(导学案)第二章函数的概念2.1 函数及其表示(学生版)

（导学案）第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 §2.1

函数及其表示

1.函数的概念：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有________f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个________，记作y＝f(x)，x∈A，其中， x＋1，x≤1，

设函数f(x)＝ 2 则f(f(3))＝(

，x＞1，

x

2

)

1213A. B．3 C.

D. 539

下列各表示两个变量x，y的对应关系，则下列判断正

确的是( )

1

a→b，b＝；

a

③A＝{x|x≥0}，B＝R，对应关系f：x→y，y2＝x； ④A＝{x|x是平面α内的矩形}，B＝{y|y是平面α内的圆}，对应关系

f：每一个矩形都对应它的外接圆.

其中是从A到B的映射的为________.

类型二 判断两个函数是否相等

已知函数f(x)＝|x－1|，则下列函数与f(x)相等的

函数是( )

x叫做________，x的取值范围A叫做函数的________；与x的值相对应的y值叫做________，其集合{f(x)|x∈A}叫做函数的_____.

2.函数的表示方法：(1)解析法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(2)图象法：就是用________表示两个变量之间的对应关系的方法.(3)列表法：就是________表示两个变量之间的对应关系的方法.

3.构成函数的三要素：(1)函数的三要素是：________，________，________.(2)两个函数相等：如果两个函数的________相同，并且完全一致，则称这两个函数相等.

4.分段函数：若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做分段函数，它是一类重要的函数.

5.映射的概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于A中的________元素x，在集合B中都有________元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.

6.映射与函数的关系：(1)联系：映射的定义是在函数的现代定义(集合语言定义)的基础上引申、拓展而来的；函数是一种特殊的_____________.(2)区别：函数是从非空数集．．A到非空数集．．B的映射；对于映射而言，A和B不一定是数集．．

. 7.复合函数：一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数.

下列函数中，与函数y

＝

1

定义域相同的函数为( )

3x

A．y＝1sinx

B．y＝

lnxx C．y＝xe

x D．y＝sinxx

A.都表示映射，都表示y是x的函数B.仅③表示y是

x的函数 C．仅④表示y是x的函数 D．都不能表示y是x的函数

函数y＝－x－3x＋4

x

的定义域为________________.

规定记号“*”表示一种运算，且a*b＝ab＋

a＋b，a，b是正实数，已知1*k＝3.

(1)正实数k的值为____________；

(2)在(1)的条件下，函数f(x)＝k*x的值域是___________.

类型一 函数和映射的定义

下列对应是集合P上的函数的是________.

①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；

②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，对应关系f：x→y＝x2

，x∈P，y∈Q；

③P＝{三角形}，Q＝{x|x>0}，对应关系f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应.

(2013·

南昌模拟)给出下列四个对应： ①A＝R

，B＝R，对应关系f：x→y，y＝1

x＋1

②A＝{a|1}{b|b＝1

2a∈N*，B＝n，n∈N*}

，对应关系f：

1

2 |x2－1|A．g(x)＝|x－1|

，x≠－1，|x＋1|

B．g(x)＝ |x＋1|

2，x＝－1

C．g(x)＝ x－1，x＞0，

1－x，x≤0

D．g(x)＝x－1

(2013·

杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( )

A．f(x

)＝x，g(x)＝xB．f(x)＝|x|

1，x≥0，xg(x)＝ －1，x＜0

C．f(x)＝

2n＋1x＋，g(x)＝(2n－1x)2n－1

，n∈N* D．f(x)＝x

x＋1，g(x)＝x（x＋1）

类型三 求函数的定义域

(1)求函数f(x)1

2－|x|

x－1＋(x－4)0的定义域.

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1，1)，求y＝f(x2－3)的定义域.

(1)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数

f(x)的定义域.

(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[1，4]，求函数f(2x)的定义域.

类型四 求函数的值域

求下列函数的值域： (1)y＝1－x2

1＋x； (2)y＝2x1－x；

x2(3)y＝2x＋1－x； (4)y＝－2x＋5x－1

；

(5)y＝a2＋16

（a－b）b

(a＞b＞0)；

(6)若x，y满足3x2＋2y2＝6x，求函数z＝x2＋y2的值域； (7)f(x)＝|2x＋1|－|x－4

|.

求下列函数的值域：

2(1)y＝x＋x－1； (2)f(x)x＋

5x＋4

类型五 求函数的解析式

求下列函数的解析式：

(1)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)； (2)已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；

(3)已知f(x＋11

x＝x2x－3，求f(x)；

(4)已知f(x)－2f(1

x)

＝

3x＋2，求f(x).

(2013·武汉模拟)(1)已知f(x＋1)＝x＋x，求f(x)；

(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1

x)

＝3x，求

f(x).

类型六 分段函数

定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝ log2（1－x），x≤0， f（x－1）－f（x－2），x

＞0，

则f(2 013)的值为________. log2x，x＞0，

(2013·

武汉调研)设f(x)＝ log

1（－x），x＜0. 若2

f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是( )

A．(－1，0)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(－

∞，－1)∪(0，1)

类型七 创新问题

对实数a与b，定义运算“ ”：a b＝ a，a－b≤1，

b，a－b>1.

设函数f(x)＝(x2－2) (x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )

A．(－∞，－2]∪(

－1，3)(3

2B．(－∞，－2]∪－1，－4)

C.(－1，1(

1)(3

∪[

1

4∪4，＋∞D.－1，－44，＋∞)

定义两种运算：a⊕b＝a－b，a b＝

域为{1，3}的同族函数有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

（a－b），则函数f(x)＝2⊕x

（x 2）－2( )

7.函数y＝ln(1＋1

x＋1－x的定义域为____________. A．f(x)＝－xxx∈[－2，0)∪(0，2]

8.有以下判断：

B．f(x)＝x－4

①f(x)＝|x|

x，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

x与g(x)＝ 1，x≥0， －1，x＜0

表示同一函数；②函数y

＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x＋C．f(x)＝－

x－4

x

x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)

1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则

4－xD．f(x)＝－f x

，x∈[－2，0)∪(0，2]

(1

f2)

＝0. 其中正确判断的序号是____________.

9.设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意的实1.设集合P＝{x|0≤x≤4}，M＝{y|0≤y≤2}，则下列表示从P

数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 到M的映射的是( )

求f(x).

A．f：x→y＝2

3x B．f：x→y＝x2－x2x－2

10．已知f(x)＝bx＋12x＋a

a，b为常数，ab≠2)，且f(x)·f(1

x＝

C．f：x→y＝1

k为定值，求k的值.

3

(x－3)2 D．f：x→yx＋5－1

11.已知函数f(x)（1－a）x＋3（1－a）x＋6.

2.(2013·

唐山一模)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( ) (1)若f(x)的定义域为R

，求实数a的取值范围； A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) (2)若f(x)的值域为[0，＋∞)，求实数a的取值 C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)

范围.

3.设f(x)＝ 1，x＞0， 0，x＝0， g(x)＝ 1，x为有理数，

则f(g(π) －1，x＜0，

0，x为无理数，)

的值为( )

A．1 B．0 C．－1 D．π

4.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f（2x）

x－1

的

设f(x)＝ x2

，|x|≥1，

x，|x|＜1，

g(x)是二次函数，若f[g(x)]

定义域是( )

的值域是[0，＋∞)，则g(x)的值域是( )

A．[0，1] B．[0，1)C．[0，1)∪(1，4] D．(0，1) A．(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[0，＋∞) 5．下面四个命题，其中正确的有( ) C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)

①函数是其定义域到值域的映射； ②f(x)＝x－3－x是函数；

③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；

④y＝ x2

，x≥0， －x2，x＜0

的图象是抛物线.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6.若一列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2＋1，值

2

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