沪科版必修一2.3《匀变速直线运动的规律》WORD教案07

匀变速直线运动的规律

【例1】矿井里的升降机从静止开始做匀加速上升运动，经过3s，它的速度达到3m/s；然后做匀速运动，经过6s；再做匀减速运动，3s停止．求升降机上升的高度，并画出它的速度图象．

解析：由题意可知，升降机的初速v0＝0，经t1＝3s，速度vt＝3m/s， vt?v03?01故加速度a＝＝m/s＝1m/s2．开始3s的位移s1＝at12?t1321×1×32m＝4.5m；接着6s内，升降机作匀速运动．s2＝vt·t2＝3×6 2m＝18m；最后3s升降机作匀减速运动，其初速度v0′＝3m/s，末速

vt′?v0′0?3＝m/s2＝－1m/s2，位移s3＝t33112v0′t3＋a′t3＝[3×3＋×(－1)×32]m＝4.5m．故升降机上升的总高

22度s总＝s1＋s2＋s3＝(4.5＋18＋4.5)m＝27m，其速度图象如图11－1所示．度vt′＝0，加速度a′＝

点拨：本题中升降机的运动是由三个不同的运动衔接而成．应注意运动衔接的特点，第一阶段的末速度即为第二阶段匀速运动的速度，也为第三阶段减速运动的初速度．另外，对减速运动，在代位移公式时，加速度a的负号不能漏掉．

【问题讨论】本题我们通过先求出加速度a，再利用位移公式来求解的，事实上，本题我们也可不求加速度，而用更简便的方法求解．一

种方法是对开始3s和最后3s，用公式s＝vt＝v0?vtt求解，另一种方法 2是对整个过程利用速度用图象“面积法”求解，同学们不妨一试．

【例2】骑自行车的人以5m/s的初速度匀减速地上一个斜坡，加速度大小是0.4m/s2，斜坡长30m，骑自行车的人通过斜坡要用多长时间？

解析：取初速度方向为正方向，则v0＝5m/s，a＝－0.4m/s2，s

1＝30m，由s＝v0t＋at2代入数据，解得t1＝10s，t2＝15s，因自行车匀

2减速上坡，经10s到达坡顶，其后的运动不再是a＝－0.4m/s2的匀变速运动，所以t2＝15s这一解不合题意，应舍去，即自行车通过斜坡要用10s时间．

点拨：一般情况下取初速度方向为正方向，所以匀减速运动的加速度为负值，对减速运动，还要特别注意讨论用公式直接地运算出来的结论是否符合运动的实际情况．

【问题讨论】本题中t2＝15s这一解的意义是：若斜坡足够长，且是骑自行车减速上坡至速度为0后又以原加速度返回，则15s时将再次到达s＝30m处，有些运动，如物体沿光滑斜面冲上去，速度为0后可以以原加速度返回，则这两个解都有意义，但像本题中的运动(还有像物体在粗糙水平面上减速滑行汽车刹车等)物体不可能返回，这一解就无意义，应舍去．

【例3】某种型号的飞机以60m/s的速度着陆，着陆后飞机的运动可看作匀减速运动，加速度大小为6m/s2，求飞机着陆后12s内的位移的大小．

点拨：本题应先用速度公式判断在题设时间内飞机是否停止运动．不可轻易用题设时间代入位移公式求解．

答案：300m

【例4】汽车由车站开出后一直做匀加速运动，用10s时间通过一座长140m的桥，过桥后速度达到16m/s．求：

(1)汽车刚开上桥时的速度大小． (2)车站离桥头多远？

点拨：本题可设汽车加速度为a，刚开上桥时速度为v0，然后利用位移公式和速度公式联合求解．也可先利用位移公式的另一种形式：s

1＝Vtt－at2求出a再行求解(此公式读者可自行导出)．

2 答案：(1)12m/s (2)180m

跟踪反馈

11．某物体做匀变速直线运动的位移跟时间的关系式是s＝(t＋t2)，

2则该物体

[ ]

A．初速度为1m/s

B．加速度为1m/s2 C．前2s内位移为5m D．第2s内位移为5m

2．质点以速度v做匀速直线运动，t时间后改做匀减速直线运动，再经过t时间速度恰好变为0，则全过程质点的平均速度为________．

3．质点在直线上做匀变速直线运动，如图11－2所示，在A点时的速度是5m/s，经3s到达B点时，速度是14m/s，若再经过4s到达C点，则在C点的速度是多大？

4．一个做匀加速直线运动的物体，第2s末的速度为3m/s，第5末的速度为6m/s，则它的初速度是多少？加速度和前5s内的位移分别是多少？

匀变速直线运动规律的应用(1)·典型例题解析

【例1】有一个做匀加速直线运动的质点，它在连续相等的时间间隔内，所通过的位移分别是24m和64m，每一时间间隔为4s，求质点的初速度和加速度．

解析：画出运动示意图如图12－1，由题可知各段位移和时间，由

[来源学*科*网]32[参考答案：跟踪反馈] 1 ．C 2．v 3．26m/s4．1m/s；1m/s，17.5m4

111位移公式有：s1＝vAt＋at2，s2＝vA(2t)＋a(2t)2－(vAt＋at2)代入题

222给数据即可解得a＝2.5m/s2，vA＝1m/s

点拨：①上述解法是一种常规方法．在求解运动学问题时，认真进行运动分

析，画出运动草图，并在图上标出各已知量及待求量，对帮助理解题意和正确选用公式很有益处．②本题也可利用推论Δs＝at2求

解．由题意得Δs＝s2－s1＝at2，a＝Δs40122＝m/s、再由s＝vt+at 1A2t242可解得vA＝1m/s．显然，用推论求解简化了计算．

【例2】先后通过A、B点的物体做匀变速直线运动，通过A、B点的瞬时速

度分别为vA和vB．若通过A、B连线中点C的瞬时速度为v1，由A到B所用时间中间时刻物体的瞬时速度为v2

关于v1、v2的大小，下列说法正确的是

[ ]

A．若做匀加速运动，则v1＞v2 B．若做匀减速运动，则v1＞v2 C．若做匀加速运动，则v1＜v2 D．若做匀减速运动，则v1＜v2

[来源:Z。xx。k.Com]

解析：根据题意，作出运动草图如图12－2所示，设C为AB的中点，物体经过C点时速度为v1(vs/2)，c′为物体在ab间运动过程中间时刻所在位置(先假设在c点的左侧，实际位置由求解结果确定)，物体经过c′点时速度为v2(vt/2)，再设ab间的距离为s，物体从a运动至b所用

s时间为t，则对中间位置的速度v1有：v12－vA2＝2a，又vB2－vA2＝2as，2联立以上两式得v1＝vA?vBt，对中间时刻的速度v2有：v2?vA?a，2222

又vB＝vA＋at，联立以上两式得v2＝vA?vB．比较v1、v2的大小，我们 2可以运用以下简单的数学方法：求出v1、v2平方差的表达式v12－v22

vA2?vB22vA?vB2(vA?vB)2＝()?()?，因为在vA≠vB的情况下，224恒有(vA－vB)2＞0，故在匀变速运动中，不管是vA＞vB(加速)还是vA?

[来源学科网Z,X,X,K]vB(减速)，恒有v12－v22＞0，即恒有v1＞v2，本题答案选A、B．

点拨：本题也可利用v－t图象来讨论，如图12－3所示，图中t2为“中间时刻”，由于v－t图线是直线，不难看出，“中间时刻”的瞬

时速度v2＝vA?vB． 2

对于通过中点C的瞬时速度v1，只要把v－t图线A′B′与时间轴所围的直角梯形的分成面积相等的两个直角梯形，在v－t图线上找出对应的C′点(请不要把v－t图上的A′、B′、C′点与物体先后通过的直线上的A、B、C点混淆，它们之间只是一种对应关系)，即可看出，不论是匀加速，还是匀减速，都有v1＞v2．

【问题讨论】由本题求解过程可知，对一般的匀变速直线运动，若

初速度为v0、未速度为vt，则在该段位移的中间位置的瞬时速度vs/2＝ v02?vt2v0?vt，在该段时间的中间时刻的瞬时速度vt/2＝．上述关22系式作为匀变速运动的特殊规律，在求解有关运动学问题时，能帮助我们简化运算． 【例3】做匀变速直线运动的物体，在第2s内走了6m，在第5s内的位移是零，则其初速度为________m/s，加速度为________m/s2．

点拨：本题求解方法很多，可以利用基本的速度公式和位移公式求解；可以利用匀变速运动的重要推论Δs＝aT2求解(注意，这里的两段时间问隔都是t＝1s，但却不是相邻的，故上式应适当修正，即Δs＝(0－6)m＝3at2，想一想，这里的系数3是怎么来的？)；也可以利用例

2中得到的关系式vt＝2v0?vts?v?，分别求出在第2s中间时刻的瞬时 2t速度v1.5和第5s中间时刻的瞬时速度v4.5，然后直接用加速的定义式和速度公式即

可求得v0和a．上述几种方法读者可都做一下，以体会各种方法的特点并加深对有

关公式内涵的理解． 答案：9，－2

【例4】一辆汽车以54km/h的速度正常行驶，来到路口遇上信号灯汽车先以0.5m/s2的加速度做匀减速运动，在红灯下又停了2min，接着又以0.3m/s2的加速度运动恢复到原速正常行驶．则汽车通过这个路口延误的时间为多少？

点拨：所谓延误的时间，是指与以正常速度匀速行驶通过此路口相比较多用的时间．

答案：160s

跟踪反馈

1．做匀加速运动的列车出站时，车头经过某标牌时的速度为1m/s，车尾经过该标牌时的速度为7m/s，则车身中部经过该标牌时的速度大小为

[ ]

A．4m/s B．5m/s C．3.5m/s D．5.5m/s

2．质点做初速为零的匀加速运动，第4s内的位移是14m，则第ns内的位移为________m，在开始运动后的ns内的位移为________m，第ns末的速度为________m/s

3．汽车从A站出发，先做匀加速运动，行驶2min后做匀减速运动，又行驶1min到达B站，到站时恰好停止．若A、B相距750m，则汽车在行驶过程中的最大速度为________．

4．在研究匀变速直线运动规律的实验中，小车拖着纸带运动，频率为50Hz(即每隔0.02s打一个点)的打点计时器打出的纸带如图12－4所示，选出A、B、C、D、E5个计数点，每相邻两点间还有4个实验点(图中未画出)，以A为起点量出的到各点的位移如图所示．

求：(1)AE段的平均速度v；

(2)C点的瞬时速度vc； (3)小车运动的加速度a．

参考答案：1．B 2．2(2n－1)，2n2，4n 3．8.3m/s 4．(1)0.3m/s (2)0.3m/s (3)1.2m/s2

匀变速直线运动规律的应用(2)·典型例题解析

【例1】一观察者站在一列静止列车车厢的最前端，当列车匀加速开出时，第1节车厢经过其身旁需4s，假设每节车厢长度相等，不计车厢间距离，第9节车厢驶过观察者身边需多少时间？

解析：取列车为参照系，则观察者做反方向的初速为0的匀加速运

动．由比例式(4)得t1∶t9＝1∶(9－8)，故第9节车厢通过观察者的时间t9＝(9－8)t1＝(12－82)s．1点拨：设每节车厢长为L，列车的加速度为a，则有L＝at12，再分2

源:Z。xx。k.Com]

[来121别求出前9节车厢和前8节车厢经过观察者的时间9L＝at9，8L＝a22

t82，则第9节车厢经过观察者所用时间Δt＝t9－t8．这样同样能求解本题．另外本题通过改变参考系的办法，使求解过程变得更为直接、简便．读者应注意对这种方法的理解，并能加以合理运用．

【问题讨论】本题中若已知整列列车驶过观察者身边共经历了12s时间，则该列车共有几节车厢？求解这一问题时，我们可以先利用公式s

1＝at2，推出时间t与车厢长度L之间的一般关系，得到相应的比例关 2系，进而能较简便地求出列车节数来，读者不妨实际求求看．

【例2】一列火车总长l＝180m，在平直的轨道上以加速度a＝0.1m/s2由静止开始做匀加速直线运动．同时，在与轨道平行的公路上，一个人骑着自行车以速度v＝6.5m/s，从车尾向同一方向做匀速直线运动，试问：经多长时间，骑自行车的人与火车头平齐？

解析：把人看作质点，他以速度v＝6.5m/s做匀速直线运动；把火车头看做另一个质点，它在人的前面l＝180m处由静止开始，以加速度a＝0.1m/s2做匀加速直线运动．根据题意，设经时间t，两个质点相遇，

12即人与火车头平齐(如图13－1所示)．则有vt＝at＋l，代入相应的已

2知量，可得关于时间t的一元二次方程t2－130t＋3600＝0，解得t1＝40s和t2＝90s，即人与火车头有两次机会平齐．

点拨：t1＝40s时，火车的速度v＝at1＝4m/s，是人赶上火车头，t2＝90s时，火车的速度v2＝at2＝9m/s＞6.5m/s，是火车头赶上人．在

12t1时间内，火车头运动的位移是s1＝at1＝80m，人的位移是s′1＝v1t1＝2

12260m；在t2时间内，火车头的位移是s2＝at2＝405m，人的位移s′2?vt22＝585m．显然，s′1－s1＝s′2－s2＝180m，表明两个解都是有意义的．即人先超越了火车头，后又被火车头反超越．这种情形在公路上同向运动的自行车与汽车之间也时有发生，你注意观察过吗？

【问题讨论】本题若将人骑车的速度改为v′＝4m/s，仍假设经时间t后，人与火车头平齐则得到的一元二次方程将变为t2－80t＋3600＝0．由于Δ＝b2－4ac＝802－4×3600＜0，此方程无解．其物理意义是，骑车的人不可能赶上火车头．但在追赶过程中，人与车头存在最小距离，此时火车速度与人的速度相等．设经时间t人与车头距离最小，

11由v＝at得t＝40s，在这段时间内s火车＝at2＝×0.1×402＝80m，s人

22＝v′t＝160m故人与车头的最小距离Smin＝(180＋80－160)m＝100m．上述两种追及过程我们还可以通过速度图线(如图13－2所示)直观地表达出来．读者可自行从

图上分析出：为什么当人骑车的速度为v＝6.5m/s时会两次与火车头平齐，为什么骑车速度变为v′＝4m/s时赶不上车头，此时人与车头最小距离对应于哪一时刻等．

【例3】一颗子弹垂直穿过三块紧挨在一起的木块后，速度刚好为零，设子弹在各木板中运动的加速度大小恒定．(1)若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板的厚度之比为多少？(2)若三块木板的厚度相等，则子弹穿过这三个木块所用时间比为多少？

点拨：这道题不宜采用常规思路求解，应该转变思维角度，一个物体做匀减速直线运动直至停止的过程，经时间反演后就是一个初速度为零的匀加速直线运动(相似于影碟机的镜头回放)．据此，我们可以逆向分析这个问题．逆向看，子弹的运动是初速度为零的匀加速直线运动，因此，可以用比例关系简单求解．

(v1?v2)2例3 (1)5∶3∶1 (2)1∶(2＋1)∶(3＋2) 答案： 例4 a＞201【例4】以速度v1行驶的火车A上的司机看见前方距离d处有一机车B，B与A在同一轨道上，以速度v2和A同向行驶，已知v2＜v1．若司机立即刹车，使A以大小为a的加速度做匀减速运动，要使两车不相撞，求a应满足的条件．

点拨：分析易知，本题属减速“追”匀速的避碰问题．在A车速度由v1减至v2前，A车在追B车，但若A车速度减到v2时还未碰上，则以后不可能再相碰．因此，两车不相碰的条件应是va＝vb时，sa－sb＜d．按上述思路即可列式求解．值

得指出的是，本题还有一种简捷的解法：取B车为参考系，则A车的运动就是以(v1－v2)为初速度，以大

(v1?v2)2小为a的加速度作匀减速运动，要使不碰，显然应满足＜d， 2a通过巧选参考系，大大简化了运算．(v1?v2)2 1∶(2＋1)∶(3＋2答案：) 例4 a＞201 跟踪反馈

1．一物体做初速度为零的匀加速直线运动，通过的位移为s，则该物体通过前一半位移与通过后一半位移所用的时间之比为

A．2∶1

B．2∶1

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C．(2＋1)∶1D．(3＋1)∶12．甲、乙两车从同一地点同时同向运动，甲做匀速直线运动，乙做初速度为零的匀加速直线运动，经过一段时间，两车相遇．相遇时乙车的速度是甲车的________倍；若再经过相同时间，乙车运动的总路程是甲车的________倍．

3．质点从静止开始做匀加速直线运动，在第1个2s，第2个2s和第5s内三段位移的比为________．

4．出租车从静止开始以1m/s2的加速度前进．当出租车刚启动时，在车后25m处的某人开始以6m/s的速度匀速追车，试讨论：此人是否能追上出租车？若能追上，则此人奔跑的路程有多长？若追不上，则人、车间的最小距离有多大？

参考答案：1．C 2．2，2 3．4∶12∶9 4．追不上，最小距离为7m

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