广东省东莞市2012-2013学年度第一学期高三调研测试文科数学试卷（扫描版）

东莞2012-2013学年度第一学期高三调研测试

文科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，满分50分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 C D A C D B D B B C 二、填空题（每小题5分，满分20分．） 11.

43??i ；12.4； 13.-5 ； 14. (2,) ； 15. 150?. 556三、解答题（本大题共6小题，满分80分．） 16.（本小题满分12分）

解:（1）由m?n,得m?n=csin2B?bsinC?0, ……………2分 由正弦定理得sinC?2sinBcosB?sinBsinC?0, ……………4分 因为0?B??，0?C??，

所以sinB?0，sinC?0，从而有2cosB?1?0，cosB???1， 2 故B?120. ……………6分 （2）由S?ABC=

133acsinB?，得ac?3. ……………8分 24222 又由余弦定理b?a?c?2accosB，得

b?a?c?2ac(?)?a?c?3?2ac?3=9， ……………10分 当且仅当a?c?3时等号成立, ……………11分 所以, b的最小值为3. ……………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）因为各组的频率之和等于1, 所以分数在?60,70?内的频率为：

f?1?(0.005?0.015?0.030?0.025?0.010)?10?0.15， ……………3分 所以第三组?60,70?的频数为120?0.15?18（人）. ……………4分 完整的频率分布直方图如图. ……………6分

频率 组距 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 2221222分数

40 50

60

70

80

90

100

（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计 值为75分. ……………8分 又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为: 45?(10?0.005)?55?(10?0.015)?65?(10?0.015)?

75?(10?0.03)?85?(10?0.025)?95?(10?0.01)?73.5（分）. ………11分 所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分. ………12分

18.（本小题满分14分）

解:（1）因为Sn和?3Sn?1的等差中项是?3， 2 所以Sn?3Sn?1??3（n?N*），即Sn?1?1Sn?1， ……………2分

33131113 由此得Sn?1??(Sn?1)??Sn??(Sn?)（n?N*），………3分

232323232?1（n?N*） 即， ……………4分 33Sn?2Sn?1?又S1?3?a1?3??1，

222113为首项，为公比的等比数列. ……………5分

322311n?1311 （2）由（1）得Sn????()，即Sn??()n?1（n?N*），………6分

223223311n?1311n?21 所以，当n?2时，an?Sn?Sn?1?[?()]?[?()]?n?1，…8分

2232233 所以数列{Sn?}是以? 又n?1时，a1?1也适合上式，

1(n?N*). ……………9分 n?13 （3）要使不等式k?Sn对任意正整数n恒成立，即k小于或等于Sn的所有值.

所以an? 又因为Sn?311n?1?()是单调递增数列, ……………10分 2233111?1?()?1, ……………11分 223 且当n?1时，Sn取得最小值S1?

要使k小于或等于Sn的所有值，即k?1, ……………13分 所以实数k的最大值为1. ……………14分

19.（本小题满分14分）

证明：(1)因为在图a的等腰梯形PDCB中，DA?PB，

所以在四棱锥P?ABCD中,DA?AB, DA?PA. …………1分 又PA?AB，且DC//AB，所以DC?PA，DC?DA， …………2分 而DA?平面PAD，PA?平面PAD，PA?DA?A，

所以DC?平面PAD. …………3分 因为DC?平面PCD，

所以平面PAD?平面PCD. …………4分 解：(2)因为DA?PA，且PA?AB 所以PA?平面ABCD， 又PA?平面PAB，

所以平面PAB?平面ABCD. 如图，过M作MN?AB,垂足为N, 则MN?平面ABCD. ……5分 在等腰梯形PDCB中，DC//PB， PB?3DC?3,PD?D A

O C N

B

M P

2,DA?PB，

所以PA?1，AB?2，AD? 设MN?h，则

PD2?PA2?1. …………6分

111111S?ABC?h???AB?DA?h???2?1?h?h. …………7分 33232311(DC?AB)?AD11?21?PA???1?1?. VP?ABCD?S梯形ABCD?PA??33232211 VPM?ACD?VP?ABCD?VM?ABC??h. …………8分

231112 因为VPM?ACD:VM?ABC?5:4，所以(?h):h?5:4，解得h?.………9分

2333BMMN221?? , 所以BM?BP,MP?BP. 在?PAB中，BPPA333 VM?ABC? 所以PM:MB?1:2. …………10分

(3)在梯形ABCD中，连结AC、BD交于点O，连结OM.

DODC1??. …………11分 OBAB2PM1DOPM?, 所以? 又， …………12分

OBMBMB2 易知?AOB∽?DOC，所以

所以在平面PBD中，有PD//MO. …………13分 又因为PD?平面AMC，MO?平面AMC，

所以PD//平面AMC. …………14分

20.（本小题满分14分） 解：（1）由题意可得，

MA?MB?(?1?x,1?y)?(1?x,1?y)?(?2x,2?2y)， 所以|MA?MB|?(?2x)2?(2?2y)2?4x2?4y2?8y?4， 又4?12OM?(OA?OB)?4?12(x,y)?(0,2)?4?y， 2 所以4x2?4y2?8y?4?4?y，即x2y3?4?1. （2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称， 所以可设P(x,y),M(x0,y0),N(?x0,?y0). 因为P,M,N在椭圆上，所以有

x23?y24?1， ………①

x20y203?4?1， ………② ①-②得

y2?y20x2?x2??403. 又ky0y?yPM?y?x?x,k0PN?， 0x?x0 所以ky?yy?y2200y?y04PM?kPN?x?x??22??， 0x?x0x?x03 故kPM?kPN的值与点P的位置无关，与直线L也无关.

…………1分

…………2分

…………3分 …………4分 …………5分 …………6分

…………7分 …………8分 …………9分

x2y2??1，故?2?y?2，且 （3）由于P(x,y)在椭圆C上运动，椭圆方程为34 x?3?232y. …………10分 4 因为MP?(x,y?m)，所以 |MP|?x2?(y?m)2?12y?2my?m2?3 4 ?1(y?4m)2?3m2?3． …………12分 4 由题意，点P的坐标为(0,2)时，|MP|取得最小值，即当y?2时，|MP|取得最 小值，而?2?y?2，故有4m?2，解得m?1． …………13分 2 又椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为(0,2)、(0,?2)，而点M在线段DE上， 即?2?m?2，亦即

21.（本小题满分14分）

解：（1）由f(x)?ax?blnx?c知，f(x)的定义域为(0,??),f(x)?a? 又f(x)在x?e处的切线方程为(e?1)x?ey?e?0，所以有 f(e)?a?'11?m?2，所以实数m的取值范围是[,2]．…………14分 22'b, …1分 xbe?1??,① …………2分 ee 由x?1是函数f(x)的零点，得f(1)?a?c?0,② …………3分

' 由x?1是函数f(x)的极值点，得f(1)?a?b?0，③ …………4分

由①②③，得a??1，b?1，c?1. …………5分 （2）由(1)知f(x)??x?lnx?1(x?0)，

因此，g(x)?x?mf(x)?x?mx?mlnx?m(x?0)，所以 g(x)?2x?m?'22

m1?(2x2?mx?m)(x?0). …………6分 xx 要使函数g(x)在(1,3)内不是单调函数，则函数g(x)在(1,3)内一定有极值，而

g(x)?'1(2x2?mx?m)，所以函数g(x)最多有两个极值. …………7分 x 令d(x)?2x2?mx?m(x?0).

（ⅰ）当函数g(x)在(1,3)内有一个极值时，g'(x)?0在(1,3)内有且仅有一个根，即

d(x)?2x2?mx?m?0在(1,3)内有且仅有一个根，又因为d(1)?2?0，当

d(3)?0，即m?9时，d(x)?2x2?mx?m?0在(1,3)内有且仅有一个根

x?32，当d(3)?0时，应有d(3)?0，即2?3?3m?m?0，解得m?9，2所以有m?9. ………8分

.（ⅱ）当函数g(x)在(1,3)内有两个极值时，g(x)?0在(1,3)内有两个根，即二次函 数d(x)?2x?mx?m?0在(1,3)内有两个不等根，所以

2'???m2?4?2?m?0,??d(1)?2?m?m?0, ?d(3)?2?32?3m?m?0,

?m?1??3,?4 解得8?m?9. …………9分 综上，实数m的取值范围是(8,??). …………10分 （3）由h(x)?f(x)?1??x?lnx(x?0)，得h(x)?''1?x， x 令h(x)?0，得x?1，即h(x)的单调递减区间为?1,???. 由函数h(x)??x?lnx(x?0)在?1,???上单调递减可知，

当x?(1,??)时, h(x)?h(1)，即?x?lnx??1， …………11分 亦即lnx?x?1对一切x?(1,??)都成立，

lnxx?1?对一切x?(1,??)都成立， …………12分 xxln21?， 所以0?22ln32?， 0?33 亦即0?

0?ln43?， 44 … 0?ln20122011?， …………13分

20122012 所以有

ln2ln3ln4ln20121232?3?4???2012?2?3?4???20112012， 所以ln22?ln3ln4ln201213?4???2012?2012.

4分 …………1

0?ln43?， 44 … 0?ln20122011?， …………13分

20122012 所以有

ln2ln3ln4ln20121232?3?4???2012?2?3?4???20112012， 所以ln22?ln3ln4ln201213?4???2012?2012.

4分 …………1

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