衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学(
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2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(一)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
x????1??1.已知集合A??x|2?x?0?,B??x|???1?,则( )
????2??A.A?B??x|0?x?2? B.A?B??x|x?0? C.A?B??x|x?2? D.A?B?R
2.已知i为虚数单位,a为实数,复数z满足z?3i?a?ai,若复数z是纯虚数,则( ) A.a?3 B.a?0 C.a?0 D.a?0
3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理,该图中用勾?a?和股?b?分别表示直角三角形的两条直角边,用弦?c?来表示斜边,现已知该图中勾为3,股为4,若从图中随机取一点,则此点不落在中间小正方形中的概率是( )
A.
252445 B. C. D. 4949774.已知等差数列?an?的前n项和为Sn,且S9?6?,则tana5?( )
A.
33 B.3 C.?3 D.? 33a(a?R),则下列结论正确的是( ) x5.已知函数f?x??x????内单调递增 A.?a?R,f(x)在区间?0,???内单调递减 B.?a?R,f(x)在区间?0,C.?a?R,f(x)是偶函数
D.?a?R,f(x)是奇函数,且f?x?在区间?0,???内单调递增 6.?1?x??2?x?的展开式中x项的系数为( )
4A.-16 B.16 C. 48 D.-48
7.如图是某个集合体的三视图,则这个几何体的表面积是( )
A.??42?4 B.2??42?4 C. 2??42?2 D.2??22?4
8.若a?1,0?c?b?1,则下列不等式不正确的是( ) A.log2018a?log2018b B.logba?logca C.(a?c)ac?(a?c)ab D.?c?b?ac??c?b?ab
9.执行如图所示的程序框图,若输出的n值为11,则判断框中的条件可以是( )
A.S?1022? B.S?2018? C. S?4095? D.S?4095? 10.已知函数f?x??2sin(?x??)??????0,????的部分图象如图所示,将函数f?x?的图象??2?向左平移
?个单位长度后,所得图象与函数y?g(x)的图象重合,则( ) 12
A.g?x??2sin?2x???????? B.??gx?2sin2x???? 3?6??B.C.g?x??2sin2x D.g?x??2sin?2x?????? 3?11.已知抛物线C:y2?4x的焦点为F,过点F作斜率为1的直线l交抛物线C于P,Q两点,则
11?的值为( ) PFQF17 B. C. 1 D.2 28A.
12.已知数列?an?中,a1?2,n?an?1?an??an?1,n?N?,若对于任意的a???2,2?,n?N?,不等式
an?1?2t2?at?1恒成立,则实数t的取值范围为( ) n?11,??? C. ???,?1???2,??? A.???,?2???2,??? B.???,?2???D.??2,2?
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量a??1,??,b??3,1?,若向量2a?b与c??1,2?共线,则向量a在向量c放心上的投影为 .
?x?y?4,?14.若实数x,y满足?x?2y,则z?x?3y?1的最大值是 .
?x?1,?y2x215.过双曲线2?2?1?a?0,b?0?的下焦点F1作y轴的垂线,交双曲线于A,B两点,若
ab以AB为直径的圆恰好过其上焦点F2,则双曲线的离心率为 .
16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24,则当该长方体体积最大时,其外接球的体积为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.如图,在?ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若2acosA?bcosC?ccosB. (1)求角A的大小;
(2)若点D在边AC上,且BD是?ABC的平分线,AB?2,BC?4,求AD的长.
18. 如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,侧棱CC1?底面ABC,且
CC1?2AC?2BC,AC?BC,D是棱AB的中点,点M在侧棱CC1上运动.
(1)当M是棱CC1的中点时,求证:CD//平面MAB1; (2)当直线AM与平面ABC所成的角的正切值为
3时,求二面角A?MB1?C1的余弦值. 2
19. 第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2018年5月14日至15日在北京举行,这是2018年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络\的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;
(2)从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人. ①记X表示选取4人的成绩的平均数,求P(X?87);
②记?表示测试成绩在80分以上的人数,求?的分布列和数学期望.
x2y2120.已知椭圆 C:2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,点P在椭
3ab圆C上,且?PF1F2的面积的最大值为22. (1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:y?kx?2(k?0)与椭圆C交于不同的两点M,N,若在x轴上存在点G,使得GM?GN,求点G的横坐标的取值范围.
21. 设函数f(x)?ex?2a?ln(x?a),a?R,e为自然对数的底数.
(1)若a?0,且函数f(x)在区间[0,??)内单调递增,求实数a的取值范围; (2)若0?a?2,试判断函数f(x)的零点个数. 3请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
y2x2??1,以O为极点,x轴非负半轴已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为
164为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线l的极坐标方程为?sin(??(1)求直线l的直角坐标方程和椭圆C的参数方程;
(2)设M(x,y)为椭圆C上任意一点,求23x?y?1的最大值. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x)?|x?2|.
(1)求不等式f(x)?f(2?x)?4的解集;
(2)若g(x)?f(x)?f(2?x)的最大值为m,对任意不想等的正实数a,b,证明:
?)?3. 3af(b)?bf(a)?m|a?b|.
试卷答案
一、选择题
1-5: DBBCD 6-10: ABCCA 11、12:CA
二、填空题
13.0 14.?1 15.1?2 16.43? 3三、解答题
17.解:(1)在?ABC中,∵2acosA?bcosC?ccosB, ∴由正弦定理,
得2sinAcos?sinBcosC?sinCcosB
?sin(B?C)?sinA,
∵sinA?0,∴cosA?∵A??0,??, ∴A?1, 2?. 3(2)在?ABC中,由余弦定理得
BC2?AB2?AC2?2AB?ACcosA,
2即16?4?AC?2AC,解得AC?1?13,
或AC?1?13(负值,舍去)
∵BD是?ABC的平分线,AB?2,BC?4,
∴
ADAB111?13??,∴AD?AC?. DCBC23318.解:(1)取线段AB1的中点E,连结DE,EM. ∵AD?DB,AE?EB1, ∴DE//BB1,且DE?1BB1. 2又M为CC1的中点, ∴CM//BB1,且CM?1BB1. 2∴CM//DE,且CM?DE. ∴四边形CDEM是平行四边形. ∴CD//EM.
又EM?平面AB1M,CD?平面AB1M, ∴CD//平面MAB1.
(2)∵CA,CB,CC1两两垂直,∴以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,如图,
∵三棱柱ABC?A1B1C1中,CC1?平面ABC, ∴?MAC即为直线AM与平面ABC所成的角. 设AC?1,则由tan?MAC?33,得CM?. 22∴C?0,0,0?,A?1,0,0?,B?0,1,0?,B1?0,1,2?,M?0,0,?.
??3?2?∴AM???1,0,?,AB1???1,1,2?, 设平面AMB1的一个法向量为n??x,y,z?,
??3?2?3??AM?n??x?z?0,则? 2??AB1?n??x?y?2z?0,令z?2,得x?3,y??1,即n?(3,?1,2).
又平面BCC1B1的一个法向量为CA?(1,0,0), ∴|cosCA,n|?CA?nCAn?314, 14又二面角A?MB1?C1的平面角为钝角, ∴二面角A?MB1?C1的余弦值为?314. 1419.解:(1)众数为76,中位数为76.
抽取的12人中,70分以下的有4人,不低于70分的有8人, 故从该校学生中人选1人,这个人测试成绩在70分以上的概率为绩在70分以上的约有3000?82?,故该校这次测试成1232?2000(人) 3(2)①由题意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94. 当所选取的四个人的成绩的平均分大于87分时,有两类. 一类是82,88,93,94,共1种; 另一类是76,88,93,94,共3种. 所以 p(X?870?42. ?C8435②由题意可得,?的可能取值为0,1,2,3,4
04C4C41, P(??0)??4C87013C4C4168P???1????,
C84703522C4C43618P(??2)???, 4C8703531C4C168, P???3??44??C8703540C4C41. P(??4)??4C870?的分别列为
? P 0 1 2 3 4 818 3535181881?E????0??1??2??3??4??2
70353535701 708 351 70c1???a3,??120.解:(1)由已知得??2c?b?22,
?2222?c?a?b,??解得a2?9,b2?8,c2?1,
x2y2??1. ∴椭圆C的方程为98(2)设M?x1,y1?,N?x2,y2?,MN的中点为E?x0,y0?,点G?m,0?,使得GM?GN, 则GE?MN.
?y?kx?2,?由?x2y2得8?9k2x2?36kx?36?0,
??1,?8?9??由??0,得k?R.
36k,
9k2?8?18k16,y?kx?2?∴x0?. 009k2?89k2?81∵GE?MN,∴kGE??,
k16?0219k?8即??, ?18kk9k2?8?2k?2∴m?. ?9k2?89k?8k∴x1?x2??当k?0时,9k?8822?29?8?122(当且仅当9k?,即k?时,取等号), kk3∴?2?m?0; 1288222??122(当且仅当9k?,即k??时,取等号),∴0?m?, kk3129k?当k?0时,
∴点G的横坐标的取值范围为???2??2??0,,0?U?. ???12??12?21.解:(1)∵函数f?x?在区间?0,???内单调递增,
x∴f'(x)?e?1?0在区间?0,???内恒成立. x?a即a?e?x?x在区间?0,???内恒成立.
记g?x??e?x?x,则g'(x)??e?x?1?0恒成立,
???内单调递减, ∴g?x?在区间?0,∴g?x??g?0??1,∴a?1,
,???. 即实数a的取值范围为?1(2)∵0?a?21x,f'(x)?e?, 3x?a记h(x)?f'(x),则h'(x)?ex?1?0, 2?x?a?知f'(x)在区间??a,???内单调递增. 又∵f'(0)?1?11?0,f'(1)?e??0, aa?a∴f'(x)在区间??a,???内存在唯一的零点x0, 即f'(x0)?e0?x1?0, x0?a于是ex0?1,x0??ln?x0?a?. x0?a当?a?x?x0时,f'(x)?0,f(x)单调递减; 当x?x0时,f'(x)?0,f(x)单调递增.
∴f?x?min?f?x0??ex0?2a?ln(x0?a)
?11?2a?x0?x0?a??3a?2?3a, x0?ax0?a当且仅当x0?a?1时,取等号. 由0?a?2,得2?3a?0, 3∴f?x?min?f?x0??0,即函数f?x?没有零点. 22.解:(1)由?sin?????????3, 3?得
13?sin???cos??3, 22将x??cos?,y??sin?代入,得直线l的直角坐标方程为3x?y?6?0.
?x?2cos?,C椭圆的参数方程为?(?为参数).
y?4sin??(2)因为点M在椭圆C上, 所以设M(2cos?,4sin?),
则23x?y?1?43cos??4sin??1
????8sin?????1?9,
3??当且仅当sin??????????1时,取等号, 3?max所以23x?y?1?9.
23.解:(1)不等式f?x??f(2?x)?4, 即x?2?x?4,
?x?0,此不等式等价于?
2?x?x?4,?或??0?x?2,?x?2,或?
?2?x?x?4,?x?2?x?4.解得?1?x?0,或0?x?2,或2?x?3.
所以不等式f?x??f(2?x)?4的解集为?x|?1?x?3?. (2)f?x??f(x)?f(2?x)?|x?2|?|x|, 因为x?2?x?|?x?2??x|?2, 当且仅当x?0时,取等号, 所以g?x??2,即m?2, 因为a,b为正实数,
所以af?b??bf?a??ab?2?ba?2
?ab?2a?ab?2b??ab?2a???ab?2b? ?2a?b?ma?b,
当且仅当?b?2??a?2??0时,取等号. 即af?b??bf?a??m|?a?b?|.
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