经济数学-微分基本公式

第三节 微积分基本公式一、问题的提出二、积分上限函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 四、小结 思考题

一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系

设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 ,求物体在这段时间内所经过的路程.变速直线运动中路程为

T2

T1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )

v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s (t ) v(t ).T1

T2

二、积分上限函数及其导数[a , b] 上连续， 设函数 f ( x ) 在区间 并且设考察定积分 x 为[a , b]上的一点，

x

a

f ( x )dx f ( t )dta

x

如果上限x 在区间 [a , b] 上任意变动，则对于 每一个取定的x 值，定积分有一个对应值，所以它 在[a , b]上定义了一个函数，记为

( x ) f ( t )dt , 称为积分上限函数。a

x

积分上限函数的性质定理1 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函 数 ( x )

d x 是 ( x ) f ( t )dt f ( x ) a dx证 ( x x )

x

a

f ( t )dt 在[a , b]上具有导数， 且它的导数(a x b)

x x

a

y f ( t )dt

( x x ) ( x )

( x )

x x

a

f ( t )dt f ( t )dt o a

x

a

x

x x b

x

f ( t )dt a

x

x x x

f ( t )dt f ( t )dta

x

x x x

f ( t )dt ,

y

由积分中值定理得

( x )

x x x b x o a f ( ) x 介于x与x x之间

f ( ), x

lim lim f ( ) x 0 x x 0 ( x ) f ( x ).

x 0, x

补充

b( x ) 可导， 如果 f ( t ) 连续，a( x ) 、

则

d b( x ) f (t )dt f b( x ) b ( x ); dx d f ( t )dt f a( x ) a ( x ); dx a x d b( x ) f ( t )dt f b( x ) b ( x ) f a( x ) a ( x ). dx a x

证

F ( x)

b( x )

0

a( x )

f ( t )dt0

a( x )

b( x )

0

f (t )dt a( x ) 0

b( x )

f ( t )dt

f ( t )dt ,

F ( x ) f b( x ) b ( x ) f a( x ) a ( x )

例1

求

limx 0

1

cos x

e dt2

t2

x

.

0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t2 d cos x t 2 解 e dt e dt , dx cos x dx 1 e cos2 x1

(cos x ) sin x e

cos2 x

,

limx 0

cos x

e dt2

t2

x

sin x e lim x 0 2x

cos2 x

1 . 2e

例2

设 f ( x ) 在( , )内连续，且 f ( x ) 0.x 0 x 0

证明函数 F ( x ) 加函数.

tf ( t )dt f ( t )dt

在(0, )内为单调增

证

d x d x tf ( t )dt xf ( x ), f ( t )dt f ( x ), dx 0 dx 0F ( x ) xf ( x )

f ( t )dt f ( x ) tf ( t )dt0 x x

x

0

f ( t )dt

0

2

F ( x )

f ( x ) ( x t ) f ( t )dt

x

0

x

0

f ( t )dt

2

,

f ( x ) 0, ( x 0)x 0

f ( t )dt 0,0

x

( x t ) f ( t ) 0, ( x t ) f ( t )dt 0,

F ( x ) 0 ( x 0).故F ( x ) 在(0, ) 内为单调增加函数.

例3

设 f ( x ) 在[0,1]上连续，且 f ( x ) 1.证明

2 x f ( t )dt 1在[0,1]上只有一个解.0

x

证 令F ( x ) 2 x

x

0

f ( t )dt 1,

f ( x ) 1, F ( x ) 2 f ( x ) 0,

F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数. F (0) 1 0,F (1) 1 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,1 0 1

所以F ( x ) 0 即原方程在 [0,1] 上只有一个解.

定理2(原函数存在定理)如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限的函 数 ( x ) 原函数.

x

a

f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b]上的一个

定理的重要意义： (1)肯定了连续函数的原函数是存在的.

(2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.

三、牛顿—莱布尼兹公式(Newton-Leibnitz Formula)

定理 3(微积分基本公式)

如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则证x

b

a

f ( x )dx F (b ) F (a ) .

已知 F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，

又 ( x )

a

f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,

F ( x ) ( x ) C

x [a , b ]

令 x a a a

F ( a ) ( a ) C ,

(a ) f ( t )dt 0 F (a ) C ,

F ( x ) f (t )dt C ,a

x

x

a

f ( t )dt F ( x ) F (a ),

令 x b

b

a

f ( x )dx F (b) F (a ).

牛顿—莱布尼茨公式

b

a

f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x )

b a

微积分基本公式表明：一个连续函数在区间 [a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间

求定积分问题转化为求原函数的问题.

注意当 a b 时，

b

a

f ( x )dx F (b ) F (a ) 仍成立.

例4

求

2

0

(2cos x sin x 1)dx . 2

解

原式 2 sin x cos x x 0

2 2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) , 求 f ( x )dx. 0 1 x 2 y 5

3 . 2

解

2

0

f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx0 1 1 2

1

2

在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,

原式 2 xdx 5dx 6. 0 1

o

1

2

x

例6

求

2

2

max{ x , x 2 }dx .y

解

由图形可知

f ( x ) max{ x , x 2 }

y x2

y x 2

x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2 2

o

1

2

x

原式 x dx xdx 2 2 0

0

1

2

1

11 x dx . 22

例7

求

1

2

1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln

| x | , x 1 1 1 d x 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. x 轴所围 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ] 上与成的平面图形的面积.

1 dx . x

解

面积 A

y

0

sin xdx 0o

cos x 2.

x

四、小结1.积分上限函数 ( x )

x

a

f ( t )dt

2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.微积分基本公式

b

a

f ( x )dx F (b ) F (a )

牛顿-莱布尼茨公式沟通了微分学与积 分学之间的关系.

思考题设 f ( x ) 在[a , b]上连续， x [a, b] ,则

x

a

f ( t )dt ,

b x

f ( u)du 是 x的函数还是 t 与 u 的函数？它们的导数

存在吗？如存在等于什么？

思考题解答

x

a

f ( t )dt 与 f ( u)du 都是 x 的函数x

b

d x f ( t )dt f ( x ) dx a d b f ( u)du f ( x ) dx x

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