《高等代数》考试大纲

《高等代数》课程考试大纲

一．

学习集合、映射的基本知识、多项式理论、行列式、线性方程组理论、矩阵理论、向量空间，线性变换，欧氏空间、二次型等知识及其应用。除多项式理论外其余内容为线性代数内容。它们相互联系、自成体系、缺一不可。通过考试的手段不仅要考查学生对基本概念及性质、计算方法的掌握、理解的是否准确、全面、熟悉，而且要考查学生运用这些知识处理具体问题的综合、创造、归纳、概括等能力，以检查是否达到教学要求，完成了教学大纲所提出的目标、任务。

课程任务

二．

教材与参考书目

1．教材：

《高等代数》张禾瑞 郝炳新编，第四版， 高等教育出版社，1999年5月 2．参考书目：

1.《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第三版，高等教育出版社，2003年7月。

2．《高等代数辅导与习题解答》王萼芳，石生明编，高等教育出版社，2007年2月。 3．《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月。 4.《Linear Algebra》彭国华，李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。 5.《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月。

三． 课程考核方法与命题要求

本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。平时成绩占30%，期末成绩占70%。

考试大纲根据教学目标，划分标准为 “识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。

本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。

（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）

四．课程内容与考核要求

第一章 基本概念

1．知识范围：

本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识。 2．考核要求：

深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。能够判别一些数集是否为数环、数域。 3．考核知识点：

映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念。

第二章 多项式

1．知识范围：

本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广。 2．考核要求：

深入理解多项式的概念及性质，掌握几类特殊的多项式 ，一元多项式，多项式函数，有理系数多项式等，熟练掌握多项式的因式分解法以及整除、互素的判定方法，会求多项式的最大公因式。 3．考核知识点：

一元多项式，多项式的相等，整除，带余除法理论，因式分解，互素，最大公因式，有理系数多项式，最大公因式，多项式函数的根与因式分解理论，重因式，是否有重根的判定，综合除法，实数域复数域上的多项式可约性，重因式，重根，单因式。多项式有理根的确定，是否有有理根的判定。

第三章 行列式

1．知识范围：

本章主要从二、三阶行列式的特点出发引出n阶行列式的定义，并介绍了计算n阶行列式的两类方法，一类是利用行列式的性质简化行列式的计算，另一类是采用降阶法(依行(列)展开及其推广形式拉普拉斯定理)简化行列式的计算，最后介绍了行列式的克莱姆法则，利用行列式来求一类方程组的解。 2．考核要求：

深入理解行列式的定义、性质及计算，熟练掌握克兰姆法则, 拉普拉斯定理。 3．考核知识点：

排列，反序数，对换，n阶行列式的定义，行列式的性质，行列式按一行展开，范德蒙行列式，克莱姆法则，Laplace拉普拉斯定理，k阶子式等。

第四章 线性方程组

1．知识范围：

本章主要介绍了矩阵的运算，可逆矩阵的概念，性质，矩阵的秩的概念及性质，分块矩阵的概念及运算，矩阵的初等变换，求一个矩阵的秩及可逆矩阵的逆。 2．考核要求：

深入理解Gauss消元法，矩阵的秩，线性方程组可解的判别法，熟练掌握用初等变换求解线性方程组和齐次线性方程组(包括含参数的线性方程组和齐次线性方程组)。 3．考核知识点：

Gauss消元法，矩阵的秩，求解线性方程组和齐次线性方程组(包括含参数的线性方程组和齐次线性方程组)。

第五章 矩 阵

1．知识范围：

本章主要介绍了矩阵的运算，可逆矩阵的概念，性质及矩阵乘矩阵积的行列式，矩阵的初等变换，求一个可逆矩阵的逆矩阵，分块矩阵的概念及运算。 2．考核要求：

熟练掌握矩阵的运算，矩阵乘积的行列式，逆矩阵等，理解分块矩阵乘法的初等变换，矩阵的等价，初等矩阵。 3． 考核知识点：

矩阵的概念，矩阵的加、减、乘等运算，数量矩阵，矩阵的转置，矩阵乘积的行列式与秩，逆矩阵，矩阵的分块，初等矩阵，分块矩阵乘法的初等变换。

第六章 向量空间

1．知识范围：

本章主要介绍了向量空间，子空间，向量的线性相关性，极大无关组，向量空间的基和维数，坐标等概念，并研究了基变换与坐标变换之间的关系，同时还介绍了关于子空间的几种运算，最后介绍了线性空间的同构概念，矩阵的秩和齐次线性方程组的解空间。 2．考核要求：

熟练掌握向量空间，子空间，生成元，子空间的和，子空间的直和，维数，基，坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，理解向量空间的性质，子空间的判定及

性质，直和的判定，基变换与坐标变换理论，同构映射的性质，同构的判定。齐次线性方程组解的结构。 3．考核知识点：

向量空间，子空间，生成子空间维数的确定，向量的线性相关性，极大无关组的求法，求向量的坐标，过渡矩阵，基变换公式，坐标变换公式，同构映射，求齐次线性方程组的基础解系。

第七章 线性变换

1．知识范围：

本章主要介绍了线性映射，线性变换的概念，运算，及线性变换的矩阵，一个线性变换的特征值与特征向量，化一个矩阵为对角矩阵的方法(若可以对角化)，矩阵的相似，不变子空间等知识。 2．考核要求：

深入理解线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，熟练掌握特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，矩阵的相似，理解不变子空间。 3．考核知识点：

线性变换的定义，运算，线性变换的矩阵，线性变换的像与核，特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，相似矩阵，不变子空间，特征多项式与特征子空间。

第八章 欧氏空间

1．知识范围：

本章主要介绍了欧氏空间的概念，欧氏空间标准正交基的系列理论，标准正交基与正交变换之间的关系，最后还介绍了对称变换(实对称矩阵)的系列性质。 2．考核要求：

深入理解欧几里得空间的定义与基本性质，知道欧几里得空间的同构，欧几里得空间的子空间，熟练掌握Schmidt正交化法，正交变换与正交矩阵判定和性质，对称变换与对称矩阵判定和性质等。 3．考核知识点：

欧几里得空间，向量的内积计算，求向量的长度，两向量的夹角的计算标准，正交基，Schmidt正交化法，正交变换与正交矩阵，对称变换与对称矩阵，用正交变换化对称矩阵为标准形（即对角化）。

第九章 二次型

1．知识范围：

本章主要介绍了n元二次型的概念和对称矩阵的关系，用初等变换法化一个n元二次型为标准型，介绍了复数域和实数域上的二次型典范形式，正定二次型的概念及判定和主轴问题。

2．考核要求：

熟练掌握二次型的矩阵表示，二次型的标准形式，正定二次型，惯性定律等，掌握两种数域（C和R）上二次型的典范形式，会用正交变换化一个二次型为标准形。 3．考核知识点：

可逆线性变换，n元二次型，二次型的矩阵，标准形式，规范形式，秩、惯性指标和符号差，正定二次型，主轴问题。

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