北京市房山区2016年高三4月一模考试理科数学试题及答案

房山区2016年高考一模 高三数学（理科）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2,-1)，则z=

（A）1 （B）3

（C）5 （D）5

ì?0＃x2,（2）设不等式组í表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则点M落

0＃y2??在圆(x-1)2+y2=1内的概率为

（A）

? 8（B）

? 4（C）

? 2（D）

? 3（3）执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出y的值是

（A）7 （B）15 （C）23 （D）31

（4）在极坐标系中，过点(1,)且平行于极轴的直线方程是 （A）??1

（B）?sin??1

（C）?cos??1

（D）??2sin?

p2（5）函数f(x)的定义域为R，“f(x)是奇函数”是“存在x?R,f(x)?f(?x)?0”的

（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件

（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

高三数学（理科）试卷 1 / 11

（6）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）32 （C）

（B）16 （D）

432 316 3

2正（主）视图侧（左）视图22俯视图2ìa?xk,?2(x+1),（7）已知函数f(x)=í若存在实数k使得该函数值域为[0,2]，

??log2(x+1)+1,k＃x1.则实数a的取值范围是 （A）(-?,2] （C）[-2,-（B）[-2,-1] （D）[-2,0]

1) 2

（8）在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线

y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)，如f(3)=4表示开始交易后第3小时的 即时价格为4元；g(3)=2表示开始交易后三个小时内所有成交股票的平均价格为2 元.下面给出四个图象，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

x2?y2?1的渐近线方程是___. （9）双曲线4?????（10）已知向量a=(1,1),b=(-3,1)，若ka?b与a垂直，则实数k?___.

（11）在△ABC中，若a?3，c?4，cosC??1，则b?___. 4（12）在某校召开的高考总结表彰会上有3位数学老师、2位英语老师和1位语文老师做典

型发言. 现在安排这6位老师的发言顺序，则3位数学老师互不相邻的排法共有___ 种.（请用数字作答）

高三数学（理科）试卷 2 / 11

（13）设Tn为等比数列{an}的前n项之积，且a1=-6,a4=-时，n的值为___.

3，则公比q=___，当Tn最大 4（14）对于函数f(x)和实数M，若存在m,n?N+，使f(m)+f(m+1)+f(m+2)+?

+f(m+n)=M成立，则称(m,n)为函数f(x)关于M的一个“生长点”. 若(1,2)

为函数f(x)?cos(x?)关于M的一个“生长点”，则M?___；若f(x)=2x+1，

??23M=105，则函数f(x)关于M的 “生长点”共有___个

三、解答题共6小题，共80分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x-（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值； （Ⅱ）若a?(0,)，且f(a)=

（16）（本小题13分）

为降低雾霾等恶劣气候对居民的影响，某公司研发了一种新型防雾霾产品．每一台新产品在进入市场前都必须进行两种不同的检测，只有两种检测都合格才能进行销售，否则不能销售．已知该新型防雾霾产品第一种检测不合格的概率为率为

1． 2p22，求a的值. 21，第二种检测不合格的概61，两种检测是否合格相互独立． 10（Ⅰ）求每台新型防雾霾产品不能销售的概率；

（Ⅱ）如果产品可以销售，则每台产品可获利40元；如果产品不能销售，则每台产品亏损80元（即获利-80元）．现有该新型防雾霾产品3台，随机变量X表示这3台产品的获利，求X的分布列及数学期望．

（17）（本小题14分）

在三棱锥P-ABC中，平面PAC^平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA^PC, AC^BC,BC=2AC=4,M为AB的中点.

（Ⅰ）求证：AC^PM；

（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM^平面

PNPN的值，若不存在，说明理由. PAB？若存在，求出PB

ACMB高三数学（理科）试卷 3 / 11

（18）（本小题13分）

已知函数f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x，其中a<1． 2（Ⅰ）当a=-2时，求函数f(x)的极大值；

（Ⅱ）若f(x)在区间(0,e)上仅有一个零点，求a的取值范围

（19）（本小题14分）

x2y23已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率是，且椭圆C上任意一点到两个焦点

ab2的距离之和是4. 直线l:y?kx?m与椭圆C相切于点P，且点P在第二象限． (Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)求点P的坐标（用k表示）；

(Ⅲ)若过坐标原点O的直线l1与l垂直于点Q，求PQ的最大值.

（20）（本小题13分）

已知数集M??a1,a2,?,an??0?a1?a2???an,n?2?具有性质P：对任意的

i,j?1?i?j?n?，ai?aj与aj?ai两数中至少有一个属于M.

（Ⅰ）分别判断数集?0,1,3?与?0,2,3,5?是否具有性质P，并说明理由； （Ⅱ）证明：a1?0，且an?2(a1?a2???an?1?an)； n.k.s.

（Ⅲ）当n?5时，证明：a1,a2,a3,a4,a5成等差数列.

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房山区2016年高考一模考试 数学（理）答案及评分标准201603

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 二、填空题：每小题5分，共30分．（第一空3分，第二空2分） 9. y??x 10. ?1 11. 2

1212. 144 13.

11,4 14. ?223

三、解答题：本大题共6小题,共80分． 15（共13分） 解： f?x??11?cos2x111sin2x???sin2x?cos2x???4分 22222 ?2???????6分 sin(2x?)24

（Ⅰ）T?2?2??，??????10分 f?x?的最大值为22

（Ⅱ）因为f(?)?2?2 sin(2??)?242 所以 sin(2??因为??(0,?4)?1 ??????11分

?244??3?所以2??? 解得 ????????13分

428

16（共13分）

解（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A，则

111

1－?×?1－?＝ ??????3分 P(A)＝1－??6??10?4（Ⅱ）X的所有可能取值为-240，-120,0,120 ??????4分 P(X=-240)=()=)，所以2???4?(??3?,)

1431139P(X=-120)=C32()2=

64 4464高三数学（理科）试卷 5 / 11

273271132P(X=0)=C3()=P(X=120)=()3=4464 464

????????????8分

所以X的分布列为

X P -240 -120 0 120 1 649 6427 6427 64EX=-240?

17（共14分）

19120?6464????????????10分

27270?120?30

6464????????????13分

解:（Ⅰ）取AC中点O，连结PO,OM

??PAC为等腰直角三角形，且PA?PC

?PO?AC ??????1分

又?在?ABC中, CA^CB,M为AB的中点.

?OM//CB

?OM?AC??????2分 ?PO?OM=O

zPNPO，OM?平面POM

?AC?平面POM?????3分 ?PM?平面POM

?AC?PM ??????4分

（Ⅱ）由（Ⅰ） PO?AC,OM?AC

∵平面PAC^平面ABC 平面PAC?平面ABC=AC

AxCOMyBPO?AC

PO?平面PAC ?PO?平面ABC ?PO?OM

?PO,AC,OM两两垂直,以O为原点,建立空间直角坐标系如图: ?5分 P(0，0，1),C（-1,0,0）（-1,4,0）（1，0,0）,A,B

????????,AB? ?PA?（，10,?1）（-2，4,0）高三数学（理科）试卷 6 / 11

??设平面PAB法向量n1?(x,y,z),

?????????PA?n1?0???????AB?n1?0x?z?0???2x?4y?0

???n1?(2,1,2) ??????7分

?????PC?（-1，0,?1） ??????8分

????????????PC?n122???=??????9分 ?cos?PC,n1??????3 |PC||n1|?PC与平面PAB所成角的正弦值是22. 3PN1=?10 PB9（Ⅲ）在线段PB上存在点N,使得平面CNM^平面PAB，证明如下：设

??由（Ⅱ）知平面PAB法向量n1?(2,1,2)

??????M(0,2,0) ?CM? （1,2,0）PN（0，1）=?,??

PB????????????????????（1-?,4?,1??）CN?CP?PN=CP??PB=

???设平面CNM法向量n2?(x,y,z),

??????????CM?n2?0???????CN?n2?0x?2y?0??(1??)x?4?y?(1??)z?0

???6??2?n2?(?2,1,)??????12分

??1

??????平面CNM^平面PAB n1?n2?0

16??2)?0解得????????14分

9??1

PN1=时,平面CNM^平面PAB. ?在线段PB上存在点N,当

PB9即?4?1?2(

18（共13分）

2f(x)?lnx?2x?3x, a??2解：（I）当时，

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