自主招生递推数列求通项专题

1、递推方法：用枚举法求初始值，建立递推关系，利用递推关系求解。

例1、将圆分成n(n?2)个扇形S1,S2,?,Sn，现用m(m?2)种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻的扇形的颜色互不相同，问有多少种不同的染色方法？ 解析：利用递推关系f(m,n+1)=(m-2)f(m,n)+(m-1)f（m,n-1),结合初值f(m,1)=m,f(m,2)=m(m-1),利用特征根法，即可算出f(m,n)=(m-1)^n+(-1)^n*(m-1)

例2、用1,2,3组成n位数，如果要求没有2个1相邻，问：这样的n位数共有多少个？ an?1?2an?2an?1,a1?3,a2?8.???1?3,c1?c2?2/3,c1?c2?1.

an?1?(2/3?1)/2?(1?3)n?(1?2/3)/2?(1?3)n

2、几类常见递推问题

①多项式（或含指数式）线性一阶递推数列

基本形式：an?pan?1?f(n),(n?2,p为常数，f(n)是k次多项式或含杂指数式） 基本方法：an?g(n)?p(an?1?g(n?1))，其中：pg(n?1)?g(n)?f(n)

2a1?1,an?an?1?n2?15,(n?2),求an.解析：令gn?an2?bn?c?q??3,b?2,c?593练习1、

na?2,a?4a?2,(n?2)，求an 1nn?1练习2、

11解析：an??2n?4(an?1??2n?1)33

总结一下：我们现在都会解决什么问题：

（1）、线性问题基本能处理；（2）、非线性问题怎么处理？

②非线性转线性求解

2na?1，aa?2，则an= 。 {a}1nn?1n练习3、在数列中，

练习4、在数列{an}中，

a1?1,an?1?an,n?1,2,3?5an?6，则an? 。

1a1?，an?3anan?1?4an?1?0，则an?2练习5、在数列{an}中， 。

总结：由非线性转线性的方法 （1）取对数；（2）取倒数；（3）同除；（4）移项，找相同结构

③分式线性递推数列

an?1?aan?baa?b,c?0,ad?bc?0(非常数),a1?1（非定点）can?dca1?d

基本形式：

基本方法：称方程

x?ax?bcx?d的根为该数列的不动点，

112c??an?1?pan?pa?d若该数列只有唯一不动点p，则

；

若该数列有两个不同的不动点p,q，则

an?1?pa?pcan?p??an?1?qa?qcan?q。

练习6、a1?1,an?1an?4(an?1?1),n?1,2,3,?,求an 解析：an?1an?4(an?1?1)?(x?2)2?0an?1??4an?4112??an?1?2an?2?4

111112n???????n?2?a1?,an?1?an(2?an?1),n?1,2,3,?2aaa12n3练习7、设2，证明：

解析：an?1?an(2?an?1)?x(x?1)?0an?1?2an?anan?1an?1?anan?1?2anan?1?2anan?1an?1?12?1an?1??an?12anan?1?11an?11a?12131111a?111??,?a1??n?1?,??2,?1?1???,?n?n?1?1???n?1an?12an23anan2a1a122an?1an?12??n1111?n?(?...?)???n?12na1ann2

1a1?,2an?1?an(2?an),n?1,2,3,?。求数列的通项公式an 练习8、

解析：an?1?an(2?an)2an?1?1?2an?an2?1??(an?1)2?bn?1??bn??b12n,b1??12

④二阶常系数线性递推 练习9、数列

{an}中，

a1?1，a2?2，an?2?3an?1?2an，求

an

练习10、数列基本形式：

{an}中，

a1?1，a2?2，an?2?2an?1?3an，求

anxn?2?pxn?1?qxn(n?1,2,?,p,q为常数，q?0)[特征方程的根，特征根法得到的

解是大学叫齐次方程的解]

?B?A?p??BA?q基本方法：构造xn?2?Axn?1?B(xn?1?Axn)，系数A,B可由方程组

解得，则得到

{xn?1?Axn}为等比数列，公比为B，其首项为x2?Ax1，就得到了一个一阶线性递推：xn?1?Axn?(x2?Ax1)Bn?1

⑤关注其它方法

13a?a?nn?1{a}22n，求an 练习11、数列n中，a1?1，

13an?1?n22111an?cn?(an?1?cn?1)2223an?an?1所以此路是不通的2但是：两边同乘2n,2nan?2n?1an?1?3是等差数列解析：an?

练习12、已知数列

{an}中，

an?0Sn?，

11(an?)2an (n?N*)，求an；

分析：方法（一）当n?2时，由

Sn?1111(an?)Sn?1?(an?1?)2an得2an?1，

an?an?1?两式相减，得：

11?anan?1

猜想an=√n-√(n-1)

证明：①当n=1时，S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1，命题成立

②假设n=k时，命题成立，即ak=√k-√(k-1) 则当n=k+1时，

a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)] 即a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k

即a(k+1)^2+2√k*a(k+1)-1=0（解一元二次方程） 解得a(k+1)=√(k+1)-√k（舍去负根），命题也成立 综上，an=√n-√(n-1) 下面是我的解法： Sn=1/2(an+1/an)①

S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))②

①-②，得an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1)) 即an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0 an^2+2S(n-1)an -1=0

由an>0解得an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)] 代入①式得Sn=√(S(n-1)^2+1) Sn^2=S(n-1)^2+1

所以{Sn^2}为首项1公差为1的等差数列 Sn^2=n即Sn=√n

an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)

（原题少了条件an>0，否则所求数列不唯一

例3、将n?3棱锥S?A1A2?An的各顶点染色，每个顶点染一种颜色，同一棱的两端点不同色，今有m(m?3)种颜色可供使用，问有多少种不同的染色方法。（仿例1）

例4、一个递增的整数数列，如果它的第1项为奇数，第2项为偶数，第3项为奇数，第4

项为偶数，依此类推，则称它为交错数列，空集也当作一个交错数列。每项取自集合{1,2,?,n}的交错数列的个数记为A(n)，求A(20)。

例5、在平面上，一个椭圆将平面分为两部分，两个椭圆最多将平面分成6部分，问10个椭圆最多把平面分成几个部分？（其实主要是看增加了几个交点，平面切割空间则看最多增加多少交线，直线增加n个交点，增加n+1个部分，封闭曲线增加n个交点，增加n个部分：此题可以扩展为椭球切割空间。面切割空间与线切割平面的结果是一样的）

解析：初中竞赛题：一条直线将一个平面分割成两个部分，两条直线能分割成四个部分，那么n条直线能把平面分割成多少个部分？

该题是考查归纳推理的，由a2-a1=4，a3-a2=8，a4-a3=12， 可推测an-a(n-1)=4(n-1),

所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+...+(an-a(n-1)) =2+4+8+12+...+(4n-4)

=2+[4+4(n-1)](n-1)/2=2n^2-2n+2.

例6、整数1,2，……，n的排列满足：每个数，要么大于它前面的所有的数，要么小于它前面的所有的数，试问有多少个这样的排列？ （这题用递推就不好使了）

解析：按n个步骤进行，第一步排第n个位置上的数有两种可能：n或1，第二步排第n-1个位置上的数也有两种可能：若第一个排n，则第二步排n-1；若第一步排1，则第二步排n或2，以后每一步都与此类似，由乘法原理知，所求排列.共有2的n次方种

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