考研数一历年真题可直接打印

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x =_____________时,函数2x y x =?取得极小值.

(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.

1

x =

(3)与两直线 1y t =-+及121

111

x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.

2z t =+ (4)设L 为取正向的圆周22

9,x y +=则曲线积分2

(22)(4)L

xy y dx x x dy -+-? = _____________. (5)已知三维向量空间的基底为

123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a 与,b 使等式2

01lim 1sin x x bx x →=-?成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),

u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x

???? (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中

3

01

1

1

0,0

1

4

????=??????A 求矩阵

.B

四、(本题满分8分)

求微分方程2

6(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2

()()

lim

1,()

x a

f x f a x a →-=--则在x a =处

(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠

(B)()f x 取

得极大值

(C)()f x 取得极小值

(D)()f x 的

导数不存在

(2)设()f x 为已知连续函数0

,(),s

t I t

f tx dx =?

其中0,0,t s >>则

I 的值

(A)依赖于s 和t

(B)依赖于s 、t 和x

(C)依赖于t 、x ,不依赖于s

(D)依赖于s ,

不依赖于t

(3)设常数0,k >则级数21

(1)n

n k n

n

∞

=+-∑ (A)发散 (B)绝对收敛

(C)条件收敛

(D)散敛性与

k 的取值有关

(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*

A 是A 的伴

随矩阵，则*

||A 等于

(A)a

(B)1

a

(C)1n a -

(D)n a

六、（本题满分10分） 求幂级数

1

112n n n x n ∞

-=∑

的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分） 求曲面积分

2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑

=++--??

其中∑

是由曲线13()0z y f x x ?=≤≤?=?

=??

绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2

π

八、（本题满分10分）

设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数

()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有

一个,x 使得().f x x =

九、（本题满分8分）

问,a b 为何值时,现线性方程组 1234234234123

40

221

(3)2321

x x x x x x x x a x x b

x x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),x x f x -+-=则X 的数学期望为____________,X 的方差为

____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为 ()X f x = 10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤, 求2Z X Y =+的概率密度函数.

1988年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求幂级数1

(3)3n

n

n x n ∞

=-∑的收敛域. (2)设2

()e ,[()]1x f x f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域.

(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分

333

.I x dydz y dzdx z dxdy ∑

=++??

二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)

(1)若21()lim (1),tx

x f t t x

→∞

=+则()f t '= _____________.

(2)设()f x 连续且

31

(),x f t dt x -=?

则(7)f =_____________.

(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x =

2

2x

10

01

x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于

_____________.

(4)设4阶矩阵234

2

34

[,,,

],[,,,],

==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式

+A B = _____________.

三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 可导且01

(),2

f x '=则0x ?→时,()f x 在0x 处的微分dy 是

(A)与x ?等价的无穷小

(B)与x ?同

阶的无穷小

(C)比x ?低阶的无穷小

(D)比x ?高阶的

无穷小

(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且

00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处

(A)取得极大值 (B)取得极小值

(C)某邻域内单调增加

(D)某邻域内单调减少

(3)设空

间

区

域

22222222

12:,0,:,0,0,0,

x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则

(A)1

2

4xdv dv ΩΩ=??????

(B)1

2

4ydv ydv ΩΩ=??????

(C)1

2

4zdv zdv ΩΩ=??????

(D)

1

2

4xyzdv xyzdv ΩΩ=??????

(4)设幂级数

1

(1)

n

n n a x ∞

=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处 (A)条件收敛 (B)绝对收敛 (C)发散

(D)收敛性不

能确定

(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使

11220s s k k k +++≠ααα

(B)12,,,s ααα 中任意两个向量均线性无关

(C)12,,,s ααα 中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)12,,,s ααα 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示

四、(本题满分6分)

设()(),x

y u yf xg y x

=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求

222.u u x y x x y

??+???

五、(本题满分8分)

设函数()y y x =满足微分方程322e ,x

y y y '''-+=其图形在点

(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =

六、（本题满分9分）

设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为

2

(0k

k r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M

沿直线y =

自

(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所

作的功.

七、（本题满分6分）

已知,=A P B P 其中100100000,210,001211????

????==-????????-????

B P 求5,.A A

八、（本题满分8分）

已知矩阵20000101x ????=??????A 与20000001y ????=????-??

B 相似. (1)求x 与.y

(2)求一个满足1

-=P AP B 的可逆阵.P

九、（本题满分9分）

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:

在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19

,27

则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于

6

5

”的概率为____________.

(3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

22

(),(2.5)0.9938,u x

x du φφ-

==?

则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-

求随机变量1Y =().Y f y

1989年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)已知(3)2,f '=则0

(3)(3)

lim

2h f h f h

→--= _____________.

(2)设()f x 是连续函数,且1

()2

(),f x x f t dt =+?

则()f x =_____________.

(3)设平面曲线L 为下半圆

周y =则曲线积分

2

2()L

x

y ds +?=_____________.

(4)向量场p u 在点(1,1,0)P 处的散度p u =_____________. (5)设矩阵3

01

0140,010,0

0300

1????????==????????????A I 则矩阵1(2)

--A I =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)当0x >时,曲线1sin

y x x

= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线

(D)既无水平

渐近线,又无铅直渐近线

(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,

x y z ++-=则点的坐标是 (A)(1,1,2)-

(B)(1,1,2)-

(C)(1,1,2)

(D)(1,1,2)--

(3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,

则该非齐次方程的通解是

(A)11223c y c y y ++

(B)1122123()c y c y c c y +-+

(C)1122123(1)c y c y c c y +---

(D)1122123(1)c y c y c c y ++-- (4)

设函数

2(),01,

f x x x =≤<而

1

()sin ,,n n S x b n x x π∞

==-∞<<+∞∑其中

102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==? 则1

()2S -等于

(A)12- (B)14-

(C)14 (D)12

(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例

(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合

(D)任一列向

量是其余列向量的线性组合

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)

g u v 具有连续二阶偏导数,求2.z

x y

???

(2)设曲线积分

2()c

xy dx y x dy ?+?

与路径无关,其中()x ?具有连

续的导数,且(0)0,?=计算

(1,1)

2(0,0)

()xy dx y x dy ?+?

的值.

(3)计算三重积分

(),x z dv Ω

+???

其中Ω

是由曲面z =

与z =.

四、(本题满分6分) 将函数1()arctan 1x

f x x

+=-展为x 的幂级数.

五、(本题满分7分) 设0

()sin ()(),x

f x x x t f t dt =-

-?

其中f 为连续函数,求().f x

六、（本题满分7分）

证明方程0

ln e x

x π=

-?在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.

七、（本题满分6分）

问λ为何值时,线性方程组 13x x λ+=

123422x x x λ++=+

1236423x x x λ++=+

有解,并求出解的一般形式.

八、（本题满分8分）

假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1

λ为1-A 的特征值. (2)λA

为A 的伴随矩阵*A 的特征值.

九、（本题满分9分）

设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. (3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)

为的正态分布,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量

23Z X Y =-+的概率密度函数

.

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

2x t =-+

(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是

_____________.

1z t =-

(2)设a 为非零常数,则lim()x

x x a x a

→∞

+-=_____________.

(3)设函数()f x =

10

11

x x ≤>,则[()]f f x =_____________.

(4)积分2

2

2

e y x

dx dy -?

?的值等于_____________.

(5)

已知向

量

组

1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的

四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),x

x

F x f t dt -=?

则()F x '等于

(A)e (e )()x x f f x ----

(B)e (e )()x x f f x ---+ (C)e (e )()x x f f x ---

(D)e (e )()x x f f x --+

(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()

()n f

x 是

(A)1

![()]n n f x +

(B)1

[()]

n n f x +

(C)2[()]n

f x

(D)2![()]n

n f x

(3)设a 为常数,则级数

2

1

sin()[

n na n ∞

=∑

(A)绝对收敛 (B)条件收敛

(C)发散

(D)收敛性与

a 的取值有关

(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且

0()

(0)0,lim

2,1cos x f x f x

→==-则在点0x =处()f x

(A)不可导

(B)可导,且

(0)0f '≠

(C)取得极大值

(D)取得极小

值

(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解

1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意

常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是

(A)12

11212()2k k -+++

ββααα

(B)1

2

11212()2k k ++-+ββααα (C)1

2

11212()2k k -+++ββαββ

(D)1

2

11212()2

k k ++-+ββαββ

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求

1

20ln(1).(2)x dx x +-?

(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,

求2.z x y

??? (3)求微分方程244e x y y y -'''++=的通解(一般解).

四、(本题满分6分) 求幂级数

(21)n

n n x

∞

=+∑的收敛域,并求其和函数.

五、(本题满分8分) 求曲面积分

2S

I yzdzdx dxdy =+??

其中S 是球面222

4x y z ++=外侧在0z ≥的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间

(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>

七、（本题满分6分） 设四阶矩阵

110021

3401100

213,0011002100010

00

2-????????-?

???==????-????????

B C 且矩阵A 满足关系式

1()-''-=A E C B C E

其中E 为四阶单位矩阵1

,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A

八、（本题满分8分） 求一个正交

变

换

化

二

次

型

2221

2

3

12132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.

九、（本题满分8分）

质点P 沿着以AB 为直径的半圆

周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F

的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹

角小于.2

π

求变力F 对质点P 所作的

功

.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机变量X 的概率密度函数

1()e ,2

x

f x x -=

-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________.

(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,

若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率

()P AB =____________.

(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即2

2e {},0,1,2,,!

k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z

1991年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设

2

1c o s x t y t

=+=,则22d y

dx =_____________.

(2)由方程xyz =(,)z z x y =在

点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.

(3)

已

知

两

条

直

线

的方

程

是

1212321:

;:.101211

x y z x y z

l l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.

(4)已知当0x →时1

23

,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.

(5)设4阶方阵5

2002

100

,00120

01

1

?????

?=??-????A 则A 的逆阵1-A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)曲线2

2

1e 1e

x x y --+=

- (A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线

(C)仅有铅直渐近线

(D)既有水平

渐近线又有铅直渐近线

(2)若连续函数()f x 满足关系式20

()()ln 2,2

t f x f dt π

=

+?

则()f x 等于

(A)e ln 2x

(B)2e

ln 2x

(C)e ln 2x

+

(D)2e ln 2x

+

(3)已知级数1211

1

(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1

n n a ∞

=∑等于

(A)3

(B)7

(C)8

(D)9

(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则

(cos sin )D

xy x y dxdy +??等于

(A)12cos sin D x ydxdy ??

(B)1

2D xydxdy ??

(C)1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +??

(D)0

(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有

(A)=ACB E (B)=CBA E

(C)=BAC E (D)=BCA E

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)

求20

lim .x π

+

→

(2)设n

是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的

法向量,

求函数u =P 处沿方向n

的方向导数.

(3)

2

2

(),x

y z dv Ω

++???其中Ω是由曲线

220

y z x ==绕z 轴旋转一

周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.

四、(本题满分6分)

过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲

线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分

3(1)(2)L

y dx x y dy +++?

的值最小.

五、(本题满分8分)

将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级

数,并由此求级数

21

1

n n ∞

=∑的和.

六、（本题满分7分）

设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1

2

3

3

()(0),

f x dx f =?

证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=

七、（本题满分8分） 已

知

1(

1,

a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).

b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?

(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出

该表示式.

八、（本题满分6分）

设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1. 九、（本题满分8分）

在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率

等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),

且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且

{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________. (2)

随机地向半圆0y a <<

为正常数)内掷一点,点落

在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于

4

π

的概率为____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为

(,)f x y =

(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它

求随机变量2Z X Y =+的分布函数.

1992年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x y xy ++=确定,则

dy

dx

=_____________.

(2)函数222

l n ()u x y z =++在点(1,2,2M -

处的梯度grad M

u

=_____________.

(3)设()f x = 2

1

1x

-+ 0

0x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.

(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.

(5)设

1112121

21212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ??????=??

??

??

A 其

中

0,0,

i i a b i n ≠≠=

则矩阵A 的秩()r A =_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括

号内)

(1)当1x →时,函数

1

211e 1

x x x ---的极限 (A)等于2 (B)等于0 (C)为∞ (D)不存在但

不为∞

(2)级数

1

(1)(1cos )(n

n a n ∞

=--∑常数0)a > (A)发散

(B)条件收敛 (C)绝对收敛

(D)收敛性与

a 有关

(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面

24x y z ++=平行的切线

(A)只有1条 (B)只有2条 (C)至少有3条

(D)不存在

(4)设3

2

()3,f x x x x =+则使()

(0)n f 存在的最高阶数n 为

(A)0

(B)1 (C)2

(D)3

(5)要使12100,121???? ? ?

== ? ? ? ?-????

ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要

系数矩阵A 为

(A)[]

212-

(B)201011-??

???? (C)102011-????-??

(D)011422011-????--??????

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)

求0

x

x →

(2)设2

2

(e sin ,),x

z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z

x y ??? (3)设()f x =

21e x

x -+ 0

0x x ≤>,求31(2).f x dx -?

四、(本题满分6分)

求微分方程323e x y y y -'''+-=的通解.

五、(本题满分8分) 计算

曲面积分

323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑

+++++??

其中∑为上半球面z =.

六、（本题满分7分） 设

()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有

1212()()().f x x f x f x +<+

七、（本题满分8分）

在变力F yzi zxj xyk =++

的作用下,质点由原点沿直线运动到

椭球面222

2221x y z a b c

++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ

取何值时,力F

所做的功W 最大?并求出W 的最大值.

八、（本题满分7分）

设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）

设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为

1231111,2,3,149?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????ξξξ又向量12.3??

?= ? ???

β

(1)将β用123,,ξξξ线性表出. (2)求(n

n A β为自然数).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中

横线上)

(1)

已知

11

()()(),()0,()(),46

P A P B P C P AB P AC P BC ======则事

件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.

(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望

2{e }X E X -+=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从

[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用

标准正态分布函数Φ表示,

其中22

()e

)t x

x dt -

-∞

Φ=

.

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