思”、“思辨数学”等诸多特有的概念。本文将“再创造”教学模式和数学概念教学法结合在一起，旨在研究在概念教学中，如何应用“再创造”教学理论帮助学生深入理解和掌握数学概念，并能够熟练地应用这些概念解决一些与此概念相关的题目，从而为数学教学打下坚实的基础。．２．２．２“再创造＂教学理论的阐述【４１弗赖登塔尔认为数学教育方法的核心是学生的“再创造”，这和我们常说的“发现法＂等相似。弗氏认为：数学实质上是人们常识的系统化，每个学生都可能在一定的指导下，通过自己的实践来获得这些知识。所以我们必须遵循这样的原则，那就是数学教育必须以“再创造”的方式来进行。事实证明，只有通过这样的方式才能获得最好的效果。谁都知道数学是最古老的科学，早在上古时代，人们就从日常生活中，获得了数与形的概念，进而又积累了有关的知识，并进一步凝聚成为各种规则、定律，就是这些日常的知识，逐步提高发展而形成了数学。因而我们应该注意到，数学与其他科学有着不同的特点，它是最容易创造的一种科学，３十２＝５，矩形的面积等于长乘宽，类似这些简单而又直观的数学事实，都可以让学生通过自己的学习过程来得到。也就是说，教师不必将各种规则、定律灌输给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种定律。历史上很多数学原理是在世界各个地方独立地发现的，微积分是牛顿与莱布尼兹分别从力学与几何学的角度创造出来的；非欧几何学（罗巴切夫斯基几何学）是高斯、波里埃与罗巴切夫斯基各自分别建立起来的；数学发展的历史进程是如此，个人学习数学的进程也同样如此，每个人都应该在学习数学的过程中，根据１４】周美玲，再创造”的教学原理与数学教学．福建中学数学［Ｊ］，２００３，０５７第二章基础理论与研究综述自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。当然这并非要我们再去机械地重夏历史，但是新的一代也不可能恰好从前人所终止的那一点上继续下去，也就是说，从某种意义上我们还是应当重复数学创造的历史，假定我们的祖先在掌握了现有的知识后会怎么做——可能发生的历史。传统的数学教育出现了一种不正常的现象，弗赖登塔尔称之为“违反教学法的颠倒”。数学家从不按照他们发现、创造的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，常以“显然”二字一笔带过。教科书更是常将通过分析法所得的结论采取综合法的形式来叙述，也就是说文字表达思维过程与实际获得的发现过程完全相反，因而严重阻塞了“再创造”的通道。数学确实是一门演绎科学，它的一个特征是严谨的逻辑推理和高度的抽象化。数学教育的目标之一也应该让学生掌握一个不同水平的形式体系，问题是通过怎样的方式才能达到这一目标？传统的方法就是将数学当作是一个已经完成的现成的形式理论，教师从定义出发；介绍它的符号、表达方式，再讨论一系列性质，从而得出各种规则、算法。教师的任务是举例、讲解，学生的任务则是模仿，唯一留给学生活动的机会就是解题——所谓“应用”。实际上，真正的数学家从来也不是以这样的方式来学习数学的，他们常常凭藉数学的直觉思维，作出各种猜想，然后再加以证实（直到今天，还有许多猜想等待人们去检验或推翻）。那些符号、定义都是思维活动的结果，为了知识系统化或是交流的需要而引进。如果给学生提供同样的条件，不仅是性质、规则，甚至定义也都可以包括在学生能够重新创造的范围以内。日常生活中，象“狗”、“椅子”等概念，都不需要事先给以严格的定义，儿童通过实际接触，自然地形成了概念。数学中的一些东西，同样来自现实，也可以通过学生的实际感受而形成概念。以学习平行四边形概念为例，教师可以出示一系列的平行四边形的图形或是实际例子，告诉学生这些就是“平行四边形”，让学生自己进行比较、分析、研究，在经过反复的观察与思考后，他们就会发现“平行四边形”的许多共同性质，如：对边平行、对角相等、邻角互补、对角线互相平分等等，接着就会进而发现这些性质之间的联系，可以由一个性质出发推出其它的性质，在教师的引导与学生间相互讨论的基础上，学生就不仅掌握了平行四边形的概念，同时也理解了形式定义的含义以及各种相关性与等价定义的概念，也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多。当然，每个人有不同的“数学现实＂，每个人也可能处于不同的思维水平，因而不同的人可以追求并达到不同的水平。一般说来，对于学生的各种独特的解第二章基础理论与研究综述法，甚至不着边际的想法都不应该加以阻挠，要让他们充分发展，充分享有“再创造”的自由，甚至可以自己编造问题，自己寻找解法，一句话，应该让学生走自己的道路。自然从教师的角度，应该在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的创造活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高。即使是对于那些难度比较高的内容，通过“再创造”的方式来进行教学也要比教师“硬灌”来得好。以高等数学中的Ｐｃａｎｏ公理系为例，它的历史发展过程是：先以一些特殊情况下直观应用的数学归纳法为基础，到Ｐａｓｃａｌ研究二项式系数时，初步形式化为数学归纳法原理，经过ＪａｍｅｓＢｅｒｎｏｕｌｌｉ与Ｋａｓｔｎｅｒ的工作，用比较抽象的形式加以阐述，最后才嵌入Ｐｃａｎｏ公理系。如果按照严密的演绎过程，以Ｐｅａｎｏ公理系为出发点，将数学归纳法原理作为一个定理来推导，然后再将它用于二项式定理等具体例子。如果象传统的教科书这种阐述方法，学生将很难真正地理解与掌握有关的知识，这是违反教学法原则的。如果采取“再创造”的方式，在某种程度上应参照历史进程，先给学生大量的数学归纳法例子（例如二项式定理及组合论中很多结果），让学生具体应用这个原理，先对它有个直观的感受，然后再将它用于更复杂的情况：以得到进一步的理解与认识。通过这一过程，学生才能真正掌握数学归纳法原理的实质，在此基础上，辅以教师的指导，才会将其抽象化成为形式体系，这标志着思维水平的提高。至于从数学归纳法原理再进到Ｐｃａｎｏ公理系，那就必须使学生经历过公理化的实践，才有可能实现这个更大的飞跃。伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个活动的最好方法是演示”。他主张要打开学生的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作，弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为：“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以上原理，弗氏认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：（１）通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。（２）发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。９

第二章基础理论与研究综述（３）通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。因为数学教育问题有两个方面，一方面教的内容是数学，这是一门以严谨的逻辑演绎体系为特征的科学；而另一方面作为教育，它又与社会有着千丝万缕的联系，社会的需要、社会的变化时刻在影响着它，因而解决教育问题不能通过一篇论文，而要通过一个过程。解决数学教育问题，也不能单靠数学家或是教育家，而是必须依靠教育过程的参加者一教育者与受教育者“再创造”原则的提出就是为了更好地反映出教育过程必须通过教师与学生双方的积极参与才能解决问动更为主动、有效，以便真正积极地投入到教育这个活动中去。题，尤其是更体现了“学生是学习的主体”这一思想，让受教育者一学生的活２．２．３“再创造＂法与“发现法’’的联系和区别嘲近年来在数学教育中流行的一种教学模式，称为“发现法的教学＂，也强调教师应该让学生通过自己的活动来发现有关的知识，从某种意义上来说，“发现法”也是一种“再创造”的形式，只是一般而言，“发现法”的内容常常只限于某个狭窄的题材，或是用一些具体的材料，严格地说，这只是让儿童以数学概念来作游戏，还并未真正接触其中的数学思维本质；同时这种模式的具体做法，又常常由教师事先设计好一个个问题，象设置“圈套＂似地牵着学生的鼻子走，学生还是处于被动状态，所以也许可以把“发现法’’理解为带有一定限制条件的“再创造”。我们主张“再创造”应该是数学教育的一个教学法原则，它应该贯串于数学教育整个体系之中。实现这个方式的前提，就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预置的“圈套’’。数学教育应该说是－－Ｎ社会科学，但又必须以自然科学为基础，它涉及到教育者与受教育者这些能动的人，自然又联系人的生理特点、心理现象以及人们认识发展的规律。“再创造”这一原则符合教育理论与认识论的规律，如果能确实充分体现并贯串于数学教育之中，并给以足够的重视，它必将对数学教育的发展起着关键性的作用。在我国数学教育界最近比较流行的是“发现法”，问题是对“发现法”如何正确地理解与运用，确实保证让学生主动地进行思考与探讨，从事积极的创造性活动，这实质上是对教师提出了更高的要求，不仅对有关题材的各种联系事先尽可能作【５１恒谦教育网，弗赖登塔尔的数学教育思想，２０１０。１０ｌＯ第二章基础理论与研究综述周密的设计与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度的应变能力，随机应变，及时处理学生可能提出的各种问题，以保证将学生引上“再创造”的道路上去。另一方面，对我国“师者，所以传道、授业、解惑也”这一传统的教师职责，似乎也应改变看法，那就是真正的“道”、“业”都不是通过满堂灌、填鸭式所能“传”、“授”得到的，重要的是在于学生亲身的经历、活动，如果将教师任务的重点，更多地转移到“解惑”上，也许能够培养出更多的优秀人才。２．３对“再创造＂教学理论的研究概述弗赖登塔尔于１９７１成立了数学教育发展研究所，１９９０年弗赖登塔尔先生逝世后，为纪念这位数学教育研究的先驱者，研究所从１９９２年更名为弗赖登塔尔研究所。它分为两个部门，一个是研究科学，一个是研究数学教育的。他们通过对教育的研究，以及对课程改革的研究来探索和发展数学教育。这些机构在国际上享有盛名，至今仍有许多研究项目在许多国家开展，主要分布在荷兰和美国，２００３年起，美国的弗赖登塔尔研究机构和威斯康星合作成立了一个国际化的数学研究机构科，该机构从加０６年１月起正式成为罗拉多大学博尔德分校。他们在数学教学方面作过许多的研究，并已经取得许多研究成果．如：通过教学方法论的研究改变数学教学方法；信息技术在初中一年级、二年级数学教学中的应用；如何提高具体内容的教学质量：适合有特殊需要的儿童的数学；学生在现实数学教育中的贡献；中学课程改革的中心：代数方面的学习和评估等研究成果。另外还有一些项目正在研究中，如；在初等教育中如何解题；数学教育及神经科学：创新的数学学习过程中工具的安排和使用；数学解题竞赛等。（转引自ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｏｎｄｅｒｚｏｅｋｉｎｆｏｒｍａｔｉｅ．ｎｌ／ｅｎ／ｏｉ／ｎｏｄ／ｏｒｇａｎｉｓａｔｉｅ／ＯＲＧｌ２３５８０６／）在国内，苏州大学的王丽做了数学“再创造＂课堂学习环境的创设的研究，她文章中首先追溯了“再创造”和“学习环境”问题的由来、定义等相关问题，并给出了数学“再创造”课堂学习环境的界定。具体地分析了该学习环境所具有的七个基本特征：（１）提源于现实的真实性任务；（２）支持数学猜想；（３）支持提出问题；（４）支持对认知活动进行反思；（５）激发创造动机；（６）以学生为主体；（７）支持数学交流。接着她又从如何创设数学情境、认知情境、学习共同体这三个角度探讨了应该创设怎样的任务环境，支持学生进行数学“再创造”式地学习，提出了相关的具有可操作性的教学模式。并以初中～年级学生为实验对象，采用案例研究法，阐述并验证了本课题研究中所提出的支持学生用“再创造＂法学习第二章基础理论与研究综述数学的环境的创设原则哺，。苏州大学数学科学学院课程论专业的夏金芝提出：不同层次的学生进行不同程度的再创造——（１）不同的学生具有不同的数学现实。（２）从宏观上讲，数学的“再创造’’过程即是数学化的过程；从微观上讲，这个“再创造”的过程包含了不断发现问题和解决问题的过程。（３）有些人把“再创造＂简单的理解为“发现学习’’法，这是不够严谨的。“再创造＂虽然在某种程度上也可以认为是发现，但是与“发现学习法＂是有区别的。（４）数学是人类的一种活动，将数学知识应用到实际情境的过程也是“再创造”的过程口】。嘲王丽，试论数学“再创造’，课堂学习环境的创设，硕士论文，苏州大学，２００４ｒ７ｌ夏金芝，不同学生进行不同程度的数学“再创造一．南方论刊．教育广角［Ｊ］，２００８，５第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究３．１高中数学概念“再创造＂教学法的可行性３．１．１“再创造’’法应用在概念教学中是必要的在序言中，笔者已经阐述了概念对于学生学习数学的重要性，如何上好概念课，是包括笔者在内的一线教师们不断探索的重要问题之一。在数学教学过程中，我们一般都是从教师如何“教”的角度去讨论的，比如如何设置情境，如何设计问题把学生引入我们期望的目标中，如何应用多媒体等等。对数学概念教学的研究也不外乎是对数学概念的教学过程、设计以及概念掌握的标准等方面展开。但我们恰恰忽略了学生如何“学”，即在学生学习数学概念过程中，是以怎样的方式形成数学概念。《普通高中数学课程标准（实验稿）》赋予了新的理念：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程。”《标准》理念所倡导的正是弗赖登塔尔所提出的“再创造”法。所以说，在概念教学中引入“再创造”法是十分必要以及行之有效的。３．１．２数学概念的特点决定了应用“再创造”教学法是有优势的如果我们了解了数学概念的建设方法，便不难理解“再创造”实际是将前人历尽艰辛得到的宝贵成果进行一个还原的过程。根据弗赖登塔尔的数学教育思想中描述：“数学概念的建设方法，是从典型的通过外延描述的抽象化，进而转向实现公理系统的抽象化，承认隐含形式的定义，从而在现代科学方法论的道路上，迈开了决定性的一步。”随着现代数学的进展，人们感到通过“外延”的描述，从而形成概念的印象这个方法，在不少情况下难以达到预定的目的。在更多的内容中，人们借助于具有这些特性的所有对象，从各种特殊情况中，描述它们的共性，阐述它们所必须满足的共有关系，解释它们所受的相关的约束、限制条件等等，从而抽象出一个更广泛、更一般的概念，这就是用公设或者是公理方法建立的概念；它的实质就是以隐含的方式描述了所要研究的对象，它并未明确指出概念的“外延”，但却已经规定了它必须满足的条件，这就是以隐含的形式作了定义，跳出了亚里土多德的形式逻辑的理论，从而使现代数学跨上了更高水平的形式体系。当然，根据高中学生甚至是教师所具有的能力来看，或许要完全取得和伟大第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究：的数学家所提炼出的结论一致尚有较大困难，但在自主发现问题，寻求解决问题的方法，试着将一类事物或问题的共同特点与本质提炼出来并用文字或是抽象的数学符号语言加以概括这一系列的过程中，学生的自主发现问题，灵活解决问题，探索创新等综合能力将会得到全面提高，这不正是我们数学教育的主要目的所在吗？３．１．３学生对未知世界的好奇心和学习的主动性是“再创造’’实施的坚实基础?：数学概念虽然抽象，获取的过程虽然艰辛但也不免充满了挑战与乐趣，而在我们的教科书中，科学家们为了获得这短短几行的高度概括的描述性话语所付出的艰辛，取得的点滴成功带来的巨大喜悦以及在过程中更多的宝贵经验是不会有记载的。如果以现成的体系来教数学，虽然能在较短的时间里向学生传授较多的知识，但也有很多不利的影响。对大多数的学生来说，他们除了对数学家的智慧和才能表示钦佩而自叹不如以外并不能将其转化为他们自己的才智，也很难产生重新创造的欲望，大多数学生只是机械地去识记背诵概念定义，时间长了很容易遗忘，更不要提灵活应用解决问题了。但是我们不要忽视了孩子从出生开始对世界时充满好奇的，每天总有无数个“为什么”在他们的脑海中旋转，恰恰是我们传统的“重结果轻过程”的教育方法扼杀了他们的求知欲和想象力，长此以往，我们的教育方法将与我们的教育目的背道而驰。我们急需还原学生的好奇心，也就是“发现问题’’的能力，并帮助其开拓自主探索解决问题的方式方法。我们有理由相信，大多数学生拥有学习的主动性，只是缺乏发挥主动性的土壤和正确有效的方法。数学概念决不是生来就枯燥乏味的，每一个重要的数学概念的形成和发展都有着丰富的经历，如数系的建立，立体几何中三大公理的发现等等，都充满着人类对真理不懈追求的精神。也就是说，数学概念形式过程中蕴涵着丰富的生活含义。而“再创造’’就是将按逻辑演绎编写的教材还原为生动活泼的思维创造活动。正如弗赖登塔尔一再强调德数学教育方法的核心是学生的“再创造＂，即学生在数学学习的过程中，依据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。３．２高中数学概念“再创造刀教学法的实施原则３．２－１弗赖登塔尔的实施原则在弗赖登塔尔的“再创造’’教学理念中，突出强调了一下三点实施原则：（１）．“数学现实”原则数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的１４

第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想。确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”。另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构。弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事。所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的。其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行。学生的“实际”知识有多少？学生的“数学水平”有多高？学生的“日常生活常识”有多广？这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘。例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离（ｓ）与时间（ｔ）的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数。再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关。弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力。（２）．“数学化’’原则弗赖登塔尔的名言是：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”；与其第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究说是学习公理系统；还不组说是学习“公理化”；与其说是学习形式体系。还不如说是学习“形式化”这是颇有见地的。他认为：人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程，人们从手指或石块的集合形成数的概念，从测量、绘画形成图形的概念，这是数学化。数学家从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念，这也是数学化。’要把握这一原则，首先，现实世界自始至终贯串在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念性的数学化”，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高；与此同时，对这个概念的形成过程进行反思，作更为抽象与形式的加工，再将它用来解决现实世界的问题；通过现实世界的调节作用，而使数学化得到进一步的发展与演化，而由此形成的新的方法手段又能再用于组织更高一层的现实世界，并产生新的数学概念。现实世界的数学化就是这样，通过两者交融在一起，不断地相互反馈信息，促使数学现实世界与数学化继续不断地发展与提高，这就是数学科学不断发展的动力，而这也同样应该成为数学教育发展的动力。其次，反思是数学化过程中的一种重要活动，它是数学活动的核心和动力。数学的不少发现来自于直觉，而分析直觉理解的原因是通向数学化的道路必须让学生学会反思，对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样的数学教育——以反思为核心——才能使学生真正深入到数学化过程之中，也才能真正抓住数学思维的内在实质。（３）．“严谨性＂原则弗赖登塔尔指出，数学与其他的思维训练相比而言，有个最大的优点，就是“确定性”，对每个命题你可以判断它的对或错，其他科学就不是如此，常常依赖于有关的现实情况，涉及到所适用的范围，所选定的标准，只有数学可以强加上一个有力的演绎结构，由此可以确定结果是否正确，或是结果能否找到，这就是所谓数学的严谨性，是数学的度量标准，也是数学教学必须遵循的原则。严谨性有不同的级别，每个题材有适合于它的严谨性级别，数学家应该根据不同的严谨性级别进行操作，而学生也应通过这些不同级另的学习，来理解并获得自己的严谨性，在学生尚未理解之时，是无法将所谓严密的数学理论强加给学生的，学生只有通过再创造来学习数学的严谨性。有人主张必须使学生知道，数学和现实世界之间有清晰和严格的区别，以此来保证贯彻数学教学的“严谨性”原则。弗赖登塔尔认为，这种做法是不正确的，１６第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究因为数学严谨性的实质，是将数学放入现实世界的防水舱内，使数学理论与现实世界分离，但是我们的数学教学还必须使学生了解，绝对的防水舱是不存在的，实际上我们必须不断改进它的防水性能，不是将现成的数学强加给学生，而是通过学生自己的活动，将数学“再创造”出来，这才能保证真正的严谨性，并且使之不断地得到发展。实际上：“严谨性”要求的规定，应该根据学生的特定的“数学现实”，又应该在“再创造”的过程中，来理解并获得这种“严谨性”，这样才能保证我们的数学教育过程会在“数学化”的正确轨道上前进。总之，数学教学原则并非孤立、分散，各自为政，它们之间有着密切联系，在具体的执行过程中，也应该从整体的、联系的观点着眼，才能使之发挥更大的作用，取得数学教学的成功。【８Ｊ３．２．２联系实际的实施原则结合我国的中学教育现实和学生具备的认知能力，笔者在此基础上总结出以下所需遵循的原则：（１）．学生的主体性原则弗赖登塔尔指出每个人都应按照自己的特点重新创造数学知识。每个人有不同的“数学现实＂思维水平也各不相同，加上不同学生所处的家庭环境，社会环境也有差异，对事物的认识，思考问题的方式以及价值观都是因人而异的，因此可以追求并达到的水平也不相同，每个学生应充分享有“再创造’’的自由。教师则应通过适当的启发，引导学生加强反思，使学生的创造活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识有目的的创造活动。（２）．最近发展区的原则【９ｌ最近发展区理论是由前苏联教育家维果茨基提出来的。维果茨基的研究表明：教育对儿童的发展能起到主导作用和促进作用，但需要确定儿童发展的两种水平；一种是已经达到的发展水平；另一种是儿童可能达到的发展水平，表现为“儿童还不能独立地完成任务，但在成人的帮助下，在集体活动中，通过模仿，却能够完成这些任务＂。这两种水平之间的距离，就是“最近发展区”，把握“最近发展区＂，能加速学生的发展。在数学概念“再创造”过程中，如果对学生的数学现实要求和思维能力过低，问题就失去了它本身引起学生主动思考的功能，使学生觉得毫无挑战性，没有钻研的迫切心情；如果对学生的数学现实要求和思维能力过高，学生想出各种办法也解决不了，形成一种挫败的心理，影响了学数学的兴趣。ＩＳ］丁兰，新课程理念下如何“做数学”数理化研究【Ｊ】，２００９，０２［９１王铮，“再创造“教学法在数学教学中的研究，硕士论文，苏州大学．２００９１７第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究所以我们应以学生现有的发展水平为基础，了解并掌握学生的心理特征和思维规律，引导学生制定恰当的学习目标＂，使学生感到成功的喜悦，他们就有兴趣、有动力、有能力去奋力跳跃，从而既解决了问题，也增长了才干，使不同的’学生在数学上得到不同的发展。３．３高中数学概念“再创造”教学法的实施策略根据弗赖登塔尔的观点，既然强调数学是一种人类活动，数学概念教学也是一种人类活动。因此，“再创造”原理实施的目标，也就必须是让学生“参与到一种活动中去＂。换句话说，学生应该再创造数学化而不是数学，抽象化而不是抽象，图式化而不是图式，形式化而不是形式，算法化而不是算法，本节将以此为依据整理“再创造＂教学法的实施策略。３．３．１注重情境设计引入，激发学生“再创造＂动机动机是唤醒和推动创造行为的原动力。数学创造的动机分为外部动机和内部动机。外部动机源自生产实际、日常生活中的问题对数学家的挑战，而内部动机来自数学活动中人们对数学理论和数学美的追求。借鉴数学创造有两类不同的动机的思想，在数学教学中，我们可从数学的实际应用价值和数学自身魅力两方面激发学生进行数学“再创造”的动机。从这种意义上说，创设情境具有情感上的吸引力，容易使学生产生学习兴趣，形成寻求问题答案的动力。数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。客观事物通过人的感官形成感觉、知觉，经过比较、分析、综合、抽象、概括，进而形成概念。所以在进行概念教学时，要尽可能地展现概念的形成过程。３．３．２着眼“数学现实＂，在“再创造＂中探究新知弗赖登塔尔认为，每个人都有自己的一套“数学现实＂。这里所说的“现实’’不限于具体的事物，作为属于现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分。“再创造”教学只有根据学生实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，才能收到实效。这就要求教师必须对本班或者本年级的学生的认知水平，思维能力以及能够达到的数学层次有个较为全面的了解，不能将“再创造＂活动进行得过于简单或是困难，“再创造’’必须能最大限度地发挥学生的主动性和积极性并最终取得一定的成效。这就是前面提到的必须遵循儿童的“最近发展区＂原则。３．３．３在“合情推理”中“再创造’’，帮助学生形成概念数学中的创造都是从猜想开始的。在数学“再创造”过程中，猜想有着同样第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究重要的作用。波利亚认为：只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置。合情推理又称似真推理，是一种合乎情理、结论好像为真的推理。因此，合情推理是学习数学与创造数学必不可少的思维形式，表现为思维形式的直觉性、猜测性、思维过程的跳跃性、非常规性和不可解释性。在概念教学中要允许学生的“异想天开”，善于捕捉闪烁学生灵性的智慧火花，鼓励学生的合情推理，有意识地训练学生的直觉思维，从而帮助学生形成概念，猜测公式、定理等。高中生本身拥有许多思维的灵感和奇特的想法，作为教师，我们应该让他们这些难得的思想能有展现的舞台，鼓励他们从生活中去发现问题，并进行大胆的猜想。当他们得到错误结论时，我们切不可一棒子打死，而应帮助他们找到问题所在，并寻求重新解决问题的方法，提倡并且支持他们为自己的“合情推理＂去不懈探索，找出切实的依据。３．３．４在“数学化’’过程中“再创造＂，顺水推舟深化概念弗赖登塔尔认为，与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习“数学化＂。数学化就是人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织的过程。在数学概念教学中，就是要让学生运用自己的数学知识为具体问题建立新的数学模型，使学生学会数学化，从而达到深化概念、巩固概念与运用概念的教学绩效。经过小学初中的系统的数学学习，高中学生已有自己的“数学化”思维，具备了一定的数学素养，教师就应该充分挖掘学生内在的数学能力，指引他们应用正确的数学思维，数学方法去解决新的数学问题。３．３．５灵活应用与拓展概念，实现从“再创造”到创造的飞跃由于概念除了本质属性外，还有许多非本质属性，所以深层掌握概念实质上就是指能辨别同类事物的本质属性与非本质属性，使学生能从较难的实例中分析出概念的性质，明确概念的内涵与外延，通过概念的本质性教学，帮助学生建构起良好的知识结构，形成系统，实现从再创造”到创造的飞跃。这对学生来说难度比较大，要完成“外延＂的认识和构建，必须建立在对概念深度的理解基础上，教师可以用大量的与概念有关联的实物或例子让学生充分理解概念并发现概念的内涵与外延。总之，数学概念“再创造”的教学策略，具有很强的教育功能，能够培养学生的创造意识和创造能力，其中动机是前提和基础，猜想是关键，数学化是重点，应用是目的和归宿。实施“再创造”的目的，乃是用今天的“再创造”促成明天真正的创造。我们相信，随着新课程标准的实施，体现时代教育思想的“再创造＂１９

第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究数学教学原理必将在数学概念教学乃至数学课堂教学中得到切实的贯彻和实施，也必将推动数学课程改革的进一步深入。３．４高中数学概念“再创造’’教学法案例案例１定积分的概念——求曲边梯形的面积传统教学过程：１．教师直接抛出问题一如何求曲边梯形面积。‘２．教师讲授求法过程：分割一以直代曲一作和一逼近３．下结论：这个过程就定积分的思想，从而给出定积分的定义定积分对于高中生来说完全是个陌生的概念，它所采取的无限分割求和的思想是学生从没有涉及过的，所以直接灌输给学生显得非常生疏与困难，学生也很难体会为什么要用这种方法，研究定积分究竟有何意义？所以，笔者在开设这节公开课时，就尝试用“荐创造”法让学生充分体会为什么要研究定积分以及亲自去思考如何去求曲边梯形的面积。“再创造一教学过程：情境设置：Ｎ－已知某物体做变速直线运动，设ｔｓ时的运动速度为ｖ（ｔ）（单位：ｍ／ｓ），ｖ（ｔ）的图像如图（１）中曲线所示，试求口≤ｆ≤ｂ内物体运动的总路程。生：这是匀加速直线运动，所以物体运动的路程即图中直角梯形的面积。师：（投影第二张图）那么这张图呢？生：仍然是图形的面积。师：怎么求？生：先求各线段下方梯形的面积，加起来即整个面积。Ｎ－（投影第三张图）那么这张图昵？生：仍然是图形的面积。师：为什么？如果是，怎么求这个阴影部分的面积呢？带着这两个问题，进入我们今天的研究。（数学现实原则）师：我们可以发现速度曲线不是直线也不是折线，由直线ｘ＝口，石＝ｂ（ａ≠６），Ｙ＝Ｏ和曲线Ｙ＝ｆ（ｘ）围成的图形类似一个梯形，我们称之为曲边梯形。同学们认为这个曲边梯形的面积就是所求的路程，为什么？如果是，面积又该怎么求呢？带着这两个问题，进入我们今天研究的主题：求曲边梯形的面积（板书课题）。图（１）为研究方便，我们先假设Ｙ＝厂（ｘ）为非负函数。教学过程：（数学化原则）我们先研究一个特殊情形，如何求由抛物线Ｙ＝Ｘ２与直线ｘ＝０，ｘ＝ｌ，Ｙ＝０所围成的图形（曲边三角形）的面积。（强调：让学生充分讨论，发挥主体性原则）师：计算曲边三角形的面积Ｓ，能否看作三角形的面积去求？生：不能，因为面积多出的太多了。（面积大多了）计算：．叉＋．‰形＝互１２１。师：那怎么办呢？、４１＿ｔ＿三１?（丢＋１）?三１＝吾篡％蚕嚣蠹擞募未暴；徽荔燃ｊ盖墨磊学生活动：把曲边ＡＯＡＢ分成两ｒ＇，ｌ辄ｉ－ｉ１．．锌／．ｉ．，１田１４一个Ｉ＝＝角／Ｊ。Ｉ形Ｖ＇和Ｉ＇＂一个Ｉ橇Ｙｌ＂Ｉ形Ｖ代ｌＮ替Ｈ．ｖ笪７Ｆ得实验，得出正确结论：若要计算精确，可以将曲边三角形分割成越多的小曲边梯形。这就是我们求法的第一个步骤——分割。ｊ／～ＪＯ＿彳Ｖ日门７１ｘ、图（２）学生接着讨论如何求小曲边梯形的面积。有人发现，如果分割的越多，曲边梯形足够的小，那可以用“直边”来代替“曲边＂（即在很小的范围内以直代曲）。师：用怎样的“直边’’来代替曲边梯形中的“曲边”？学生活动：可以用梯形，矩形，三角形代替。见图（２）右边四个方案。并觉得用矩形代替计算更简便。他们把这个步骤称为——以直代曲。接着，有学生疑问：“那么什么是矩形的长和宽呢？’’不久有同学想到：将蒜蒜雒群犁耸等置邕扩嘲０’ｕ粉成ｎ个小区间：【ｏ，二】，Ｆ，二】，Ｆ，二】，．．?，【二二，二】，…，【三一二，１】。２１第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究而长可以用每个小曲边梯形左端点的函数值／（旦）：（型）２表示。则下面就可以进行第三个步骤——求和。学生活动：设第ｆ个小矩形面积为觚，则２－．Ｉ卜ｉ＋了Ｊ¨炙－－－ａ３Ｓ，＋ａ耕＆…＋蝇＝百一ｉ－刀１）?Ａｘ２喜（争２≯１扣“＋２２…∽１）２】但学生发现如此求和得到的仅仅是近似的面积，而不是精确值，，如何得到比较精确地结果，当然是分割的越细越好，这时教师可以帮助他们提炼这一步骤一—逼近。当ｎ趋向于佃时，三趋向于ｏ，去趋近于０，故上述结果无限趋近于喜。正当同学为得出正确答案高兴的时候，班长冷静地提出：“我们仅仅用了第一个方案进行的计算，如果用其他方案计算的结果是不是一样？”这个问题又引起大家的激烈讨论，最后我们分成三组，各选一种方案进行计算，在这里，我们将第二种计算过程示意如下：ａｓ，＝／（二）?Ａｘ＝一）２．二，鼠＝蝇＋丝＋．．．＋鸲＝；｜；鹋＝喜（争２?ｉ１＝专（１２＋２２＋３２＋．．?＋一所以最７１ｉ１砌＋１）ｍ＋１）＝扣吾＋吉）当ｎ趋向于佃时，上述结果无限趋近于昙。师：仍是昙，为什么？说明什ｊｊ么？生：当分割无限变细时，它们都无限逼近同一个值，即所求曲边三角形的面积ｓ：三。３师：从这两种方法，同学们能不能得到用其他的小矩形来代替曲边梯形的面积？学生活动：（因为分得很细，所以可以以【旦，与上任意一点薯所对应的函数值厂（五）作为小矩形的一边长，得到的应该都廷同！个值）。并ＲｆｆＪ，Ｊ、梯形代替得到结果仍一样。学生通过“再创造”活动，深刻地体会到利用以上步骤求和具有实际意义，以及对求和过程有了深入的理解，为下节课归纳总结定积分的概念打下坚实基础。案例２：偶函数的定义：传统教学过程：第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究在我们的日常生活中，可以观察到许多对称的现象：美丽的蝴蝶，盛开的花朵，六角形的雪花晶体……函数中Ｙ＝ｘ２的图像也具有对称性，关于Ｙ轴对称。何用数量关系来刻画这种对称性呢？通过／（－２）＝厂（２），ｆ（－１）＝厂（１），／（一妄）＝／∈）猜想对定义域内任意一个Ｘ总有ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）这样称／（ｘ）为偶函数。在这个概念的传统教学法中，也有“再创造”的教学思想，但是贯彻得不彻底，虽然由／（＿２）＝／（２），ｆ（－１）＝／（１），／（一去）＝厂（去）等可以发现偶函数的概念，但是这些式子的“再发现”过程也是至关重要的。下面的方法，可以让学生觉得偶函数的发现过程不会觉得很忽然，而是自然而然的过程。“再创造”教学过程：情景设置：在大家的生活中，学过的知识中有哪些是轴对称图形？学生思考，回答：蝴蝶，建筑物及其在水中的倒影等，都具有轴对称性。数学中也有很多图形，如抛物线Ｙ＝ｘ２，Ｙ＝ｌ卅函数图像等也具有轴对称性，并且图形关于Ｙ轴对称，对于这类函数，是否具有一些特殊的特点呢？我们能不能用类似于增函数定义的符号语言精确刻画这种共同性质？学生活动：学生画好Ｙ＝ｘ２的图像，很明显，图像关于Ｙ轴对称，将纸沿着Ｙ轴折叠，大家能发现图像两部分刚好重合。如何用数学式子来表述这种重合的关系呢？学生通过增函数定义，发现需将图形的对称性转化为点的对称性。（最近发展区原则）学生发言：图像是由点构成的，图形重合即意味着所有点全部重合。只需取出任意一对，说明他们重合，然后由这对点的任意性，即可说明所有点全部重合。还有学生演示，用笔在折叠后两层的纸上任意位置戳一个洞，把纸展开，这两个点是重合的，也就是是关于Ｙ轴对称的，将纸铺平，分别过两点作ｘ、Ｙ轴的垂线，设Ｙ轴右边点的坐标为（ｘ，Ｊ，），则右边点的坐标是（一ｘ，Ｙ）。（大家为这个妙想鼓掌叫好）即横坐标互为相反数，纵坐标相同。学生总结：关于Ｙ轴对称的函数上，对于定义域内任意一个ｘ，都有ｆ（－ｘ）＝厂（ｘ）。教师：我们就把具有这种性质的函数称为偶函数。给出偶函数定义——函数Ｙ＝ｆ（ｘ）定义域为Ａ，对于任意Ｘ∈Ａ，都有ｆ（－ｘ）＝ｆＣｘ），则称ｆ（ｘ）为偶函数。学生又兴致勃勃地总结图像关于原点对称的函数性质，归纳出奇函数的定义。案例３直线与平面垂直的判定：本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分．直线与平面垂第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究直的研究是直线与直线垂直研究的继续，也为平面与平面垂直的研究做了准备；这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线。定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务。教学过程不再赘述，现给出两个片段说明“再创造”法的实施：（数学现实，主体性原则）教学片断一：在折纸试验的过程中，教师提出问题１：折痕ＡＤ与桌面一定垂直吗？生：不一定．（学生手拿纸片，折出不与桌面垂直的折痕）师：为什么你认为这条折痕不与桌面垂直？生：因为它与ＢＤ不垂直，与ＣＤ也不垂直。师：这能说明它与桌面不垂直吗？生：能，因为定义说如果折痕与桌面垂直，那么它就和桌面的任意一条直线都垂直。师：非常好，其实这也是从另一个角度对定义进行理解：如果想说一条直线与平面不垂直，只要在平面内找到一条直线与它不垂直就够了。通过这个片断的教学，使学生加深了对定义的认识和理解。教学片断二：仍然是在折纸试验过程中，教师提出问题２：如何翻折才能使折痕ＡＤ与桌面所在的平面口垂直？生ｌ：当折痕４Ｄ是ＢＣ边上的高时，ＡＤ所在直线与桌面所在平面口垂直。师：如何保证此时折痕和桌面是垂直的？生ｌ：因为折痕ＡＤ与肋、ｃＤ所成的角都是直角。师：那折痕ＡＤ与肋、ＣＤ两条直线垂直，就能说它与平面口垂直吗？生１：因为ＢＤ、ＣＤ是两条相交直线，所以它们确定一个平面。师：两条平行直线也确定一个平面，能说如果一条直线与两条平行直线都垂直，那么就和平面垂直吗？生２：以彳Ｄ边为轴将三角形纸片绕轴旋转，刚才已经说明了折痕ＡＤ与ＢＤ、ＣＤ两条直线垂直，旋转的过程中ＡＤ与ＢＤ、ＡＤ与ＣＤ的垂直关系没有发生改变，从而保证ＡＤ与桌面上过Ｄ点的直线都垂直，其他不过Ｄ点的直线可以平行移到Ｄ点说明与ＡＤ垂直，满足直线与平面垂直的定义。以上的教学过程中，看似通过老师的不断追问，实际是还原了学生发现并解决问题的思考过程，学生在发现定理的过程中，不仅有直观上的感知，提高了几

第三章“再创造”法在高中数学概念教学中的实践研究何直观能力，而且通过理性的说理，增加了逻辑思维的成分。在教师的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，学生在课堂上认真参与，积极探索，学＞－－ｊ热情较高，在基础知识的理解、基本思想的体会、以及几何直观能力和抽象概括能力的提高等方面都有较大的进步。第四章“再创造”法实施环节与成效检验第四章“再创造”法实施环节与成效检验从上述理论和实施方法来看，对数学概念教学采用“再创造＂教学法能够促进学生的学习效果，但理论需要实践的检验，在“再创造”教学模式下，学生的实际学习效果又如何呢？本文拟通过（１）实验研究，（２）访谈调查的方法来检验“再创造＂教学模式下的教学效果。４．１高中数学概念“再创造’’教学法的实施环节高中数学概念纷繁琐碎，“再创造”的教学模式只适合其中的部分概念，对于这部分概念，笔者认为教师可以通过以下几个环节实现引导学生对概念的“再创造＂：４．１．１创造情景，激发学生学习的兴趣著名教育家陶行知老先生曾说过：“教育只有通过生活才能产生作用并真正成为教育。＂这一精辟的概括道出了生活与数学的相互联系，即：生活问题数学化和数学问题生活化。心理学研究表明：当学习内容和学生熟悉的生活背景越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。从学生熟悉的生活背景导入，让学生发现数学问题。成功的情景的创设，既能引入所教的数学概念，又能够引起学生的学习兴趣，调动学生的积极性，因此成功的情景创设可以说是一节好课成功的第一步。而情景创设又分为活动情景和问题情景。（１）．创设活动情景，引导学生体验创造、理解掌握。在概念教学过程中，笔者从不要求学生背诵概念，而是力争摆脱讲述式的教学方法，引导学生通过自己的思维和“数学现实”建构新的知识概念。作为教师的我，要做的就是提供给学生足够丰富和符合其“数学现实”的材料，以便帮助其从中发现某些规律和性质，进而进行总结，形成科学且正确的观点；另外帮助他们将其发现的规律和性质提升为数学知识，并逐步培养其习惯用严谨的数学语言表达出来。这样，学生通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。如在进行“异面直线所成角＂的教学时，本人进行了如下的教学设计。首先，我利用几何画板软件，展示了几组异面直线，它们有的是夹角相同但距离不同，有的是距离相同但夹角不同。并利用软件的旋转功能，转动异面直线，让学生从不同的角度来观察它们。然后让学生仔细观察它们，有何发现？学生很快找出差异：它们都是异面直线，但它们的相互位置关系不一样。第四章“再创造”法实施环节与成效检验我接着问，那我们如何来区分它们的不同呢？通过简单的讨论学生们基本可以认识到，我们可以从两方面来度量它们，一是距离，二是夹角。这时我们给出今天的课题：异面直线的夹角。之后，我让学生自己动手动脑，构造不同的位置关系的异面直线，学生从不同的角度来观察它们，不少学生会慢慢地想到把异面直线平移到相交的位置。然后我问，那我们该如何给异面直线的夹角下定义呢？通过观察和讨论，同学们一致认同，可以用相交直线的夹角来度量异面直线的夹角。．然后再给出异面直线的夹角的定义。通过上述教学，比起我们直接给出异面直线夹角的定义来说，“浪费＂了一点时间，但是我们让学生参与了定义给出的过程。这样他们不仅掌握了定义，而且体会到了，我们为什么要研究异面直线的夹角，以及用相交直线的夹角来定义异面直线的夹角的合理性。让学生参与到数学知识的发现和创造过程中，让学生自己“再创造”数学知识。这样简单的情境创设并没有喧宾夺主，越俎代庖，而是通过精炼的点拨，让学生自主完成了“再创造”活动。（２）．创设问题情景，引疑促思，鼓励学生创造新规律。学生在理解和掌握了基本的概念之后，笔者并不将各种规则、定律直接灌输给学生，而是设法满足学生不同的思维和方法能得以实现，为其提供一个发展和发挥的空间，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，通过自己的探索和学习，认识事物变化的起因和内在联系，形成概念，继而发现或者“再创造”出更多的规律。在问题情景的设计过程中要注意以下几个方面：（１）揭示数学概念的现实背景和形成过程。（２）适合学生的学习水平，使学生活动能顺利展开。（３）适当的问题数量，使学生能进行充足的活动体验。（４）注意趣味性，引起全体学生的学习兴趣。ｔｔｏＪ如在讲授等比数列的前１＇１项和的概念时，可以如下创设情景：一个人知道了一个大秘密，于是，一传十，十传百，百传千，但知道秘密的每个人每天只能将这个秘密传给不知道的十个人，那么经过十天将有几个人知道？经过二十天呢？三十天呢？四十天呢？。一百天呢？这些问题的提出，引起了同学们非常大的兴趣。又如引入对数概念时，可创设如下问题情景：“假设１９９５年我国国民生产总值为口亿元，如果每年平均增长８％，那么经过多少年国民生产总值是１９９５年的２倍？’’，依题意可得出ｆｉｘ（１＋０．０８）。＝２ａ毒１．０８。＝２，即已知底数和幂的值，就是求指数ｘ的问题了。【１０ｌ陈建国．如何实施初中数学概念有效教学．科技资讯［Ｊ］，２００９，０７第四章“再创造”法实施环节与成效检验４．１．２课堂营造民主氛围，和谐师生，和谐课堂，教学相长情景导入之后，教师要设法营造民主氛围，调动每个学生发现新概念、再创造的积极性．教师应该让学生自主讨论、相互讨论，而教师本身只是在必要和适当的时候做一些提示，不要打断学生的思维，即便那将引向一个错误的结论，相反，应该尊重他们的一切方法，如果错了，鼓励他们会过来反思，为什么没有出现想要的结论，或者，这个概念不够严密，教师能够举出反例，该如何修改才能避免呢？因为，“再创造＂走弯路也是完全不可避免的，况且，从走错的弯路中，才更更有效地能发现问题的核心，才能发现概念的根本属性。在“再创造”教学方法试验过程中，笔者发现，通过“再创造”方法进行教学能够引起学生的兴趣，激发其学习动力。绝大部分的学生在投入探索、讨论时的积极性表现得较高，课堂教学气氛相对较为活跃。“再创造＂的教学方法融洽了教师与学生之间的关系，增进了师生感情。师生共同讨论，畅所欲言，使学生感受到共同创造的快乐。同时，“再创造＂的教学方法也对教师提出了更高的要求。在这种教学模式下，学生不再象以前一样“人云亦云＂，更多时候有了自己独特的见解，这就要求教师有充分的预见性和运用知识、解决问题的能力，方能满足学生的需要。而教师亦在此过程中，真正做到了教学相长。４．１．３重视数学思想在“再创造”过程中的重要作用在前面策略中已经介绍教师必须尊重学生的合情推理。在概念教学中，学生会将问题情景与自己的“数学现实”相结合，对问题情境中的条件进行分析、归纳、思考，将条件与所要证明的结论加工成数学符号，即对情境中数学成分作符号化处理的数学化过程。教师要在必要的时候给学生适当的提醒和指引，毕竟学生不是科学家，而且在短短４５分钟之内，自己发现概念本质具有一定的困难。数学课堂的“再创造＂，是指在教师引导下的再创造，教师要重视数学思想在再创造中的指导作用，及时利用数学思想指导学生的思路，特别是学生的思维受阻时。当学生思维陷入困境时，教师应注重数学思想如类比思想、转化思想、方程思想、从特殊到一般的数学思想等，在再创造中的指导作用，这是教师在有指导的再创造过程中必须牢牢把握的。如在“等比数列的前力项和＂教学中，由瓯暑ｑ＋ａｌｑ＋ａｔｑｚ＋…＋ｑ鼋一－‘，（１）ｑｓ．ｆ／ｍｏ，ｑ＋ａｊｑ２＋…＋ｑ，＋ａｊｑＩ?圆（１）一（２）可得：Ｉ－ｑ）ｓ，＝ｏｄｌ—ｑ－）。从而得瓯≈掣（窖事１）．第四章“再创造”法实施环节与成效检验上述求前，ｚ项和的方法是通过构造一个关于鼠的方程组来求最。教师可引导学生思考，除了刚才的构造方程的方法之外，是否可以有其余的方法呢？ａｌ后面的这些项若不消去能否用瓯，ａｌ，％，ｑ等表示出来？采用类比、猜想的方法可得出等比数列｛Ｑｎ）的前刀项和公式的推导方法：瓯－ｑ＋啊鼋＋ｑ矿＋…＋ｑ粤一－Ｉ－ａ，＋鼋（ｑ＋ｑ矿＋…＋ｑ口¨）篁ｑ＋譬筇ｌ锋ｑ＋粤（鼠一ｑ）所以墨一戒霹ｑ一＆孽ｊ置簧掣国≯１）．．Ｉ一鼍４．１．４用严谨的文字符号语言描述定义概念当学生逐步完成了发现问题——合情推理——用数学思想方法解决问题的过程之后，如何精确的用数学语言表述结论，即如何将结论纳入一个公理系统之中，完成公理化的工作，还需要进一步的挖掘，这也是学生“再创造＂概念的最重要的一个环节。弗赖登塔尔认为，与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习“数学化＂，．数学化就是人们运用数学的方法观察世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织的过程。在数学教学中，就是要让学生运用自己的数学知识为具体问题建立新的数学模型，使学生学会数学化。从而达到深化概念、巩固概念与运用概念的教学绩效。所以教师需要助学生一臂之力，引导他们通过已经积累的数学知识储备，逐步完善并严谨精炼地描述概念。如函数的单调性定义中，学生知道了增函数Ｙ随着Ｘ的增大而增大，但是这与符号概念还有着很大的距离。因此，教师还要引导学生完成概念的符号化。我们观察函数增还是减，最直观的是看函数图像上升还是下降，一般来说，总是从左往右看，即Ｘ的值始终是在增大，如果图像上升，Ｙ的值则随着增大，如果图像下降，Ｙ的值则随着减小，因为图像始终处于一个上升的趋势，所以在图像上任取两个点，如果而＜ｘ２，对于增函数，总有乃＜奶．类似可得出减函数的定义。４．２实验研究４．２．１实验的几点说明１．被试对象：南京市中华中学高二（１）、（３）班，该校是一所四星级高中，学生成绩位于全市学生上游水平。高二（１）班和（３）班都是理化班，是９月１日开学刚刚按成绩分出来的平行班，数学平均成绩接近，且各层次学生比例相同，具有很强的可比性。２．测试内容：以定积分概念这节为测试内容。之所以选择这一节是因为由

第四章“再创造”法实施环节与成效检验于学生之前从没有学习过关于无穷分割逼近思想，所以这节受以往知识积累的影响较小。通过分别由传统教学法直接传授和用“再创造＂法进行对比，学生自己对这个定义的“再创造”是否能更有利于学生解决相关问题，从而检验“再创造＂教学法在概念教学中是否具有一定的优越性。需要说明的是，测试内容包括定积分概念和定积分公式的应用，这能够更加全面地了解学生对概念的掌握程度和公式的应用程度。３．实验步骤：第ｌ步：对高－０）班的学生仍采用直接传授的教学法讲授如何求曲边梯形面积；对高二（３）班的学生采用“再创造”教学法由教师和学生共同再创造曲边梯形的求解方法，从而归纳出定积分概念。之后公式的授课形式一致。第２步：编制好试卷，在其他条件基本相同的情况下，对两个班级学生分别做课堂测验，批改试卷，得出成绩。第３步：对课堂效果和测验所得成绩进行分析，得出有效、可信的结论。４．２．２实验的结果分析１．课堂效果：‘在高二（１）班用传统的直接传授的方式进行授课，不出所料，学生面露难色，不清楚为什么要实施这些过程，只是机械的进行笔记记录或是在老师的要求下进行操作，对解决问题的来龙去脉很模糊，一节课下来，师生都觉得很累，课堂效果不理想。在高二（３）班则用“再创造”法进行教学，从情境活动开始，所有学生都积极投入了进来，并且表现出对解决问题的兴趣。在探求解决问题的方法和步骤时，更是思想活跃，积极发言，充分讨论，互相评价，最终得出大家认可的方案。上完第一课时之后，学生表示对新的定积分内容有了一个比较印象深刻的认识并且很有兴趣在这一方面继续研究。从课堂效果这一方面来看，用“再创造’’法教学的成效比较突出，师生反映都比较满意。２．试卷分析：为了检验“再创造＂教学法是否有优越性，笔者编制了一份定积分概念测验（见附录１），检测两种教学模式下，学生成绩是否有差异。通过实验成绩的对比，可以发现高二（３）班学生整体掌握情况较好，说明在“再创造＂教学过程中，学生对定义理解比较透彻一点。第四章“再创造”法实施环节与成效检验高二（１）平均成绩最高分最低分７３高二（３）７８９０９４４２５３４．３访谈调查编拟调查问卷（见附录２），听取学生意见，找出“再创造”教学模式的改进方法。调查对象是高－－（３）班的学生，收回的调查问卷共４６份，目的是通过调查反映出“再创造”教学法在学生中的反响，以及可能存在的缺点。调查结果显示９０．５％的同学都选择了喜欢“再创造”教学法，他们觉得通过实行“再创造”数学课堂不再枯燥，平时用传统教学法授课时，都是以老师讲为主，学生活动较少。有时还会开小差，导致后面的内容也听不懂，学习效果不太理想；而现在使用“再创造’’教学法，他们都觉得数学有劲了，他们主动地学习，老师也充分尊重他们的想法，给他们展现能力的空间和机会，充分调动了他们思考的积极性，使他们能够获得成功的喜悦。在谈到“再创造’’的缺点时，学生提出以下几条：１．“再创造＂法对思维要求较高，有些地方理解有困难。需要老师更透彻的引导或讲解。２．由于课堂时间有限，而“再创造’’法给予学生充分发挥的空间，这需要大量时间，那么课堂容量缩小了，有时难以完成规定的教学任务。３．少数学习比较吃力的同学表示跟不上其他同学的思考速度，一节课下来非常疲惫，希望老师可以分层次实施“再创造”活动，适合每个学生的发展。这些都是现实存在的问题，教师需要在以后的授课中，尽力去完善存在的问题，这在后面的反思中将会总结。第五章对“再创造”教学法的反思?第五章对“再创造＂教学法的反思５．１“再创造’’教学模式的优点和经验：５．１．１“再创造”的教学方法可以融洽教师与学生之间的关系，增进师生感情在用“再创造＂的教学方法进行教学时，教师和学生之间的关系趋近于平等，大家在一起讨论，尤其是当学生有某些比较新颖独特的想法时，教师也应当积极的参与讨论，使学生感受到共同创造的快乐。例如在函数概念一课中，当回答书上问题Ｙ＝１是否为函数时，大多数学生认为不是，因为式子中根本没有出现自变量，本人也装作同意的频频点头。这时一个男生激动地站起来反驳：“它的意义是对于任意一个自变量Ｘ，函数值都为１，这是函数，定义域为Ｒ。”并到黑板上画出函数图象来，下面同学看见图象，联系函数概念，恍然大悟，同意了男生的观点。我也大加赞赏，课堂气氛融洽而活跃。５．１．２“再创造”的教学方法可以使学生对概念的理解更加深入透彻，利于概念的应用学生在对概念进行“再创造”的过程实际上就是让学生自身探究了概念形成的来龙去脉，无疑使学生理解概念更加透彻，深入。不仅如此，学生还在自主探究的过程中培养了自身思考问题，解决问题的思维方法和能力，这比简单的灌输给他们概念的教学方式要有意义得多。从教学实践来看，这种教学法也易于让学生接受，通过前面所做的实验也证明确实具有一定的优越性，相信只要我们坚持探索并不断改良“再创造＂教学法，它一定能在整个数学教学领域中发挥很大的作用。５．１．３“再创造＂的教学方法可以让教师有更多的时间去了解学生的想法只有学生积极地加入讨论，发现任何一点规律或有任何一点想法，他们都会很乐意的告诉其他同学和老师，从而教师可以在课堂上及时地加以肯定或提出改进的意见。对学生在某一知识点处的认识有一个大致的了解，同时也提供学生对自己的想法进行反思的方向。例如在学习“椭圆的定义”时，教师就利用实物演示或几何画板让学生充分地“再创造＂定义，当他们认可一种定义时，便激发学生想想有没有什么图像的方程满足你们的定义但不是椭圆的？这样通过不断地创造和纠正，学生终于自己总结出了正确的椭圆第一定义，并且对其中的每一细３２第五章对“再创造”教学法的反思节都有了更加深刻的认识，教师从中也了解到学生会产生的误区和困难，对以后的教学很有帮助。５．１．４“再创造＂的教学方法应当在适当的环境下使用尽管说每个学生都可以在自己已有的“数学现实”上进行“再创造＂，但是知识的积累还不充分时学生能够进行再创造的可能性较小，此外进行再创造的意义也不大。比如在统计一章中的“方差，标准差，回归方程＂等概念，学生对统计学的知识储备尚浅，课程标准也仅需了解和简单应用，所以，教师通过介绍并且结合实例让学生了解这些概念的内容及作用即可，无需进行“再创造”。５．１．５“再创造”的教学方法需要教师在课前做好充分的准备学生的思维是相当活跃的，一旦被激发，其潜能是不可估量的。因此在教学中可能会发生教师意想不到的结论产生，为此教师要做的就会比运用讲授法教学更仔细，不但要有预见学生可能出现问题的能力，还要加强自身分析教材和掌握知识、运用知识的能力，以保证能够满足学生的需要。如“函数的单调性＂一课中，要描述单调性定义，可以说每个学生都能说出不同的描述来，这时老师不能硬把学生往教材中的定义上拉，而应该肯定学生说法中正确的部分，通过引导和讨论使学生经过“再创造”过程进而用符号语言准确的定义。５．２“再创造”教学模式实验中需要关注的问题：“再创造”的理论虽然已有不短的历史，但对于概念教学而言，“再创造＂法教学是一个比较新的视角，在其实施中必然存在一些有待改进的地方，笔者在实践中就发现如下一些问题和不足：１．“再创造＂教学方式的短期效应还不明显，即只通过短短几节课的教学并不能显示出与传统教学法相比的优势所在。能否通过改进教学方案来促进它的效果？我们希望不仅在常规考试成绩的提高上能有一定的作用，更希望在长期地培养学生创造能力和思维方面起到重要的作用。２．“再创造”的教学方法在课堂上的实施，使得教师要处理课堂上的突发情况更是困难重重，教师必须有针对性的提高自身素质。第五章对“再创造”教学法的反思３．教师在准备材料的时候多少带了一些主观意识，可能会对某些学生的思维造成无意识的倾向性指导，如何改善，使得整个过程更加的客观和科学？以上问题都是需要教师在以后的教学中密切关注的，实施“再创造’’教学法，对教师的要求更高，教师更要深入地研究教材，挖掘教材，更加合理有效地设计课堂教学环节，在用“再创造＂法培养提高学生的思维能力和创造能力的同时，注重课堂效率的提高。

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